4.4 两个三角形相似的判定同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上
4.4两个三角形相似的判定同步练习
一．选择题
1．（2020秋?临沭县期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
2．（2021?西湖区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若DE＝4，则BC＝（　　）
A．6
B．8
C．9
D．10
3．（2020秋?越秀区期末）根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝∠E＝58°，∠D＝82°
B．∠A＝∠D＝40°，
C．∠A＝∠D＝120°，
D．∠A＝∠D＝40°，
4．（2021?安徽模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为AB上一点，且∠B＝∠ACD，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．
5．（2021?江夏区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
6．（2020秋?上城区期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（　　）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
7．（2021?滨城区二模）如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（　　）
A．153°
B．144°
C．163°
D．162°
二．填空题
8．（2020秋?密云区期末）已知△ABC中，D是BC上一点，添加一个条件使得△ABC∽△DAC，则添加的条件可以是　
　．
9．（2021?南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为
　
　．
10．（2020秋?顺义区期末）如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　
　．
11．（2021?常熟市一模）如图，点A、D在以BC为直径的⊙O上，且D是的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则CE的长为　
　．
12．（2021?松桃县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1cm，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，则底边BC的长是　
　cm．
13．（2020秋?交城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为　
　．
14．（2020秋?海陵区期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于　
　．
三．解答题
15．（2021?江干区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD?DE＝BE?CD．
（1）求证：△BCD∽△BDE；
（2）若BC＝10，AD＝6，求AE的长．
16．（2020秋?杨浦区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD的长．
17．（2020秋?婺城区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
18．（2020秋?襄汾县期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
19．（2021?杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE?GD．
20．（2020?徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
21．（2021?杭州一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?临沭县期末）如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP?AB；④AB?CP＝AP?CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
【解析】解：①、当∠ACP＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴①不符合题意；
②、当∠APC＝∠ACB，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB，
∴②不符合题意；
③、当AC2＝AP?AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∵∠A＝∠A
∴△APC∽△ACB，
∴③不符合题意；
④、∵当AB?CP＝AP?CB，即PC：BC＝AP：AB，
而∠PAC＝∠CAB，
∴不能判断△APC和△ACB相似，
∴④符合题意；
故选：D．
2．（2021?西湖区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若DE＝4，则BC＝（　　）
A．6
B．8
C．9
D．10
【解析】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
又∵，
∴＝，
∴，
∴BC＝10．
故选：D．
3．（2020秋?越秀区期末）根据下列条件，不能判定△ABC和△DEF相似的是（　　）
A．∠A＝40°，∠B＝∠E＝58°，∠D＝82°
B．∠A＝∠D＝40°，
C．∠A＝∠D＝120°，
D．∠A＝∠D＝40°，
【解析】解：A、由这些条件、三角形内角和定理知，△ABC和△DEF的对应角都相等，所以能判定这两个三角形相似．故本选项不合题意；
B、由这些条件知，△ABC和△DEF的两组对应边的比相等且夹角对应相等，所以能判定这两个三角形相似．故本选项不合题意；
C、过点C作CN⊥BA交BA延长线于N，FM⊥ED交ED的延长线于M，由∠A＝∠D＝120°，可得CN＝AC，MF＝DF，则，可证△BCN∽△EFM，可得∠B＝∠E，即可证△ABC和△DEF相似，故本选项不合题意；
D、对应边成比例，夹角不一定相等，不能判定△ABC和△DEF相似．故本选项符合题意；
故选：D．
4．（2021?安徽模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，D为AB上一点，且∠B＝∠ACD，则BD的长为（　　）
A．
B．
C．3
D．
【解析】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，
∴△CAD∽△BAC，
∴，
∵AB＝6，AC＝4，
∴AD＝＝＝，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．
故选：D．
5．（2021?江夏区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若AD＝4BD，则的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解析】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∠A+∠ACD＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ACD＝∠B．
∴Rt△ADC∽Rt△CDB，
∴．
设BD＝x，则AD＝4x，
∴CD2＝AD?BD＝4x2，
∴CD＝2x，
∴．
故选：C．
．（2020秋?上城区期末）下列关于相似三角形的说法，正确的是（　　）
A．等腰三角形都相似
B．直角三角形都相似
C．两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形相似
D．一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似
【解析】解：等腰三角形不一定都相似，如∠A＝∠B＝30°的△ABC和∠D＝∠E＝60°的△DEF，它们不相似，故选项A错误；
直角三角形不一定相似，如∠A＝60°，∠B＝30°的Rt△ABC和∠D＝40°，∠E＝50°的Rt△DEF，它们不相似，故选项B错误；
两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，但是两边对应成比例，且其中一组对应角相等的两个三角形不一定相似，故选项C错误；
一条直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项D正确；
故选：D．
7．（2021?滨城区二模）如图，点P为∠MON的平分线上一点，∠APB的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，∠APB绕点P旋转时始终满足OA?OB＝OP2，若∠MON＝54°，则∠APB的度数为（　　）
A．153°
B．144°
C．163°
D．162°
【解析】解：∵OP平分∠MON，
∴∠AOP＝∠BOP＝27°，
∵OA?OB＝OP2，即，
∴△AOP∽△POB，
∴∠OAP＝∠OPB，
∵∠AOP+∠OAP+∠APO＝180°，
∴∠OAP+∠APO＝153°，
∴∠OPB+∠APO＝153°，即∠APB＝153°，
故选：A．
二．填空题
8．（2020秋?密云区期末）已知△ABC中，D是BC上一点，添加一个条件使得△ABC∽△DAC，则添加的条件可以是　∠B＝∠DAC　．
【解析】解：添加∠B＝∠DAC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△DAC，
故答案为：∠B＝∠DAC（答案不唯一）．
9．（2021?南充）如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD：AC的值为
　　．
【解析】解：∵BC＝AB＝3BD，
∴，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DBA，
∴,
∴AD:AC＝,
故答案为：．
10．（2020秋?顺义区期末）如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　1或3或8．　．
【解析】解：设AP＝x．
∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，
①当时，，解得x＝3．
②当时，，解得x＝1或8，
∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，
故答案为1或3或8．
11．（2021?常熟市一模）如图，点A、D在以BC为直径的⊙O上，且D是的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则CE的长为　5　．
【解析】解：延长BA、CD交于点G，
∵D是弧AC的中点，
∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，
又∵BC为直径，
∴∠BDC＝90，
∴△BCG为等腰三角形，
∴BD平分CG，
∴CG＝2CD＝4，
在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，
∵∠CDE＝∠CAG＝90°，
∴，即＝，
解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去），
故CE的长为5，
故答案为：5．
12．（2021?松桃县模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝1cm，∠A＝36°，BD是∠ABC的角平分线，则底边BC的长是　　cm．
【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∴DA＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴BD＝BC，
∴BC＝BD＝AD，
∵∠A＝∠CBD，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴D点为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC＝cm，
∴BC＝cm．
故答案为：．
13．（2020秋?交城县期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，当△PBQ是直角三角形时，t的值为　或　．
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝3cm，
∴AB＝＝（cm）．
由题意可知点P运动时间t秒时，AP＝tcm，BQ＝tcm，
∴BP＝（﹣t）cm，BQ＝tcm，
当△PBQ是直角三角形时，有两种情况：
①当∠BQ1P1＝90°时，如图1：
∵∠C＝90°，∠BQ1P1＝90°，
∴∠C＝∠BQ1P1，
又∵∠B＝∠B，
∴△BQ1P1∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝；
②当∠BP2Q2＝90°时，如图2：
∵∠C＝90°，∠BP2Q2＝90°，
∴∠C＝∠BP2Q2，
又∵∠B＝∠B，
∴△BP2Q2∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
解得：t＝．
故答案为：或．
14．（2020秋?海陵区期末）在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于　2.5　．
【解析】解：画出格点△ABC，它的三边分别是1，，，以及格点△DEF，三边长分别是，，5，
此时△DEF面积最大，
则S△DEF＝×3×4﹣12﹣×2×1﹣×1×3＝6﹣1﹣1﹣＝2.5．
故答案为：2.5．
三．解答题
15．（2021?江干区模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，BD?DE＝BE?CD．
（1）求证：△BCD∽△BDE；
（2）若BC＝10，AD＝6，求AE的长．
【解析】（1）证明：∵点BD⊥AC于点D，DE⊥AB于点E，
∴∠BDC＝∠BED＝90°，
∵BD?DE＝BE?CD，
∴，
∴△BCD∽△BDE；
（2）解：∵△BCD∽△BDE，
∴∠EBD＝∠DBC，
∵BD⊥AC，
∴CD＝AD＝6，BA＝BC＝10，
∵BD⊥AC，
∴BD＝＝8，
∵△BCD∽△BDE，
∴,
∴，
∴BE＝，
∴AE＝BA﹣BE＝10﹣＝．
16．（2020秋?杨浦区期中）如图，已知点D为△ABC内一点，点E为△ABC外一点，且满足．
（1）求证：△ABD∽△ACE；
（2）联结CD，如果∠ADB＝90°，∠BAD＝∠ACD＝30°，BC＝，AC＝4，求CD的长．
【解析】证明：（1）∵，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵，
∴△ABD∽△ACE；
（2）如图，
∵△ABD∽△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∠BAD＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝CE＝2，∠ACE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACE＝90°，
∵，
∴＝，
∴DE＝3，
∴CD＝＝＝．
17．（2020秋?婺城区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为2．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）求DE的长．
【解析】（1）证明：∵∠ADE+∠B＝180°，∠ADE+∠CDE＝180°，
∴∠CDE＝∠B，
而∠DCE＝∠BCA，
∴△CDE∽△CBA；
（2）连接BD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BDC＝90°，∠C＝60°，
∴BC＝2CD，
∵△CDE∽△CBA；
∴＝＝，
∴DE＝AB＝×4＝2．
18．（2020秋?襄汾县期末）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
【解析】（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，
∴∠BPE+∠BEP＝135°，
∵∠EPF＝45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF＝180°，
∴∠BPE+∠CPF＝135°，
∴∠BEP＝∠CPF，
又∵∠B＝∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．
（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得
CP：BE＝PF：PE，
而CP＝BP，
因此
PB：BE＝PF：PE．
又因为∠EBP＝∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
19．（2021?杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE?GD．
【解析】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE?GD．
20．（2020?徐州模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【解析】解：根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
21．（2021?杭州一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．
（1）求证：DB＝DC．
（2）若DA＝DF，
①当∠ABC＝α，求∠DFC的度数（用含α的代数式表示）．
②设⊙O的半径为5，BC＝6，求AD的长．
【解析】解：（1）如图，由题意可得，AD平分∠EAC，
∴∠DAE＝∠CAD，
∵∠DAE＝∠BCD，∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BCD，
∴CD＝BD．
（2）①如图，设∠DAE＝∠CAD＝β，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAE﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∵DA＝DF，
∴∠DFA＝∠CAD＝β，
∴∠ADF＝180°﹣∠DFA﹣∠CAD＝180°﹣2β，
∴∠BAC＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∵∠ABC＝α，
∴∠BAC＝∠ACB＝＝90°﹣，
∴∠ADF＝∠ACB＝90°﹣，
∴∠DAF＝∠DFA＝＝45°+，
∴∠DFC＝180°﹣（45°+）＝135°﹣．
②如图，连接DO，并延长，交BC于点H，连接BO，CO，
则△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDH＝∠CDH，
∴DH⊥BC，且BH＝CH＝3，
又CO＝5，
∴OH＝4，
∴DH＝9，BD＝＝3，
∵∠BCF＝∠BDC，
∴△BCF∽△BDC，
∴BC2＝BD?BF，即BF＝，
∴DF＝BD﹣BF＝，
∴AD＝DF＝．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)