4.5 相似三角形的性质及其应用同步练习（含解析）

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浙教版九年级上
4.5相似三角形的性质及其应用同步练习
一．选择题
1．（2020秋?莆田期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：1
B．2：1
C．1：2
D．1：4
2．（2021?大东区二模）已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84
B．24
C．6
D．3
3．（2020秋?渌口区期末）已知三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，且这两个三角形面积的和为25，则三角形ABC的面积为（　　）
A．5
B．21
C．15
D．20
4．（2020秋?江北区期末）如图，在?ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．（2020?下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（　　）
A．4
B．6
C．2
D．3
6．（2020秋?昆都仑区期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
7．（2021春?萧山区月考）如图，在△ABC中，已知，E，F分别在边AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，则（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2020秋?石家庄期中）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
9．如图，正方形ABCD中，AE＝EF＝FB，BG＝2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是（　　）
A．AG⊥FD
B．AQ：QG＝6：7
C．EP：PD＝2：11
D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝17：9
二．填空题
10．（2021?和平区一模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为　
　．
11．（2020秋?镇江期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB∥CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于　
　m．
12．（2020秋?兴庆区校级期中）如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为　
　．
13．（2020秋?赫山区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为　
　．
14．（2020秋?朝阳区校级期末）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为?DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S?DEFG的面积为　
　cm2．
15．（2021?太和县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点P，则S△PDE：S△PAC＝　
　．
16．（2021?湖北模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF为正方形，若AE＝3，BE＝5，则S△AEF+S△EDB＝　
　．
三．解答题
17．（2021?镇海区模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
18．（2020秋?拱墅区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，．
（1）求证：△ABC∽△AFD；
（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积．
19．（2021春?唐山月考）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
20．（2020?山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
21．（2020?澄海区一模）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ、△DKM、△CNH的面积依次为S1、S2、S3．
（1）求证：△BPQ∽△DKM∽△CNH；
（2）若S1+S3＝40，求S2的值．
22．（2020?龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
答案与解析
一．选择题
1．（2020秋?莆田期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为2：1，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）
A．4：1
B．2：1
C．1：2
D．1：4
【解析】解：∵△ABC～△DEF，相似比为2：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为＝4：1，
故选：A．
2．（2021?大东区二模）已知△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△DEF的面积为12，则△ABC的面积为（　　）
A．84
B．24
C．6
D．3
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
∵△DEF的面积为12，
∴△ABC的面积为3，
故选：D．
3．（2020秋?渌口区期末）已知三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，且这两个三角形面积的和为25，则三角形ABC的面积为（　　）
A．5
B．21
C．15
D．20
【解析】解：设三角形ABC的面积为x,则三角形EFM的面积为25﹣x,
∵三角形ABC与三角形EFM的相似比为2，
∴＝22,
解得：x＝20,
∴三角形ABC的面积为20,
故选：D．
4．（2020秋?江北区期末）如图，在?ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连接CO并延长交AD于点E，若△COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解析】解：∵，△COD的面积是2，
∴△BOC的面积为4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，S△ABD＝S△BCD＝2+4＝6，
∴△DOE∽△BOC，
∴＝（）2＝，
∴S△DOE＝1，
∴四边形ABOE的面积＝6﹣1＝5，
故选：C．
5．（2020?下城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果＝，AD＝9，那么BC的长是（　　）
A．4
B．6
C．2
D．3
【解析】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴＝，＝，
∴＝，即＝，
解得，CD＝6，
∴＝，
解得，BD＝4，
∴BC＝＝＝2，
故选：C．
6．（2020秋?昆都仑区期末）如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度ED＝3.5m，点F到地面的高度FC＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度GA为（　　）
A．1.2m
B．1.3m
C．1.4m
D．1.5m
【解析】解：由题意可得：FC∥DE，
则△BFC∽△BED，
故＝，
即＝，
解得：BC＝3，
则AB＝5.4﹣3＝2.4（m），
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴∠FBC＝∠GBA，
又∵∠FCB＝∠GAB，
∴△BGA∽△BFC，
∴＝，
∴＝，
解得：AG＝1.2（m），
故选：A．
7．（2021春?萧山区月考）如图，在△ABC中，已知，E，F分别在边AC，BC上，DE∥BC，DF∥AC，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，故A选项错误；
∵DF∥AC，
∴＝＝，故B选项错误；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝9S△ADE，
∵DF∥AC，
∴△BDF∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∴S△BDF＝S△ABC＝4S△ADE，
∴＝4，故C选项错误；
∵S四边形EDFC＝S△ABC﹣S△ADE﹣S△BDF＝9S△ADE﹣S△ADE﹣4S△ADE＝4S△ADE，
∴S△BDF＝S四边形EDFC，
∴＝1．故D选项正确．
故选：D．
8．（2020秋?石家庄期中）有一块锐角三角形余料△ABC，边BC为15cm，BC边上的高为12cm，现要把它分割成若干个邻边长分别为5cm和2cm的小长方形零件，分割方式如图所示（分割线的耗料不计），使最底层的小方形的长为5cm的边在BC上，则按如图方式分割成的小长方形零件最多有几个（　　）
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
【解析】解：如图当最上层的小长方形的一边与AB、AC交于点E、F时，
EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝．
∵BC＝15cm，AD＝12cm，小长方形邻边长分别为5cm和2cm
∴＝
解得：AG＝4，
∴GD＝8cm，
∵小正方形的宽为2cm，
∴能分割4层小长方形，
∵BC＝15cm，
∴最底层能裁两个小长方形，
故共裁1+1+2+2＝6个小长方形．
故选：D．
9．如图，正方形ABCD中，AE＝EF＝FB，BG＝2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是（　　）
A．AG⊥FD
B．AQ：QG＝6：7
C．EP：PD＝2：11
D．S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝17：9
【解析】解：A、∵AD＝BA，∠DAF＝∠ABC＝90°，AF＝BG＝BC．
∴△DAF≌△ABG，
∴∠DFA＝∠AGB，
∵∠AGB+∠BAG＝90°，
∴∠BAG+∠DFA＝90°，
∴AG⊥FD．所以A正确．
B、设AE＝EF＝FB＝a，则BG＝2a，AG＝a．
由A可得：△AFQ∽△AGB，
∴＝，AQ＝＝＝．
QG＝AG﹣AQ＝＝．
AQ：QG＝：＝6：7．所以B正确．
C、如图1：
延长AG，DC相交于H，则△ABG∽△HCG，
设AE＝EF＝FB＝a，BG＝2a，GC＝a，得到CH＝．
又△AEP∽△HDP，
∴＝＝＝2：9．
不是2：11．所以C不正确．
D、如图2：
连接FG，DG．
设AE＝EF＝FB＝a，BG＝2a，GC＝a，DC＝3a，
由△AFQ∽△AGB，得：＝，FQ＝＝＝，
∴DQ＝DF﹣FQ＝﹣＝．
S四边形GCDQ＝S△GCD+S△GQD＝GC?CD+GQ?QD＝a?3a+??＝．
S四边形BGQF＝S△FBG+S△FQG＝BG?BF+FQ?GQ＝a?2a+??＝．
∴S四边形GCDQ：S四边形BGQF＝：＝17：9．所以D正确．
故选：C．
二．填空题
10．（2021?和平区一模）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，△ABC的面积为9，则△DEF的面积为　25　．
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝3：5，
∴＝（）2＝，
∵△ABC的面积为9，
∴△DEF的面积为25，
故答案为：25．
11．（2020秋?镇江期末）如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB∥CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于　3　m．
【解析】解：如图，作PF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∴△PAB∽△PCD，
∴，
即：，
解得PF＝3．
故答案为：3．
12．（2020秋?兴庆区校级期中）如图，A，B两点被池塘隔开，为测量A，B两点间的距离，在池塘边任选一点C，连接AC，BC，并延长AC到D，使CD＝AC，延长BC到E，使CE＝BC，连接DE，如果测量DE＝20m，则AB的长度为　40m　．
【解析】解：∵CD＝AC，CE＝BC，
∴＝＝，
又∵∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝＝，
∵DE＝20m，
∴AB＝40m，
故答案为：40m．
13．（2020秋?赫山区期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为　5　．
【解析】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴
∴
∴△ACD的面积＝×△ABD的面积＝5，
故答案为：5．
14．（2020秋?朝阳区校级期末）如图，有一块形状为Rt△ABC的斜板余料，∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，要把它加工成一个形状为?DEFG的工件，使GF在边BC上，D、E两点分别在边AB、AC上，若点D是边AB的中点，则S?DEFG的面积为　12　cm2．
【解析】解：过点A作AM⊥BC，交DE于点N，
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝10（cm），
∵＝BC?AM，
∴AM＝，即AM＝＝4.8（cm），
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴DE∥BC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DE＝BC＝5cm．
∴DE＝FG＝5cm，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴AN＝MN＝2.4cm，
∴?DEFG的面积为：5×2.4＝12（cm2）．
故答案是：12．
15．（2021?太和县模拟）如图，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点P，则S△PDE：S△PAC＝　　．
【解析】解：∵AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，
∴∠CEB＝∠ADB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△CBE∽△ABD，
∴，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∵AB＝AC＝3，BC＝2，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD＝1，
∴，
∵CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠BCE+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠CAD，
∵∠BEC＝90°，BD＝CD，
∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠CED，
∴∠CED＝∠CAP，
∴△PED∽△PAC，
∴S△PDE：S△PAC＝（）2＝，
故答案为：．
16．（2021?湖北模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且四边形CDEF为正方形，若AE＝3，BE＝5，则S△AEF+S△EDB＝　　．
【解析】解：设正方形CDEF的边长为x，则EF＝DE＝x，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠AFE＝∠EDB＝90°，
∴△AEF∽△EBD，
∴＝＝，即＝＝，
∴AF＝x，BD＝x，
在Rt△BDE中，x2+（x）2＝52，
∴x2＝，
∴S△AEF+S△EDB＝?x?x+?x?x＝x2＝×＝．
故答案为．
三．解答题
17．（2021?镇海区模拟）如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，△ABC是格点三角形（顶点在方格顶点处）．
（1）在图1中画出一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC相似，周长之比为2：1；
（2）在图2中画出一个格点△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC相似，面积之比为2：1．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
18．（2020秋?拱墅区期末）如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，点F在BD上，且∠BAF＝∠DBC，．
（1）求证：△ABC∽△AFD；
（2）若AD＝2，BC＝5，△ADE的面积为20，求△BCE的面积．
【解析】解：（1）证明：∵∠BAF＝∠DBC，
∴∠BAF+∠ABF＝∠DBC+∠ABF，
即∠AFD＝∠ABC，
∵＝，
∴△ABC∽△AFD，
（2）由（1）得：△ABC∽△AFD，
∴∠ADE＝∠ACB，
∵∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
∵AD＝2，BC＝5，
∴＝＝，
∵S△ADE＝20，
∴S△BCE＝125．
19．（2021春?唐山月考）如图，Rt△ABC为一块铁板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长．
【解析】解：设方案①正方形的边长为xcm，
∵∠ABC＝90°，四边形BDFE是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，
即＝，
解得x＝，
即加工成正方形的边长为cm．
设方案②正方形的边长为ycm，作BH⊥AC于H，交DE于K，
∵四边形EDGF是正方形，
∴DE∥AC，∠EDG＝∠DGF＝90°．
∴BH⊥DE于K．
∴∠DKH＝90°．
∴四边形DKHG为矩形．
故设HK＝DG＝y．
∴DE∥AC．
∴△BDE∽△BCA．
∴＝．
∵AC＝＝10．
∴S△ABC＝＝×BH．
∴BH＝4.8．
∴BK＝4.8﹣y．
∴＝．
解得y＝．
即方案②加工成正方形的边长为cm．
20．（2020?山西一模）“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【解析】解：设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴．
同理，△EMF∽△AMB，
∴．
∵EF＝CD，
∴，即．
解得x＝6.6，
∵，
∴．
解得AB＝9.6．
答：大树AB的高度为9.6米．
21．（2020?澄海区一模）如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ、△DKM、△CNH的面积依次为S1、S2、S3．
（1）求证：△BPQ∽△DKM∽△CNH；
（2）若S1+S3＝40，求S2的值．
【解析】（1）证明：∵矩形AEFB、BFGD、DGHC互相全等，
∴BD＝DC＝EF＝FG，且BD∥EF，DC∥FG，
∴四边形BEFD，DFGC为平行四边形，
∴BE∥DF∥CG，
∴∠BPQ＝∠DKM＝∠CNH，
∵BF∥DG∥CH，
∴∠BQP＝∠DMK＝∠CHN，
∴△BQP∽△DMK∽△CHN．
（2）∵BP∥DK∥CN，
∴△ABP∽△ADK∽△ACN，
∴，，
由（1）知：△BQP∽△DMK∽△CHN，
∴，，
∴S1：S2：S3＝1：4：9，
设S1＝k，则S2＝4k，S3＝9k，
∵S1+S3＝40，
∴k+9k＝40，
∴k＝4，
∴S2＝4k＝16．
22．（2020?龙泉驿区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接EB，交OD于点F．
（1）求证：OD⊥BE；
（2）若DE＝，AB＝10，求AE的长；
（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求的值．
【解析】解：（1）连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠AEB＝∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴，
∴OD⊥BE；
（2）∵∠AEB＝90°，
∴∠BEC＝90°，
∵BD＝CD，
∴BC＝2DE＝，
∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠BAC+∠BDE＝180°，
∵∠CDE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴，即，
∴CE＝2，
∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝8；
（3）∵，
∴设S△CDE＝5k，S△OBF＝6k，
∵BD＝CD，
∴S△CDE＝S△BDE＝5k，
∵BD＝CD，AO＝BO，
∴OD∥AC，
∴△OBF∽△ABE，
∴，
∴S△ABE＝4S△OBF，
∴S△ABE＝4S△OBF＝24k，
∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝34k，
∵△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∵BC＝2CD，
∴．
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精品试卷·第
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