《四边形》提高测试
1、如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.
解：根据题目条件可判断DE//BF.
证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAF+∠2=90°.
∵AF=AE+EF，又AF=BF+EF
∴AE=BF
∵∠1=∠2，∴△ABF≌△DAE（SAS）.
∴∠AFB=∠DEA，∠BAF=∠ADE.
∴∠ADE+∠2=90°，
∴∠AED=∠BFA=90°.
∴DE//BF.
2、如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
(1)求证:CF＝CH；
(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
解:(1)(5分) 证明:在△ACB和△ECD中
∵∠ACB=∠ECD=
∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,
∴∠1=∠2
又∵AC=CE=CB=CD,
∴∠A=∠D=
∴△ACB≌△ECD,
∴CF=CH
(2)(5分) 答: 四边形ACDM是菱形
证明: ∵∠ACB=∠ECD=, ∠BCE=
∴∠1=, ∠2=
又∵∠E=∠B=,
∴∠1=∠E, ∠2=∠B
∴AC∥MD, CD∥AM , ∴ACDM是平行四边形
又∵AC=CD, ∴ACDM是菱形
3、在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
答案：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠ECB＝∠ECD＝45°
又EC＝EC …………………………2分
∴△ABE≌△ADE ……………………3分
（2）∵△ABE≌△ADE
∴∠BEC＝∠DEC＝∠BED …………4分
∵∠BED＝120°∴∠BEC＝60°＝∠AEF ……………5分
∴∠EFD＝60°+45°＝105° …………………………6分
4、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
在△ABE和△DAF中，
∴△ABE≌△DAF。
（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=900。
∵∠3=∠4，∴∠1+∠3=900。∴∠AFD=900。
在正方形ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠AGB=300。
在Rt△ADF中，∠AFD=900，AD=2，∴AF=，DF =1。
由(1)得△ABE≌△ADF。∴AE=DF=1。∴EF=AF-AE= HYPERLINK "http://www./" 。
5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
解：⑴∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°.
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.
即∠BMA＝∠NBE.
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分
⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………7分
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分
理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN.
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形.
∴BM＝MN.
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分
⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝90°－60°＝30°.
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.
在Rt△EFC中，
∵EF2＋FC2＝EC2，
∴（）2＋（x＋x）2＝. ………………12分
解得，x＝（舍去负值）.
∴正方形的边长为. ………………13分
6、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
答案：证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD,∠B = ∠D = 90°
∵AE = AF，
∴．
∴BE＝DF．
（2）四边形AEMF是菱形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC．
∵BE＝DF，
∴BC－BE = DC－DF. 即．
∴．
∵OM = OA，
∴四边形AEMF是平行四边形．
∵AE = AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
7、如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高．
【答案】过B作BG∥AC，交DC的延长线于G点．
在梯形ABCD中，AB∥DC，
∴ 四边形ABGC为平行四边形．
∴ CG＝AB，BG＝AC．
∵ EF为梯形中位线，
∴ DG＝DC＋AB＝2 EF＝2 l．
∵ AC⊥BD且AC＝BD．
∴ BG⊥BD且BG＝BD．
∴ △BDG为等腰直角三角形．
∴ 高BH＝DG＝l．
8、如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
【提示】延长GP交BC于H，只要证PH＝PF即可，所以只要证∠PBF＝∠PBH．
【答案】∵ BE＝DE，
∴ ∠EBD＝∠EDB．
∵ 在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴ ∠DBC＝∠ADB，
∴ ∠EBD＝∠CBD．
延长GP交BC于H点．
∵ PG⊥AD，
∴ PH⊥BC．
∵ PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上．
∴ PF＝PH．
∵ 四边形ABHG中，
∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°．
∴ 四边形ABHG为矩形，
∴ AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF
故 PF＋PG＝AB．
∴ NE＝AB＝AM．
9．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．
【提示】证出∠CAE＝30°即可．
【答案】连结BD，交AC于点O，作EG⊥AC，垂足为G点．
∵ 四边形AEFC为菱形，
∴ EF∥AC．
∴ GE＝OB．
∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ OB⊥AC，
∴ OBGE，
∵ AE＝AC，OB＝BD＝AC，
∴ EG＝AE，
∴ ∠EAG＝30°．
∴ ∠BAE＝15°．
在菱形AEFC中，AF平分∠EAC，
∴ ∠EAF＝∠FAC＝∠EAC＝15°
∴ ∠EAB＝∠FAE＝∠FAC．
即AE、AF将∠BAC三等分．
10、如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角 ，
连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、
N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．
【提示】BD为正方形ABCD的对称轴，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
用∠1和∠2表示∠MCN以及∠EMC＋∠FNC．
【答案】∵ BD为正方形ABCD的对称轴，
∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4，
∴ ∠EMC＝180°－∠1－∠3＝180°－2∠1．
同理 ∠FNC＝180°－2∠2．
∴ ∠EMC＋∠FNC＝360°－2（∠1＋∠2）．
∵ ∠MCN＝180°－（∠1＋∠2），
∴ ∠EMC＋∠FNC总与2∠MCN相等．
因此∠EMC＋∠FNC始终为定角，这定角为∠MCN的2倍．
（图1） （图2）
（24题图）
第22题图
A
F
D
E
B
C
E
A D
B C
N
M
F
E
A D
B C
N
M
A
D
B
E
F
O
C
M
第21题图
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6《四边形》提高测试
1、如图6，在正方形ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，∠1=∠2，请判断线段DE与BF有怎样的位置关系，并证明你的结论.
2、如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．
(1)求证:CF＝CH；
(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．
3、在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
4、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）证明：△ABE≌△DAF；
（2）若∠AGB=30°，求EF的长．
5、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.
⑴ 求证：△AMB≌△ENB；
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.
6、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．
（1）求证：BE = DF；
（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
7、如图，一个等腰梯形的两条对角线互相垂直，且中位线长为l，求这个等腰梯形的高．
8、如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．
9．已知：如图，以正方形ABCD的对角线为边作菱形AEFC，B在FE的延长线上．
求证：AE、AF把∠BAC三等分．
10、如图，已知M、N两点在正方形ABCD的对角线BD上移动，∠MCN为定角 ，
连结AM、AN，并延长分别交BC、CD于E、F两点，则∠CME与∠CNF在M、
N两点移动过程，它们的和是否有变化？证明你的结论．
（图1） （图2）
（24题图）
第22题图
A
F
D
E
B
C
E
A D
B C
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M
A
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第21题图
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