4.1 比例线段同步练习（含解析）
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浙教版九年级上
4.1
比例线段同步测试
一．选择题
1．（2021春?武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm
B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm
D．3cm、9cm、10cm、30cm
2．（2020秋?肥东县期末）已知5x﹣4y＝0，下列式子正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
3．（2021春?瓯海区月考）若＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（2020秋?开江县期末）若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020秋?宝安区校级期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC
B．BC＝AB
C．AC＝AB
D．AC≈0.618AB
6．（2020秋?新化县期末）已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即，下列各式中不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020秋?碑林区校级月考）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．
B．
C．
D．或
二．填空题
8．（2020秋?茶陵县期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是
cm．
9．（2020秋?隆回县期末）若，则＝
．
10．（2020秋?丹东期末）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝
．
11．（2021?江干区模拟）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为
cm．
12．（2021?拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女土身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约
厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
13．（2021?咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，进行如下操作：
①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AC于点D；
②以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．
则点E是线段AB的黄金分割点，
根据以上操作，AE的长为
．
三．解答题
14．（2020秋?高新区校级月考）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
15．（2021?杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
16．（2020秋?渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2021春?武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm
B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm
D．3cm、9cm、10cm、30cm
【解析】解：A、∵3×9≠6×8，∴四条线段不成比例；
B、∵3×9≠5×6，∴四条线段不成比例；
C、∵3×9≠6×7，∴四条线段不成比例；
D、∵3×30＝9×10，∴四条线段成比例；
故选：D．
2．（2020秋?肥东县期末）已知5x﹣4y＝0，下列式子正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【解析】解：∵5x﹣4y＝0，
∴5x＝4y，
除以5y，得＝，
即＝，
设x＝4k，y＝5k，
∴＝＝＝，
＝≠，
即选择A符合题意；选项B、C、D都不符合题意；
故选：A．
3．（2021春?瓯海区月考）若＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解析】解：∵＝，
∴设a＝3x，b＝2x，
∴＝＝．
故选：C．
4．（2020秋?开江县期末）若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
所以
＝
＝
＝，
故选：A．
5．（2020秋?宝安区校级期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC
B．BC＝AB
C．AC＝AB
D．AC≈0.618AB
【解析】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC2＝BC?AB，AC＝AB≈0.618AB，
∴AB：AC＝AC：BC，
故选项C符合题意，选项A、D不符合题意；
∵BC＝AB﹣AC＝AB﹣AB＝AB，
故选项B不符合题意；
故选：C．
6．（2020秋?新化县期末）已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即，下列各式中不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：∵，
∴ad＝bc，
A、＝的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
B、＝的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
C、∵，∴＝，不符合题意；
D、＝的两个内项是a、c，两个外项是b、d，所以ac＝bd，符合题意．
故选：D．
7．（2020秋?碑林区校级月考）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．
B．
C．
D．或
【解析】解：设C点为AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝AB＝×10＝5﹣5；
当AC＜BC时，BC＝AB＝×10＝5﹣5，则AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5，
所以她至少走（15﹣5）米才最理想．
故选：B．
二．填空题
8．（2020秋?茶陵县期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是 6 cm．
【解析】解：∵线段a、b、c、d成比例，
∴a：b＝c：d，
∴d＝2×3÷1＝6．
故答案为：6．
9．（2020秋?隆回县期末）若，则＝ 10 ．
【解析】解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
所以
＝＝
＝
＝10，
故答案为：10．
10．（2020秋?丹东期末）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝ 6 ．
【解析】解：∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∵a+c+e＝12，
∴2b+2d+2f＝12，
等式两边都除以2，得b+d+f＝6，
故答案为：6．
11．（2021?江干区模拟）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 （﹣1） cm．
【解析】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB＝×2cm＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
12．（2021?拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女土身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 8 厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【解析】解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99（cm），
设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．
故答案为8．
13．（2021?咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，进行如下操作：
①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AC于点D；
②以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．
则点E是线段AB的黄金分割点，
根据以上操作，AE的长为 ．
【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝BC，
∴AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC＝，
故答案为：．
三．解答题
14．（2020秋?高新区校级月考）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【解析】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
15．（2021?杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
【解析】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
16．（2020秋?渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
【解析】解：（1）∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
（2）∵＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，
∵＝，
∴÷＝÷，
∴＝．
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精品试卷·第
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4.1
比例线段同步测试
一．选择题
1．（2021春?武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm
B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm
D．3cm、9cm、10cm、30cm
2．（2020秋?肥东县期末）已知5x﹣4y＝0，下列式子正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
3．（2021春?瓯海区月考）若＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（2020秋?开江县期末）若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2020秋?宝安区校级期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC
B．BC＝AB
C．AC＝AB
D．AC≈0.618AB
6．（2020秋?新化县期末）已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即，下列各式中不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2020秋?碑林区校级月考）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．
B．
C．
D．或
二．填空题
8．（2020秋?茶陵县期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是
cm．
9．（2020秋?隆回县期末）若，则＝
．
10．（2020秋?丹东期末）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝
．
11．（2021?江干区模拟）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为
cm．
12．（2021?拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女土身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约
厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
13．（2021?咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，进行如下操作：
①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AC于点D；
②以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．
则点E是线段AB的黄金分割点，
根据以上操作，AE的长为
．
三．解答题
14．（2020秋?高新区校级月考）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
15．（2021?杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
16．（2020秋?渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．（2021春?武威月考）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．3cm、6cm、8cm、9cm
B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm
D．3cm、9cm、10cm、30cm
【解析】解：A、∵3×9≠6×8，∴四条线段不成比例；
B、∵3×9≠5×6，∴四条线段不成比例；
C、∵3×9≠6×7，∴四条线段不成比例；
D、∵3×30＝9×10，∴四条线段成比例；
故选：D．
2．（2020秋?肥东县期末）已知5x﹣4y＝0，下列式子正确的是（ ）
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
【解析】解：∵5x﹣4y＝0，
∴5x＝4y，
除以5y，得＝，
即＝，
设x＝4k，y＝5k，
∴＝＝＝，
＝≠，
即选择A符合题意；选项B、C、D都不符合题意；
故选：A．
3．（2021春?瓯海区月考）若＝，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【解析】解：∵＝，
∴设a＝3x，b＝2x，
∴＝＝．
故选：C．
4．（2020秋?开江县期末）若，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：设＝＝＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
所以
＝
＝
＝，
故选：A．
5．（2020秋?宝安区校级期中）若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式中不正确的是（ ）
A．AB：AC＝AC：BC
B．BC＝AB
C．AC＝AB
D．AC≈0.618AB
【解析】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC2＝BC?AB，AC＝AB≈0.618AB，
∴AB：AC＝AC：BC，
故选项C符合题意，选项A、D不符合题意；
∵BC＝AB﹣AC＝AB﹣AB＝AB，
故选项B不符合题意；
故选：C．
6．（2020秋?新化县期末）已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即，下列各式中不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：∵，
∴ad＝bc，
A、＝的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
B、＝的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
C、∵，∴＝，不符合题意；
D、＝的两个内项是a、c，两个外项是b、d，所以ac＝bd，符合题意．
故选：D．
7．（2020秋?碑林区校级月考）如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台AB的长为10米，一名主持人现在站在A处，则她至少走多少米才最理想（ ）
A．
B．
C．
D．或
【解析】解：设C点为AB的黄金分割点，
当AC＞BC时，AC＝AB＝×10＝5﹣5；
当AC＜BC时，BC＝AB＝×10＝5﹣5，则AC＝10﹣（5﹣5）＝15﹣5，
所以她至少走（15﹣5）米才最理想．
故选：B．
二．填空题
8．（2020秋?茶陵县期末）若线段a，b，c，d是成比例线段，且a＝1cm，b＝2cm，c＝3cm，则d的长度是 6 cm．
【解析】解：∵线段a、b、c、d成比例，
∴a：b＝c：d，
∴d＝2×3÷1＝6．
故答案为：6．
9．（2020秋?隆回县期末）若，则＝ 10 ．
【解析】解：设＝k，
则a＝2k，b＝3k，c＝5k，
所以
＝＝
＝
＝10，
故答案为：10．
10．（2020秋?丹东期末）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0，若a+c+e＝12，则b+d+f＝ 6 ．
【解析】解：∵＝＝＝2，
∴a＝2b，c＝2d，e＝2f，
∵a+c+e＝12，
∴2b+2d+2f＝12，
等式两边都除以2，得b+d+f＝6，
故答案为：6．
11．（2021?江干区模拟）线段AB＝2cm，点P为线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则AP的长为 （﹣1） cm．
【解析】解：∵线段AB＝2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB＝×2cm＝（﹣1）cm，
故答案为：（﹣1）．
12．（2021?拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女土身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 8 厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【解析】解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99（cm），
设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．
故答案为8．
13．（2021?咸宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，进行如下操作：
①以点C为圆心，以BC的长为半径画弧交AC于点D；
②以点A为圆心，以AD的长为半径画弧交AB于点E．
则点E是线段AB的黄金分割点，
根据以上操作，AE的长为 ．
【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝，
∴AC＝＝＝，
∵CD＝BC，
∴AE＝AD＝AC﹣CD＝AC﹣BC＝，
故答案为：．
三．解答题
14．（2020秋?高新区校级月考）已知＝＝＝＝k，求k2﹣3k﹣4的值．
【解析】解：∵＝＝＝＝k，
∴由等比性质可得：＝k，
当a+b+c+d≠0时，k＝＝，
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，
∴k＝＝＝﹣2，
∴k2﹣3k﹣4＝（）2﹣3×﹣4＝﹣或k2﹣3k﹣4＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）﹣4＝6．
15．（2021?杭州模拟）如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求AM，DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
【解析】解：（1）在Rt△APD中，AP＝1，AD＝2，由勾股定理知PD＝＝＝，
∴AM＝AF＝PF﹣AP＝PD﹣AP＝﹣1，
DM＝AD﹣AM＝3﹣．
故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于＝，
∴点M是AD的黄金分割点．
16．（2020秋?渝中区期末）阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且＝，求证：＝．
证明：∵＝，
∴+1＝+1．
∴＝．
根据以上方法，解答下列问题：
（1）若＝，求的值；
（2）若＝，且a≠b，c≠d，证明＝．
【解析】解：（1）∵＝，
∴＝+1＝+1＝．
（2）∵＝，
∴﹣1＝﹣1，
∴＝，
∵＝，
∴÷＝÷，
∴＝．
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