2020—2021学年浙教版九年级数学下册第1章　解直角三角形单元测试题（word版含答案）

第1章　解直角三角形　
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,BC=3,则∠A的余弦值是
(　　)
A.
B.
C.
D.
2.某水坝的坡比为1∶,坡长为20米,则该水坝的高度为
(　　)
A.10米
B.20米
C.40米
D.20米
3.已知关于x的一元二次方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根,则锐角α等于
(　　)
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,则下列等式中正确的是
(　　)
A.cosA=
B.sinB=
C.tanB=
D.以上都不正确
5.如图1,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则图中∠ABC的余弦值是
(　　)
图1
A.2
B.
C.
D.
6.如图2,某校教学楼AB与CD的水平间距BD=a
m,在教学楼CD的顶部C点测得教学楼AB的顶部A点的仰角为α,测得教学楼AB的底部B点的俯角为β,则教学楼AB的高度是(　　)
图2
A.(atanα+atanβ)m
B.+m
C.(asinα+asinβ)m
D.(acosα+acosβ)m
二、填空题(每小题5分,共25分)
7.计算:
(-2)2-2sin30°=
　　　　.?
8.在△ABC中,如果锐角∠A,∠B满足|tanA-1|+cosB-2=0,那么∠C=　　　　°.?
9.在△ABC中,∠C=90°,tanA=,则sinA+cosA=　　　　.?
10.如图3所示,AB是☉O的弦,半径OA=2,sinA=,则弦AB的长为　　　　.?
图3
11.如图4,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则sinα-cosα=　　　　.?
图4
三、解答题(共45分)
12.(10分)如图5,在△ABC中,AD是BC边上的高,BC=4,AD=12,sinB=.
求:(1)线段CD的长;
(2)sin∠BAC的值.
图5
13.(11分)如图6,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧.
(1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标;
(2)求的长(结果保留π);
(3)连结AC,BC,则sinC=　　　　.?
图6
14.(12分)地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题,如图7是某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图,其中,AB⊥BD,∠BAD=18°,点C在BD上,BC=0.5
m.根据规定,地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志,以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小刚认为CD的长就是所限制的高度,而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小刚和小亮谁说得对?请你判断并计算出正确的限制高度.(结果精确到0.01
m,参考数据:sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.325)
图7
15.(12分)如图8,已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象相交于第一象限内的P,8,Q(4,m)两点,与x轴交于点A.
(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)求点P关于原点的对称点P'的坐标;
(3)求∠P'AO的正弦值.
图8
答案
1.C　[解析]
在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=5,BC=3,∴AC=4,∴cosA==.故选C.
2.A　[解析]
如图,∵坡比为1∶,∴设AC=x米,BC=x米.根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即x2+(x)2=202,解得x=10(负值已舍去).故选A.
3.B　[解析]
由题意得b2-4ac=2-4sinα=0,
解得sinα=,∴α=30°.
4.D
5.D　[解析]
设每个小正方形的边长都是1.由图可知,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,AB2=32+42=25.∵AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,∴cos∠ABC==.
6.A　[解析]
过点C作CE⊥AB于点E,则CE=BD=a,
在Rt△BEC中,∵∠BCE=β,∴BE=atanβ.
在Rt△AEC中,∵∠ACE=α,∴AE=atanα,
故教学楼AB的高度是(atanα+atanβ)m.
7.3　[解析]
原式=4-2×=3.
8.75　9.
10.
　[解析]
过点O作OC⊥AB于点C,则AC=BC=AB.在Rt△AOC中,OC=OA·sinA=2×=,
∴AC=====
,
∴AB=2AC=2×
=
.
11.-　[解析]
根据大正方形的面积为169得到直角三角形的斜边长为13,根据小正方形的面积为49得直角三角形两直角边长的差为7,易得直角边长分别为12和5,∴sinα-cosα=-=-.
12.解:(1)∵AD是BC边上的高,
∴∠D=90°.
在Rt△ABD中,∵sinB=,
∴=.
又∵AD=12,∴AB=15,
∴BD==9.
又∵BC=4,
∴CD=BD-BC=9-4=5.
答:线段CD的长为5.
(2)如图,过点C作CE⊥AB,垂足为E.
∵S△ABC=BC·AD=AB·CE,
∴×4×12=×15·CE,
∴CE=,
∴sin∠BAC===.
答:sin∠BAC的值为.
13.解:(1)根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心,
可以作弦AB和BC的垂直平分线,交点即为圆心.如图①所示,则圆心D的坐标是(2,0).
(2)连结AD,AC,CD,则由勾股定理可得AD=CD==,AC==,
∴AD2+CD2=AC2,
∴△ACD是等腰直角三角形,且∠ADC=90°,
则的长是=.
(3)　[解析]
如图②,取格点E,连结BE,AE,则点E,B,C在同一直线上.
由勾股定理得AE=,AC=.
由正方形的性质和格点的性质可知,∠AEC=90°,
∴sinC===.
14.解:在△ABD中,∠ABD=90°,∠BAD=18°,AB=10
m,
∵tan∠BAD=,∴BD=10tan18°(m),
∴CD=BD-BC=10tan18°-0.5≈2.75(m).
在△ABD中,∠CDE=90°-∠BAD=72°.
在△CDE中,
∵CE⊥ED,
∴∠DCE=90°-∠CDE=18°.
∵cos∠DCE=,
∴CE=cos∠DCE·CD≈cos18°×2.75≈2.61(m).
∵CE∴小亮说得对,
∴正确的限制高度为2.61
m.
答:小亮说得对,正确的限制高度为2.61
m.
15.解:(1)∵点P在反比例函数的图象上,
∴把点P,8代入y=可得k2=4,
∴反比例函数的表达式为y=,
∴点Q的坐标为(4,1).
把P,8,Q(4,1)分别代入y=k1x+b中,得
解得
∴一次函数的表达式为y=-2x+9.
(2)点P关于原点的对称点P'的坐标为-,-8.
(3)如图,过点P'作P'D⊥x轴,垂足为D.
∵P'-,-8,∴OD=,P'D=8.
∵一次函数y=-2x+9的图象与x轴相交于点A,
∴点A的坐标为,0,即OA=,
∴DA=5,
∴P'A==,
∴sin∠P'AD===,
即sin∠P'AO=.