初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元测试
一、单选题
1．（2021七下·万州期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边的长的一组数是（ ）
A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，13
2．（2021·盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·广元）观察下列作图痕迹，所作线段 为 的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·白云期末）如图 ， ，其中 ， ， ， ， ，则到距离为（ ）
A．3 B．5 C． D．
5．（2021七下·南开期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．在所有连接两点的线中直线最短
B．经过两点有且只有一条直线
C．内错角互补则两直线平行
D．空间中，如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直
6．（2021八上·通川期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
7．（2021七下·河北期末）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；④不相交的两条直线叫作平行线，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021七下·沙坪坝期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
9．（2021八下·未央月考）如图， ， ， 于点E， 于点D， ， ，则 的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
10．（2021七下·天桥期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
二、填空题
11．（2021·柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个即可）
12．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
13．（2021七下·天桥期末）如图，已知 ，若以“SAS”为依据证明 ，还要添加的条件 ．
14．（2021七下·仁寿期末）如图，△ABD与△EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE的长等于 ．
15．（2021七下·长兴期末）如图，已知AB∥CD，∠A=65°，∠C=40°，则∠E的度数是
16．（2021七下·西城期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，如果 ， ，那么 ，这是一个 命题．（填“真”或“假”）
三、解答题
17．（2021八下·富顺月考）如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
18．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
19．（2021七下·白云期末）如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2．判定∠E与∠F是否相等，说明理由．
20．（2020八上·庐阳月考）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
21．（2021·南充）如图， ，AD是 内部一条射线，若 ， 于点E， 于点F.求证： .
22．（2021·李沧模拟）已知：如图，四边形 ．
求作：点 ，使点 在四边形 内部， ，并且点 到 两边的距离相等．
23．（2021·赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．
24．（2021九下·庆云月考）
（1）问题背景
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD， BAD＝120°， B＝ ADC＝90°．E，F 分别是 BC，CD上的点．且 EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG．先证明ΔABE≌ΔADG；再证明ΔAEF≌ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ；
请你帮他完成证明过程
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD， B＋ D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且 EAF＝ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+6=11＞7，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵5+7=12<13，∴不能组成三角形，故B符合题意；
C、∵5+8=13＞8，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵5+12=17＞13，∴能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形任意两边之和都大于第三边，据此逐一判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°
则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠1＝∠2+∠3，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为 的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的画法可得结果.
4．【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴BD垂直于AD，
∴B到AD的距离等于BD的长度=BC-CD= ，
∴点B到线段AD的距离是 ，
故答案为：D．
【分析】根据点到直线的距离定义可知，B到AD的距离等于BD的长度，即可得到到距离。
5．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．在所有连接两点的线中，线段最短，故A不符合题意，
B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故B符合题意，
C．内错角相等，两直线平行，故C不符合题意，
D．空间中，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故D不符合题意
故答案为：B
【分析】利用线段的性质、确定直线的条件、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项。
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，
∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答.
7．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，缺少直线外一点，故说法错误，符合题意；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意；
③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，说法正确，不符合题意；
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，该说法缺少同一平面，说法错误，符合题意．
故说法中错误的个数是2个．
故答案为：B．
【分析】分别利用平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义判断后即可确定正确的选项。
8．【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；
B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；
C、两个全等图形的面积一定相等，正确；
D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据全等图形的概念可判断A、B、D；根据全等图形的性质判断C.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ， ， 于 ， 于 ，
，
，
又 ， ，
.
， ，
.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠CAE=∠BCD，结合已知用角角边可证△AEC≌△CDB，由全等三角形的对应边相等可得CE=BD，CD=AE，然后根据线段的构成ED=CD-CE可求解.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故答案为：A．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，再利用ASA证明三角形全等即可。
11．【答案】5（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】由三角形三边关系可得：1
12．【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
添加条件 ，
故答案为：
【分析】利用SAS证明三角形全等的判定方法求解即可。
14．【答案】2
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：因为 △ABD≌△EBC 所以BE=AB，BC=BD，
因为 AB＝1，BC＝3， 所以DE=BD-BE=BC-AB=3-1=2，
故填2.
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，首先分清楚对应点和对应线段是解题关键，再根据 全等三角形对应线段相等，从而DE=BD-BE=BC-AB得解。
15．【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：取EA和CD的交点为F，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠A=65°，
∵∠EFD=∠C+∠E，
∴∠E=∠EFD-∠C=65°-40°=25°，
故答案为：25°，
【分析】取EA和CD的交点为F，根据平行线的性质求出∠EFD，然后根据三角形的外角性质求∠E即可.
16．【答案】真
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵三条不同的直线a，b，c在同一平面内，
∴如果 ， ，那么 ，这是一个真命题．
故答案为真．
【分析】根据真命题的定义判断求解即可。
17．【答案】解：∵S△ACD=×5×2=5，S△ABC=×5×3=7.5，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=5+7.5=12.5.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】首先由三角形的面积公式可得S△ACD，S△ABC，然后根据S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC计算即可.
18．【答案】（1）解：假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）解：假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断出真假的语句，判断出是正确的命题是真命题，判断出结论错误的是假命题。
19．【答案】解：∠E=∠F．
理由：∵∠BAP+∠APD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP=∠APC．
∵∠1=∠2，
∴∠EAP=∠APF，
∴AE∥PE，
∴∠E=∠F．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质即可说明理由。
20．【答案】解：∵△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，∠ABO=∠D，
∴∠OBD=∠D= （180°-∠BOD）= （180°-30）=75°，
∴∠ABC=180°-75°×2=30°，
∵AO∥CD
∴∠A=∠ABC=30°．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】已知△ABO≌△CDO，根据全等三角形的性质可得OB=OD，∠ABO=∠D，再根据等边对等角求出∠OBD=∠D，然后求出∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
21．【答案】证明：∵ ，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CAF＝∠EBA，∠AEB=∠AFC=90°，再利用AAS证明△AEB≌△CAF；然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
22．【答案】解：如图，点P即为所求作．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线MN，作∠BCD的角平分线CQ，MN交CQ于点P，点P即为所求作．
23．【答案】（1）解：如图， 为所作 的平分线；
（2）解：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）利用SAS证明三角形全等，再求出∠ACE=∠ADE，最后证明求解即可。
24．【答案】（1）解：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
（2）解：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF，
=∠BAD- ∠BAD= ∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
（3）解：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×（70+90）=320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
（2）探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB．
（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE= ∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可．
1 / 1初中数学浙教版八年级上册第一章 三角形的初步知识 单元测试
一、单选题
1．（2021七下·万州期末）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边的长的一组数是（ ）
A．5，6，7 B．5，7，13 C．5，8，8 D．5，12，13
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵5+6=11＞7，∴能组成三角形，故A不符合题意；
B、∵5+7=12<13，∴不能组成三角形，故B符合题意；
C、∵5+8=13＞8，∴能组成三角形，故C不符合题意；
D、∵5+12=17＞13，∴能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】三角形任意两边之和都大于第三边，据此逐一判断即可.
2．（2021·盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意可得，∠2＝30°，∠3＝45°
则∠1＝∠2+∠3＝45°+30°＝75°.
故答案为：C.
【分析】根据三角形外角的性质可得∠1＝∠2+∠3，据此解答即可.
3．（2021·广元）观察下列作图痕迹，所作线段 为 的角平分线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】作图-角的平分线
【解析】【解答】解：A：所作线段为AB边上的高，选项错误；
B：做图痕迹为AB边上的中垂线，CD为AB边上的中线，选项错误；
C：CD为 的角平分线，满足题意。
D：所作线段为AB边上的高，选项错误
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的画法可得结果.
4．（2021七下·白云期末）如图 ， ，其中 ， ， ， ， ，则到距离为（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴BD垂直于AD，
∴B到AD的距离等于BD的长度=BC-CD= ，
∴点B到线段AD的距离是 ，
故答案为：D．
【分析】根据点到直线的距离定义可知，B到AD的距离等于BD的长度，即可得到到距离。
5．（2021七下·南开期末）下列命题中的真命题是（ ）
A．在所有连接两点的线中直线最短
B．经过两点有且只有一条直线
C．内错角互补则两直线平行
D．空间中，如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A．在所有连接两点的线中，线段最短，故A不符合题意，
B．经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故B符合题意，
C．内错角相等，两直线平行，故C不符合题意，
D．空间中，如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故D不符合题意
故答案为：B
【分析】利用线段的性质、确定直线的条件、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项。
6．（2021八上·通川期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A
C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵∠1是三角形的一个外角，
∴∠1＞∠A，
又∵∠2是三角形的一个外角，∴∠2＞∠1，
∴∠2＞∠1＞∠A.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角解答.
7．（2021七下·河北期末）下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种；④不相交的两条直线叫作平行线，错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，缺少直线外一点，故说法错误，符合题意；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，不符合题意；
③在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交，平行两种，说法正确，不符合题意；
④在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，该说法缺少同一平面，说法错误，符合题意．
故说法中错误的个数是2个．
故答案为：B．
【分析】分别利用平行线的性质、垂线的性质、两直线的位置关系、平行线的定义判断后即可确定正确的选项。
8．（2021七下·沙坪坝期中）下列说法中正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形，一定是全等图形
B．两个等边三角形是全等图形
C．两个全等图形的面积一定相等
D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形
【答案】C
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：A、两个面积相等的图形不一定是全等图形，故A错误；
B、两个等边三角形不一定是全等图形，故B错误；
C、两个全等图形的面积一定相等，正确；
D、若两个图形的周长相等，则它们不一定是全等形，故D错误；
故答案为：C.
【分析】根据全等图形的概念可判断A、B、D；根据全等图形的性质判断C.
9．（2021八下·未央月考）如图， ， ， 于点E， 于点D， ， ，则 的长是（ ）
A．8 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解： ， ， 于 ， 于 ，
，
，
又 ， ，
.
， ，
.
故答案为：C.
【分析】由同角的余角相等可得∠CAE=∠BCD，结合已知用角角边可证△AEC≌△CDB，由全等三角形的对应边相等可得CE=BD，CD=AE，然后根据线段的构成ED=CD-CE可求解.
10．（2021七下·天桥期末）如图，测河两岸A，B两点的距离时，先在AB的垂线BF上取C，D两点，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，测得ED的长就是A，B的距离，判定△EDC≌△ABC的依据是：（ ）
A．ASA B．SSS C．AAS D．SAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故答案为：A．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，CD=BC，∠ABC=∠EDC，再利用ASA证明三角形全等即可。
二、填空题
11．（2021·柳州）若长度分别为3，4，a的三条线段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个即可）
【答案】5（答案不唯一）
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由题意知：4﹣3＜a＜4+3，即1＜a＜7，
整数a可取2、3、4、5、6中的一个，
故答案为：5（答案不唯一）.
【分析】由三角形三边关系可得：112．（2020八上·泰州月考）如图，∠EAD为锐角，C是射线AE上一点，点B在射线AD上运动(点A与点B不重合)，设点C到AD的距离为d，BC长度为a，AC长度为b，在点B运动过程中，b、d保持不变，当a满足 条件时，△ABC唯一确定.
【答案】a=d或a≥b
【知识点】作图-三角形
【解析】【解答】如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.①当点B与点F重合时，即 时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；
②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD有两个交点 、 ，
∴△ABC不是唯一的；②当 时，如图，
半径为 的⊙C与射线AD只有唯一交点 ，
∴△ABC唯一确定.
故答案是： 或 .
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，此时△ACF是直角三角形.分类讨论：①当点B与点F重合时，△ABC是直角三角形，△ABC唯一确定；②当 时，如图，△ABC不是唯一的；③当 时，如图，△ABC唯一确定.
13．（2021七下·天桥期末）如图，已知 ，若以“SAS”为依据证明 ，还要添加的条件 ．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：
添加条件 ，
故答案为：
【分析】利用SAS证明三角形全等的判定方法求解即可。
14．（2021七下·仁寿期末）如图，△ABD与△EBC全等，点A和点E是对应点，AB＝1，BC＝3，则DE的长等于 ．
【答案】2
【知识点】全等图形
【解析】【解答】解：因为 △ABD≌△EBC 所以BE=AB，BC=BD，
因为 AB＝1，BC＝3， 所以DE=BD-BE=BC-AB=3-1=2，
故填2.
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，首先分清楚对应点和对应线段是解题关键，再根据 全等三角形对应线段相等，从而DE=BD-BE=BC-AB得解。
15．（2021七下·长兴期末）如图，已知AB∥CD，∠A=65°，∠C=40°，则∠E的度数是
【答案】25°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：取EA和CD的交点为F，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠A=65°，
∵∠EFD=∠C+∠E，
∴∠E=∠EFD-∠C=65°-40°=25°，
故答案为：25°，
【分析】取EA和CD的交点为F，根据平行线的性质求出∠EFD，然后根据三角形的外角性质求∠E即可.
16．（2021七下·西城期末）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，如果 ， ，那么 ，这是一个 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵三条不同的直线a，b，c在同一平面内，
∴如果 ， ，那么 ，这是一个真命题．
故答案为真．
【分析】根据真命题的定义判断求解即可。
三、解答题
17．（2021八下·富顺月考）如图，每个小方格的边长都为1．求图中格点四边形ABCD的面积．
【答案】解：∵S△ACD=×5×2=5，S△ABC=×5×3=7.5，
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=5+7.5=12.5.
【知识点】三角形的面积
【解析】【分析】首先由三角形的面积公式可得S△ACD，S△ABC，然后根据S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC计算即可.
18．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）如果一个数是偶数，那么这个数是4的倍数．
（2）两个负数的差一定是负数．
【答案】（1）解：假命题．反例：6是偶数，但6不是4的倍数．
（2）解：假命题．反例：(－5)－(－8)＝＋3.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】命题是可以判断出真假的语句，判断出是正确的命题是真命题，判断出结论错误的是假命题。
19．（2021七下·白云期末）如图，∠BAP＋∠APD＝180°，∠1＝∠2．判定∠E与∠F是否相等，说明理由．
【答案】解：∠E=∠F．
理由：∵∠BAP+∠APD=180°，
∴AB∥CD，
∴∠BAP=∠APC．
∵∠1=∠2，
∴∠EAP=∠APF，
∴AE∥PE，
∴∠E=∠F．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质即可说明理由。
20．（2020八上·庐阳月考）如图，△ABO≌△CDO，点B在CD上，AO∥CD，∠BOD＝30°，求∠A的度数．
【答案】解：∵△ABO≌△CDO，
∴OB=OD，∠ABO=∠D，
∴∠OBD=∠D= （180°-∠BOD）= （180°-30）=75°，
∴∠ABC=180°-75°×2=30°，
∵AO∥CD
∴∠A=∠ABC=30°．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】已知△ABO≌△CDO，根据全等三角形的性质可得OB=OD，∠ABO=∠D，再根据等边对等角求出∠OBD=∠D，然后求出∠ABC，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
21．（2021·南充）如图， ，AD是 内部一条射线，若 ， 于点E， 于点F.求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴∠BAE＋∠CAF＝90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA＝∠AFC＝90°，
∴∠BAE＋∠EBA＝90°，
∴∠CAF＝∠EBA，
∵AB＝AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴
【知识点】三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CAF＝∠EBA，∠AEB=∠AFC=90°，再利用AAS证明△AEB≌△CAF；然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
22．（2021·李沧模拟）已知：如图，四边形 ．
求作：点 ，使点 在四边形 内部， ，并且点 到 两边的距离相等．
【答案】解：如图，点P即为所求作．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线MN，作∠BCD的角平分线CQ，MN交CQ于点P，点P即为所求作．
23．（2021·赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明 ．
【答案】（1）解：如图， 为所作 的平分线；
（2）解：如图．连接DE，由(1)知：
在 和 中
∵
∴ ，
∴
又∵
∴ ，
∴
【知识点】三角形全等的判定（SAS）；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）利用SAS证明三角形全等，再求出∠ACE=∠ADE，最后证明求解即可。
24．（2021九下·庆云月考）
（1）问题背景
如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD， BAD＝120°， B＝ ADC＝90°．E，F 分别是 BC，CD上的点．且 EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG．先证明ΔABE≌ΔADG；再证明ΔAEF≌ΔAGF，可得出结论，他的结论应是 ；
请你帮他完成证明过程
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD， B＋ D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且 EAF＝ BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（0处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲，乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）解：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，
∴BE=DG，EF=GF，
∴EF=FG=DF+DG=BE+FD．
故答案为：EF=BE+FD．
（2）解：EF=BE+FD仍然成立．
理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADG，
又∵AB=AD，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
又∵∠EAF= ∠BAD，
∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF，
=∠BAD- ∠BAD= ∠BAD，
∴∠EAF=∠GAF．
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=FG，
又∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+FD．
（3）解：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，
在四边形AOBC中，
∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°= ∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，
∴结论EF=AE+FB成立．
即，EF=AE+FB=2×（70+90）=320（海里）
答：此时两舰艇之间的距离为320海里．
【知识点】三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF，证明EF=FG，得到答案；
（2）探索延伸：连接EF，延长AE，BF相交于点C，利用全等三角形的性质证明EF=AE+FB．
（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，首先证明，∠FOE= ∠AOB，利用结论EF=AE+BF求解即可．
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