正方形
例1 （2010 重庆）已知：如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P．若AE=AP=1，PB=．下列结论：①△APD≌△AEB；②点B到直线AE的距离为；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正确结论的序号是（ ）
①③④ B．①②⑤ C．③④⑤ D．①③⑤
【变式题组】1、（2011 牡丹江）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点0作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P．则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；
（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；
（3）BE+BF=OA；
（4）AE2+CF2=EF2．
正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2、（2011 武汉）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部整点个数为（ ）
A．64 B．49 C．36 D．25
3、（2011 肇庆）如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，
（1）求证：△BEC≌△DEC：
（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．
例2 如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在CD上的E点，然后压平得折痕FG，若FG=13cm。求线段CE之长
【变式题组】4、（2009，威海）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接FH，GE，交点O
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm2．
例3 如图，正方形ABCD中，AB=，点E，F分别在BC，CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积
【变式题组】5、（2011 永州）探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠ ．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌ ．
∴ =EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
例4（2010 泰安）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
【变式题组】6、（2009 湖州）如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD；
（2）若∠A=90°，求证：四边形DFAE是正方形．矩形
例1如图，矩形ABCD中，DE=AB，，求证：EF=EB
【变式题组】1、（2011 黑龙江）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．
（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ=（不需证明）．
（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想
2、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE垂直于AC，PF垂直于BD，求PE+PF
例2 如图，□ABCD中，AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线，E、F、G、H为它们的交点，求证：四边形EFGH的矩形。
【变式题组】3、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形
4．如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， (1)求证：OE=OF； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。
例3 如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，BE//DE，若AD=12cm，AB=7cm，且AE:EB=5:2，求阴影部分。
【变式题组】5、如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC折叠，点D落在点处，C交AB于F，求重叠部分三角形的周长。
6、如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=8,将纸片如图折叠，使点B与点D重合，折痕为GH，求GH的长。
例4 如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，M是CD的中点，点P在矩形的边上沿运动，试写出△APM的面积与点P经过的路程之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像。
例5 如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，E是边AD上的动点，F是射线BC上的一点，BF=EF，且交射线DC于点G，设AE=，BF=。
当△BEF是等边三角形时，求BF的长；
求与之间的函数解析式，并写出它的定义域；
把△ABE沿着直线BE翻折，点A落在点处，试探索：△能否为等腰三角形？如果能，请写出AE的长；如果不能，请说明理由。
练习
1、（2011 鞍山）如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC=70°，则∠EOF等于（ ）
A．10° B．20° C．30° D．70
2、（2010 泰安）矩形ABCD的两对角线AC、BD交于点O，∠AOB=60°，设AB=xm，矩形ABCD的面积为Sm2，则变量s与x间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
3、如图，是两个全等矩形，请判断△FAC形状并说明理由
4、如图，矩形ABCD中，点C沿DB对折后落在C1，AB=4，AD=8，求△BDE的面积
5、矩形ABCD中，E是CD上一点，且AE=CE，F是AC上一点于H，于G，求证：
6、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，，垂足为E，已知AB=3，AD=4，求的面积。
A
E
B
C
D
F
D
A
C
B
H
G
F
E
A
B
E
D
F
C
A
B
C
D
E
O
D
A
E
G
C
B
F
H梯形
例1 用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于
【变式题组】1、用四条线段：=14，=13，=9，=7作为四条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线长的最大值是 （ ）
A、13.5 B、11.5 C、11 D、10.5
若等腰梯形的三边长分别为3，4，11，则这个等腰梯形的周长为 （ ）
A、21 B、29 C、21或29 D、21或22或29
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=40°，∠C=50°，点E，M，F分别为AB，BC，CD，DA的中点，且EF=,MN=，则BC为 （ ）
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
例２ 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P为BC边上的一点，PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别为E，F，G。
求证：PE+PF=BG
若AD=4，BC=6，AB=2，求BG的长
【变式题组】4、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，BD=BC，求证：2CO=AD+BC
例3 （1）任意剪一个梯形纸片，利用对折的方法找到两腰的中点E，F，按图中所示的方法过两腰的中点分别将含∠A，∠B的部分向里折，得到两个折痕[如图]，沿折痕剪下①②，并按图中箭头所指的方向旋转180°，你能得到一个怎样的四边形？由此，你能发现关于EF的哪些特性？
梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，，求的值
【变式题组】5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是两腰AB、DC的中点，AF、BC的延长线交于点G．
（1）求证：△ADF≌△GCF．
（2）类比三角形中位线的定义，我们把EF叫做梯形ABCD的中位线．阅读填空：
在△ABG中：∵E中AB的中点由（1）的结论可知F是AG的中点，
∴EF是△ABG的 线
∴EF=BG=（BC+CG）
又由（1）的结论可知：AD=CG
∴EF=（ + ）
因此，可将梯形中位线EF与两底AD，BC的数量关系用文字语言表述为
．
6、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别为AB、CD的中点．连接AF并延长，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ADF≌△GCF；
（2）若EF=7.5，BC=10，求AD的长．菱形
例1 如图，四边形ABCD是菱形，△AEF是正三角形，点E，F分别在边BC，CD上，且AB=AE，则∠B等于 （ ）
A、60° B、80° C、100° D、120°
【变式题组】1、如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，点E、F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC= （ ）
A、35° B、45° C、50° D、55°
2、（2011 嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
A．48cm B．36cm C．24cm D．18cm
3、（2010 兰州）如图所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，，则下列结论正确的个数有（ ）
①DE=3cm；②BE=1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD=cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图，菱形ABCD的边长为4cm，且∠A=120°，E是BC的中点，在BD上求点P，使PC+PE取最小值，并求这个最小值
例2（2011 宁波）如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．
【变式题组】5、如图，两个完全相同的矩形纸片ABCD，BFDE如图放置，AB=BF，求证：四边形BNDM为菱形
如图所示，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE和等边三角形BCF
求证：四边形DAEF是平行四边形
探究下列问题
①当△ABC满足 条件时，四边形DAEF是矩形；
②当△ABC满足 条件时，四边形DAEF是菱形；
③当△ABC满足 条件时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在
例3 已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，交AD于点M，AN平分∠DAC，交BC于点N
求证：四边形AMNE是菱形
【变式题组】7、（2009 营口）如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．
（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；
（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
作业
1、（2010 肇庆）菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2、（2011 衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）
C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）
3、（2011 益阳）如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
4、（2010 义乌市）如图，将三角形纸片△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是（ ）
①△BDF是等腰三角形；②DE=BC；
③四边形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A．
A．1 B．2 C．3 D．4
5、（2011 西宁）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是
