1.3二次函数的性质 同步练习（含答案）

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浙教版九上数学-二次函数的性质
一、单选题
1.（2017九上·深圳月考）如图，对称轴为x=2的抛物线y=
反比例函数
（x＞0）交于点B，过点B作x轴的平行线，交y轴于点C，交反比例函数
于点D，连接OB、OD。则下列结论中：①ab＞0；②方程
的两根为0,4；③3a+b＜0；④tan∠BOC=4tan∠COD不符合题意的有（??
）
A.?0个???????????????????????????????????????B.?1个???????????????????????????????????????C.?2个???????????????????????????????????????D.?3个
2.（2018九上·深圳开学考）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l：
经过点
一组抛物线的顶点
，
，
，…
（n为正整数），依次是直线
上的点，这组抛物线与
轴正半轴的交点依次是：
，
，
，…
（n为正整数）．若
，当d为（??
）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．
A.?
或
????????????????????????????B.?
或
????????????????????????????C.?
或
????????????????????????????D.?
3.（2019九上·安庆期中）已知二次函数
的
与
的部分对应值如下表：
-1
0
1
3
-3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为
；③当
时，函数值
随
的增大而增大；④方程
有一个根大于4；⑤若
，且
，则
．其中正确的结论有（??
）
A.?①②③?????????????????????????????B.?①②③④⑤?????????????????????????????C.?①③⑤?????????????????????????????D.?①③④⑤
4.如图，已知抛物线和直线.我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2
，
若y1≠y2
，
取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2
，
记M=
y1=y2.
下列判断：
①当x＞2时，M=y2；?
②当x＜0时，x值越大，M值越大；
③使得M大于4的x值不存在；
④若M=2，则x=1.
其中正确的有?
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个???????????????????????????????????????D.?4个
5.（2019·上饶模拟）已知抛物线y=-x2+2mx-m2+1与x轴的正半轴交于为A、B(点B在点A的右侧)，与y交于C，顶点为P．某数学学习小组在探究函数的图象与性质时得到以下结论：①开口向下，对称轴是直线x=m；②A(m-1，0)，B(m+1，0)；③函数最大值是1；④△BAP是等腰直角三角形；⑤当△BOC为等腰三角形时，抛物线的解析式是y=-x2+4x-3．以上结论正确有（??
）个．
A.?1???????????????????????????????????????????B.?2???????????????????????????????????????????C.?3???????????????????????????????????????????D.?4
二、填空题
6.（2020九上·台州月考）关于二次函数
的三个结论：
①若抛物线与x轴交于不同两点A，B，则a<
或a>0；
②对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
③若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则
；
其中正确的结论是________
7.（2018·富阳模拟）已知二次函数
，当
时，函数值
的最小值为
，则
?的值是________．
8.（2019九下·长兴月考）已知：当n≤x≤n+1时，二次函数y=x2-3x+3的最小值为1，则n的值为________。
9.（2020九下·江阴期中）如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2－6ax+5a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边.连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧，连接BD，则BD的最小值是________.
?
10.数y=ax2+bx+c（a＜0）图象与x轴的交点A．B的横坐标分别为﹣3，1，与y轴交于点C，下面四个结论：
①16a﹣4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（
，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③a=﹣
c；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣
．其中正确的有________（请将结论正确的序号全部填上）
三、综合题
11.（2019九上·沙河口期末）在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°.
（1）填空：点C的纵坐标是________（用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣
≤m≤
时，求BC′的长度范围.
12.（2020·赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接
PD
，
过点P作PE⊥PD
，
交直线AB于点E
，
过点P作MN⊥AB
，
交直线CD于点M
，
交直线AB于点N.
，AD
=4.
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数关系为:∠PDM________
∠EPN；
②
的值是________；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，以线段PD
，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x
，
矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.
13.（2017·长春模拟）如图，抛物线l1：y=x2﹣4的图象与x轴交于A，C两点，抛物线l2与l1关于x轴对称．
（1）直接写出l2所对应的函数表达式；
（2）若点B是抛物线l2上的动点（B与A，C不重合），以AC为对角线，A，B，C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：D点在l2上．
（3）当点B位于l1在x轴下方的图象上，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它面积的最值；若不存在，请说明理由．
14.（2020九上·吴兴月考）如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m
，
0），B（0，n）两点，m
，
n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n
．
（1）求m
，
n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C
，
顶点为点D
，
连结BD、BC、CD
，
求△BDC面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x2+bx+c
，
①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p
，
最小值为q
，
若p-q=3，求t的值．
15.（2018九上·新乡期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0）．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形
ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值。
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
C
2.【答案】
B
3.【答案】
C
4.【答案】
B
5.【答案】
D
二、填空题
6.【答案】
①②③
7.【答案】
8.【答案】
0或2
9.【答案】
3
10.【答案】
①③
三、综合题
11.【答案】
（1）am2+1
（2）解：设抛物线对称轴与x轴交于点E，如图1所示.
∵DA＝DB，∠DAB＝45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝2DE.
∵y＝ax2﹣2amx+am2+1＝a（x﹣m）2+1，
∴点D的坐标为（m，1）.
当y＝0时，ax2﹣2amx+am2+1＝0，即a（x﹣m）2＝﹣1，
解得：x1＝m﹣
，x2＝m+
，
∴AB＝2
＝2，
解得：a＝﹣1.
（3）解：由（1）（2）可知：点C的坐标为（0，1﹣m2），点B的坐标为（m+1，0）.
∵点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，
∴点C′的坐标为（m2﹣1，0），
∴BC′＝|m+1﹣（m2﹣1）|＝|﹣m2+m+2|.
∵﹣m2+m+2＝﹣（m﹣
）2+
，﹣
≤m≤
，
∴当m＝
时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣
；
当m＝
时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为
，
∴当﹣
≤m≤
时，﹣
≤﹣m2+m+2≤
，
∴当﹣
≤m≤
时，0≤BC′≤
.
12.【答案】
（1）=；
（2）解：成立，
设NP=a，则MP=4+a，
∵∠ACD=30°，
∴MC=
（4+a），
∴MD=
(4+a)-4
=
a，
由（1）同理得∠PDM=∠EPN，∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PDM∽△EPN，
∴
=
，
（3）解：∵PM=x，
∴PN=4-x，EN=
，
∴
，
∴
，
，
∴矩形PEFD的面积为y=
，
∵
>0，
∴当x=3时，y有最小值为
.
13.【答案】
（1）解：∵l1与x轴的交点A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4），
设y=ax2+4，
则4a+4=0，
解得a=﹣1，
∴l2的解析式为y=﹣x2+4；
（2）解：设B（x1
，
y1），
∵点B在l1上，
∴B（x1
，
x12﹣4），
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称，
∴B、D关于O对称，
∴D（﹣x1
，
﹣x12+4），
将D（﹣x1
，
﹣x12+4）的坐标代入l2：y=﹣x2+4，
∴左边=右边，
∴点D在l2上；
（3）解：当y=0时，﹣x2+4=0，
解得：x1=2，x2=﹣2，
所以AC=4，
则S?ABCD=AC?（﹣yB）=﹣4x2+16，
当x=0时，S?ABCD取得最大值16，
∵当点B在x轴下方时，﹣4≤y1＜0，
∴S=﹣4y1
，
它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1=﹣4时，S有最大值16，但它没有最小值，
此时B（0，﹣4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上，
∴AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形
14.【答案】
（1）解：∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，
，解得
，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）解：过点D作DM⊥x轴于点M，交BC于点H，
∵点B（0，3）
y＝﹣x2+2x+3=-（x-1）2+4?
∴点D（1，4）
当y=0时，﹣x2+2x+3=0
解之：x1=3,,x2=-1
∴点C（3，0）
设直线BC的解析式为y=kx+b
∴
解之：
∴y=-x+3
当x=1时，y=-1+3=2
∴点H（1，2）
∴
（3）解：抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（
1
）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（
2
）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+
（舍），t2＝1﹣
（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即
（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
15.【答案】
（1）解：将B、C两点的坐标代入得
?，解得
?，
所以二次函数的表达式为y=﹣x2+2x+3
（2）解：如图，存在点P，使四边形POP′C为菱形．设P点坐标为（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于E，
若四边形POPC是菱形，则有PC=PO，
连接PP则PE⊥CO于E，
∴OE=CE=
，
∴y=
，
∴-x2+2x+3=
，解得x1=
，x2=
（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（
，
）；
（3）解：如图1，，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，﹣x2+2x+3）
易得，直线BC的解析式为y=﹣x+3．
则Q点的坐标为（x，﹣x+3）．PQ=﹣x2+3x．
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=
AB?OC+
QP?BF+
QP?OF=
×4×3+
（﹣x2+3x）×3=﹣
（x﹣
）2+
，
当x=
时，四边形ABPC的面积最大，
此时P点的坐标为（
，
），四边形ABPC面积的最大值为
．
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