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4.5相似三角形的性质及其应用（1）
学案
课题
4.5相似三角形的性质及其应用（1）
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级上册
学习目标
1.能证明“相似三角形的对应线段(对应中线，对应角平
分线)的比等于相似比”；2．理解重心的概念，并能掌握重心的性质．
重点
相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用．
难点
例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点。
教学过程
导入新课
【引入思考】在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？例1、如图：△A’B’C’∽△ABC，相似比为，求这两个三角形的角平分线A’D’与AD的比归纳：
。思考：如果把角平分线改为对应边上的高线呢？中线呢？
新知讲解
提炼概念
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)典例精讲
例2、已知：如图
，BD，CE是△ABC的两条中线，
P是它们的交点.求证：如图，△ABC的两条中线BE、CF交于P点，那么BC边上的中线AG是否也经过P点呢？
总结：三角形的重心：
。三角形重心的性质：
。
课堂练习
巩固训练1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是
(
)A．对应边的比是1∶2B．对应角的比是1∶2C．对应中线的比是1∶2D．对应角平分线的比是1∶22．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为
(
)A．2
B．3C．6
D．123.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．求证：＝k.5. 已知，△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，求：(1)线段GC的长；(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．答案：引入思考边长，周长归纳：相似三角形的对应边上的高之比等于相似比提炼概念典例精讲
例1例2
三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。巩固训练
1.答案：B2.答案：B3.证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝k.又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，∴＝＝.∴＝，∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.∴＝＝k.4.解：(1)连结CG并延长交AB于点D，∵G是三角形的重心，∴CD为AB边上的中线，CG＝CD，又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝4，CG＝.(2)∵MN∥AB，∴∠
CMN＝∠A，∠CNM＝∠B，∴△
CMN∽△CAB，同理可证△CMG∽△CAD，∴＝＝＝即MN＝AB＝.
课堂小结
1．相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角________，对应边________
_．2．相似三角形对应线段的性质性质：相似三角形对应中线的比、对应角的平分线的比都等于__________．3．三角形的重心重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；性质：三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．
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4.5相似三角形的性质及其应用（1）
教案
课题
4.4相似三角形的性质及其应用（1）
单元
第四单元
学科
数学
年级
九年级（上）
学习目标
1.能证明“相似三角形的对应线段(对应中线，对应角平
分线)的比等于相似比”；2．理解重心的概念，并能掌握重心的性质．
重点
相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用．
难点
例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情景，引出课题在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？边长，周长二、提炼概念归纳：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)三角形的重心定义三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。
思考自议学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题，引发对新问题的思考。
“相似三角形的对应线段对应中线，对应角平分线的
比”转化为相似三角形对应边的比；
讲授新课
三、典例精讲
例1思考：如果把角平分线改为对应边上的高线呢？中线呢？例2：思考：如果再作BC边的中线AF，AF会经过点P吗？三角形的重心定义三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)三角形的重心定理三角形的重心分每一条中线成1:2的两条线段。如上图：G是△ABC的重心∴GD:AG:AD=1：2：3试一试：怎样用一个手指平衡的顶起一本书？手指顶在书本的中心就可以平衡，这个平衡点叫做书本的重心.物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心。如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等。1.线段的重心是线段的中点。2.平行四边形的重心是对角线的交点。
3.
三角形的重心是三条中线的交点。
等边三角形的重心是高线或中线或角平分线交点4.正多边形的重心是对称轴的交点。
不规则的图形（物体）可以通过悬挂法来确定它的重心。
重心分中线成两段，它们的长度比为2∶1；重心和
三顶点的连线，将三角形的面积三等分；
在教法设计上引导学生自主、合作的学习能力。思想方法：转化思想．
课堂检测
巩固训练1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是
(
)A．对应边的比是1∶2B．对应角的比是1∶2C．对应中线的比是1∶2D．对应角平分线的比是1∶2答案：B2．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为
(
)A．2
B．3C．6
D．12答案：B
3.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．求证：＝k.证明：
∵△ABC∽△A′B′C′，∴＝＝＝k.又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，∴＝＝.∴＝，∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.∴＝＝k.5. 已知，△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，求：(1)线段GC的长；(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．解：(1)连结CG并延长交AB于点D，∵G是三角形的重心，∴CD为AB边上的中线，CG＝CD，又∵∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝4，CG＝.(2)∵MN∥AB，∴∠
CMN＝∠A，∠CNM＝∠B，∴△
CMN∽△CAB，同理可证△CMG∽△CAD，∴＝＝＝即MN＝AB＝.
课堂小结
1．相似三角形的性质定理：相似三角形的对应角________，对应边________
_．2．相似三角形对应线段的性质性质：相似三角形对应中线的比、对应角的平分线的比都等于__________．3．三角形的重心重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；性质：三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．
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4.5相似三角形的性质及其应用（1）
浙教版
九年级上
新知导入
情境引入
在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的边长、周长、角、面积这些量中，哪些被放大了10倍？
边长，周长
典例精讲
例1：已知:ΔABC∽ΔA/B/C/，相似比为k,
AD、A/D/分别是BC、B/C/边上的高
求证:
思考：如果把角平分线改为对应边上的高线呢？中线呢？
提炼概念
归纳：
相似三角形
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
都等于相似比
解：连结DE.
∴△DEP∽
△BCP
∵BD，CE是△ABC的两条中线
∴∠EDB=∠DBC，∠DEC=∠ECB
思考：如果再作BC边的中线AF，AF会经过点P吗？
C
B
A
D
E
G
F
三角形的重心定义
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
试一试：怎样用一个手指平衡的顶起一本书？
手指顶在书本的中心就可以平衡，这个平衡点叫做书本的重心.
物体的重心与物体的形状有关，规则的图形重心就是它的几何中心。如;线段，平行四边形，三角形，正多边形，等等。
1.线段的重心是线段的中点。
2.平行四边形的重心是对角线的交点。
3.
三角形的重心是三条中线的交点。
等边三角形的重心是高线或中线或角平分线交点
4.正多边形的重心是对称轴的交点。
不规则的图形（物体）可以通过悬挂法来确定它的重心。
课堂练习
1．已知两个相似三角形的相似比是1∶2，则下列判断中，错误的是
(
)
A．对应边的比是1∶2
B．对应角的比是1∶2
C．对应中线的比是1∶2
D．对应角平分线的比是1∶2
B
2．在△ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心．如果AG＝6，那么线段DG的长为
(
)
A．2
B．3
C．6
D．12
B
3.如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线．
5. 已知，△ABC中，∠C＝90°，G是三角形的重心，AB＝8，
求：(1)线段GC的长；
(2)过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，求MN的长．
课堂小结
1．相似三角形的性质
定理：相似三角形的对应角________，对应边_________．
2．相似三角形对应线段的性质
性质：相似三角形对应中线的比、对应角的平分线的比都等于__________．
3．三角形的重心
重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心；
性质：三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．
相等
成比例
相似比
作业布置
教材课后作业题第1-6题。
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