初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习

初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（　　）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
2．（2020八上·重庆月考）一个角是 的等腰三角形是（　　）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
3．（2021八上·开州期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021八上·襄州期末）如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）
A．∠M=∠N B．AM∥CN C．AC=BD D．AM=CN
5．（2021八上·民勤期末）如图， 中， ， ，在直线 或 上取一点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．（2021八上·抚顺期末）已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2021八上·正阳期末）如图， 中， ， ， ，则 的周长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．12
8．（2021八上·滑县期末）如图，点 是 的 ， 的平分线的交点， 交 于点 ， 交 于点 ，若 的周长为 ，那么 的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2020八上·铁力期末）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2020八上·莘县期中）已知 是 的两边，且 ，则 的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
二、填空题
11．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有　 　．（填序号）
12．（2020八上·房山期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有　 　个.
13．（2020八上·大理期末）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于　 　
14．（2020八上·北京期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点E．若AB+AC=20，可求得△AEF的周长为　 　．
15．（2020八下·灯塔期末）如图， 是边长为 的等边三角形， 是 内的任意一点，分别过点 作 分别交 ， 于点 ， ，作 分别交 ， 于点 ， ，作 分别交 ， 于点 ， ．则 的值为　 　．
16．（2020·凤山模拟）如图，在 中， 分别为 的中点.若 ，则 的长度为　 　.
三、解答题
17．（2021八下·中原期中）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB=AC.
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD=CD，加上公共边的条件AD=AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C，可证出AB=AC成立；小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论.请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方法不同）
18．（2021八上·岳阳期末）如图， 中， ，点 是 延长线上一点， 于点 交 于点 ，求证： .
19．（2020八上·宁城期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，
求证：△ADE为等边三角形
20．（2020八上·平阴期末）如图△ABC中， 的平分线交于点O，过O点做 ，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
21．（2020八上·黔东南州月考）如图，一船上午 时从海岛 出发，以 海里/时的速度向正北方向航行， 时到达 处，从 、 两处分别望灯塔 ，测得 ， ，求从 处到灯塔 的距离.
22．（2020八上·富顺期中）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
23．（2020八上·天津月考）如图， 是等边三角形， 是高，并且 恰好是 的垂直平分线．求证： 是等边三角形．
四、综合题
24．（2020八上·路北期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 边上的点，并且 ．
（1） 是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点 是 上的一点，并且 平分 ， 平分 ．
①求证： 是等腰三角形；
②若 的周长为 ， ，直接写出 的周长（用含 ， 的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
2．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：C.
【分析】分别讨论AB为腰和AB为底即可得.
4．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、添加AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意.
C、由AC=BD可得AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、添加AM=CN，从而与MB=ND，∠MBA=∠NDC两条件联合，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题干已有的条件，然后分别添加各个选项的条件，结合全等三角形的判定定理对各个选项逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：以点A为圆心，AB为半径作圆，交AC于P1，P2，交BC与P3，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
以点B为圆心，AB为半径作圆，交AC于P5，交BC与P4，P6，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
作AB的垂直平分线，交BC于P7，此时满足条件的等腰△PAB有1个；
∵ ，∴∠ABP3=60°，
∵AB=AP3，
∴△ABP3是等边三角形；
同理可证△ABP6，△ABP6是等边三角形，即△ABP3，△ABP6，△ABP7重合，
综上可知，满足条件的等腰△PAB有5个.
故答案为：B.
【分析】若点P在直线BC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到2个；若点P在直线AC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到3个, 因此符合条件的点P共有5个.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.
故答案为：C.
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
，
为等边三角形，
，
的周长为： ，
故答案为：D.
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质 根据 ， ，即可判定 为等边三角形，由 ，即可求出 的周长.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，
∵点 是 的 ， 的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；
∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；
∴BD=OD，CE=OE；
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵ 的周长为 ，
∴BC=9cm．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质可得∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；于是∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；由等角对等边可得BD=OD，CE=OE；根据三角形的周长等于三角形的三边之和可得△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC，把△ODE的周长代入等式计算即可求解.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论符合题意；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论不符合题意；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论不符合题意；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法符合题意，
正确的命题有2个，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定逐项判定即可。
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为： ，所以： ，
所以： ，所以三角形ABC是等腰三角形，
故答案为：A．
【分析】把 变形得到 可得三角形形状．
11．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①如果添加条件为“ ”，由 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故①正确；
②如果添加条件为“ ”，由 ，三角形内角和为 ，可知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，则可得出 是等边三角形；故②正确；
③如果添加条件为“边 、 上的高相等”，由 的面积 底 高，边 、 上的高相等，可知 ，又因为 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故③正确．
故答案为：①②③．
【分析】利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出此三角形的三个内角的度数，利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可对②作出判断；利用同一个三角形的面积相等，可证得AB=BC，因此利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对③作出判断；综上所述可得正确结论的序号。
12．【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】分三种情况讨论：
①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，
同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，
③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，
同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，
故答案为：5．
【分析】分三种情况讨论，通过作图可求解。
13．【答案】13
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13，
即△AEF的周长为13，
故答案为13．
【分析】利用平行和角平分线的定义得到∠EBD=∠EDB，所以的ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得答案。
14．【答案】20
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DB、DC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴EB=ED，FD=FC，
∴△AEF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=20．
故答案为：20．
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，进而可得EB=ED，FD=FC，然后根据线段的和差可得△AEF的周长=AB+AC，从而可得答案．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，MN∥AC，
∴四边形AMPE，BFPG，CHPN都是平行四边形，
均为等边三角形，
∴MP=AE，PE=AM， PF=BG， ，PN=CH，
∵EF=PE+PF，GH=GP+PH，MN=MP+PN，
∴EF+GH+MN=
∵AB=4cm，
∴EF+GH+MN=8cm．
故答案为8cm．
【分析】由等边三角形性质可知AB=AC=BC，结合平行线的性质可得四边形AMPE，BFPG，CHPN都是平行四边形， 均为等边三角形，根据等边三角形及平行四边形的性质可得EF+GH+MN=2AB，进而可求解。
16．【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF= CD=1，
故答案为：1.
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可.
17．【答案】解：小芳的证明思路正确.
证明：过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∴ AB×DE= AC×DF，
∴AB=AC
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△ACD，于是根据AB×DE=AC×DF可求解.
18．【答案】证明： ，
，
又 ，
， ，
（等角的余角相等），
又 （对顶角相等），
，
（等角对等边）.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】由根据等边对等角得∠A=∠C，根据直角三角形的两锐角互余得出 ， ，根据等角的余角相等得出 ，根据对顶角相等及等量代换可得∠D=∠DEB，最后根据等角对等边即可得出结论.
19．【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，
∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
在△CBD和△ACE中，
∴△CBD △ACE（SAS）
∴CD=AE ，
∴∠AEC=∠CDB=90°
∵D为AC的中点
∴AD=DE，AD=DC，
∴ AD=AE=DE，
即△ADE为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．
20．【答案】解：CF＋BE＝EF．
证明如下：
∵BO平分∠ABC
∴∠EBO＝∠CBO ，
∵
∴∠EOB＝∠OBC ，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE ，
同理可得：CF＝FO，
∵EO＋FO＝EF ，
∴CF＋BE＝EF
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线求出 ∠EBO＝∠CBO ， 再求出 EO＝BE ， 最后计算求解即可。
21．【答案】解： ， ，
，
，
，
，
，
答：从 处到灯塔 的距离是 海里.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出，从而可得，利用等角对等边即得 ，利用速度×时间=路程可求出BC的长，从而得出结论.
22．【答案】证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
∵∠1=∠2， ∴OB=OC，
∵AO平分∠BAC， ∴OD=OE，
∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC， ∴ΔABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，想证明三角形为等腰三角形，证明∠ABC=∠ACB即可，只要∠5=∠6，三角形全等即可。
23．【答案】证明：∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得到角、边相等，再利用垂直平分线的性质得到角相等，证明即可。
24．【答案】（1）解： ， ．
， ， ，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：① 平分 ， ，
， ，
，
是等腰三角形；
② 的周长 ．
是等腰三角形， ，
同理可得： ，
的周长 ，
，
又 的周长为 ，
，
的周长 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知和MN//BC 可以得到 ，从而得到△AMN 是等腰三角形；（2）①由已知和MN//BC 可以得到 ，从而得到△BPM是等腰三角形；②由①可得MP=MB、NP=NC，从而得到△AMN 的周长=AB+AC=a-b．
1 / 1初中数学浙教版八年级上册2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习
一、单选题
1．（2021八上·沙坪坝期末）下列说法错误的是（　　）
A．有两边相等的三角形是等腰三角形
B．直角三角形不可能是等腰三角形
C．有两个角为60°的三角形是等边三角形
D．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、有两边相等的三角形是等腰三角形，所以A选项正确；
B、等腰直角三角形就是等腰三角形，故B选项错误；
C、有两个角为60°的三角形是等边三角形，所以C选项正确；
D、有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，所以D选项正确.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的判定定理对A作判断；等腰三角形包含等腰直角三角形；根据等边三角形的判定定理对CD作判断.
2．（2020八上·重庆月考）一个角是 的等腰三角形是（　　）
A．等腰直角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．上述都正确
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵等腰三角形有一个角为60°，
∴此三角形为等边三角形.
故答案为：B.
【分析】根据“有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形”可判断求解.
3．（2021八上·开州期末）如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示：
C在C1，C2，C3，C4位置上时，AC＝BC；
C在C5，C6位置上时，AB＝BC；
即满足点C的个数是6，
故答案为：C.
【分析】分别讨论AB为腰和AB为底即可得.
4．（2021八上·襄州期末）如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是（　　）
A．∠M=∠N B．AM∥CN C．AC=BD D．AM=CN
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：A、添加∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B、添加AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意.
C、由AC=BD可得AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、添加AM=CN，从而与MB=ND，∠MBA=∠NDC两条件联合，不能判定△ABM≌△CDN，故D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据题干已有的条件，然后分别添加各个选项的条件，结合全等三角形的判定定理对各个选项逐一判断即可.
5．（2021八上·民勤期末）如图， 中， ， ，在直线 或 上取一点P，使 为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：以点A为圆心，AB为半径作圆，交AC于P1，P2，交BC与P3，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
以点B为圆心，AB为半径作圆，交AC于P5，交BC与P4，P6，此时满足条件的等腰△PAB有3个；
作AB的垂直平分线，交BC于P7，此时满足条件的等腰△PAB有1个；
∵ ，∴∠ABP3=60°，
∵AB=AP3，
∴△ABP3是等边三角形；
同理可证△ABP6，△ABP6是等边三角形，即△ABP3，△ABP6，△ABP7重合，
综上可知，满足条件的等腰△PAB有5个.
故答案为：B.
【分析】若点P在直线BC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到2个；若点P在直线AC上，分别以点A、B、P为顶角处的顶点分类讨论，得到3个, 因此符合条件的点P共有5个.
6．（2021八上·抚顺期末）已知：如图，下列三角形中， ，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能.
故答案为：C.
【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形.
7．（2021八上·正阳期末）如图， 中， ， ， ，则 的周长为（　　）
A．9 B．8 C．6 D．12
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：在 中， ， ，
，
，
为等边三角形，
，
的周长为： ，
故答案为：D.
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质 根据 ， ，即可判定 为等边三角形，由 ，即可求出 的周长.
8．（2021八上·滑县期末）如图，点 是 的 ， 的平分线的交点， 交 于点 ， 交 于点 ，若 的周长为 ，那么 的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，
∵点 是 的 ， 的平分线的交点，
∴∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；
∴∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；
∴BD=OD，CE=OE；
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC
∵ 的周长为 ，
∴BC=9cm．
故答案为：B．
【分析】由平行线的性质可得∠ABO=∠BOD，∠ACO=∠EOC，由角平分线的定义可得∠ABO=∠OBD，∠ACO=∠OCE；于是∠OBD =∠BOD，∠EOC=∠OCE；由等角对等边可得BD=OD，CE=OE；根据三角形的周长等于三角形的三边之和可得△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC= BC，把△ODE的周长代入等式计算即可求解.
9．（2020八上·铁力期末）在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．正确的命题有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论符合题意；
②两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论不符合题意；
③等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论不符合题意；
④三个外角都相等的三角形是等边三角形，说法符合题意，
正确的命题有2个，
故答案为：C．
【分析】根据等边三角形的判定逐项判定即可。
10．（2020八上·莘县期中）已知 是 的两边，且 ，则 的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：因为： ，所以： ，
所以： ，所以三角形ABC是等腰三角形，
故答案为：A．
【分析】把 变形得到 可得三角形形状．
二、填空题
11．（2021八上·镇原期末）已知在 中， ，如要判定 是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法：①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形；③如果添加条件“边 、 上的高相等”那么 是等边三角形．上述说法中，正确的有　 　．（填序号）
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：①如果添加条件为“ ”，由 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故①正确；
②如果添加条件为“ ”，由 ，三角形内角和为 ，可知 ，又因为 ，所以 ，所以 ，则可得出 是等边三角形；故②正确；
③如果添加条件为“边 、 上的高相等”，由 的面积 底 高，边 、 上的高相等，可知 ，又因为 ，利用有一个角为 的等腰三角形是等边三角形可得出 是等边三角形；故③正确．
故答案为：①②③．
【分析】利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对①作出判断；利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求出此三角形的三个内角的度数，利用有三个角相等的三角形是等边三角形，可对②作出判断；利用同一个三角形的面积相等，可证得AB=BC，因此利用有一个角是60° 的等腰三角形是等边三角形，可对③作出判断；综上所述可得正确结论的序号。
12．（2020八上·房山期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有　 　个.
【答案】5
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】分三种情况讨论：
①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，
②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，
同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，
③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，
同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，
故答案为：5．
【分析】分三种情况讨论，通过作图可求解。
13．（2020八上·大理期末）如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，∠B、∠C的角平分线相交于点D，过D作EF//BC交AB于点E，交AC于点F,，则△AEF的周长等于　 　
【答案】13
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB，
同理可证得DF=FC，
∴AE+AF+EF=AE+EB+AF+FC=AB+AC=8+5=13，
即△AEF的周长为13，
故答案为13．
【分析】利用平行和角平分线的定义得到∠EBD=∠EDB，所以的ED=EB，同理可得DF=FC，所以△AEF的周长即为AB+AC，可得答案。
14．（2020八上·北京期中）如图所示，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点E．若AB+AC=20，可求得△AEF的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DB、DC分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，∠FCD=∠BCD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，∠FDC=∠BCD，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴EB=ED，FD=FC，
∴△AEF的周长=AE+ED+DF+AF=AE+EB+AF+CF=AB+AC=20．
故答案为：20．
【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和等量代换可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，进而可得EB=ED，FD=FC，然后根据线段的和差可得△AEF的周长=AB+AC，从而可得答案．
15．（2020八下·灯塔期末）如图， 是边长为 的等边三角形， 是 内的任意一点，分别过点 作 分别交 ， 于点 ， ，作 分别交 ， 于点 ， ，作 分别交 ， 于点 ， ．则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 为等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵EF∥AB，GH∥BC，MN∥AC，
∴四边形AMPE，BFPG，CHPN都是平行四边形，
均为等边三角形，
∴MP=AE，PE=AM， PF=BG， ，PN=CH，
∵EF=PE+PF，GH=GP+PH，MN=MP+PN，
∴EF+GH+MN=
∵AB=4cm，
∴EF+GH+MN=8cm．
故答案为8cm．
【分析】由等边三角形性质可知AB=AC=BC，结合平行线的性质可得四边形AMPE，BFPG，CHPN都是平行四边形， 均为等边三角形，根据等边三角形及平行四边形的性质可得EF+GH+MN=2AB，进而可求解。
16．（2020·凤山模拟）如图，在 中， 分别为 的中点.若 ，则 的长度为　 　.
【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∴△CBD为等边三角形，
∴CD=BC=2，
∵E，F分别为AC，AD的中点，
∴EF= CD=1，
故答案为：1.
【分析】根据直角三角形的性质得到CD=BD=AD，得到△CBD为等边三角形，根据三角形的中位线定理计算即可.
三、解答题
17．（2021八下·中原期中）阅读材料：已知△ABC中，AD平分∠BAC，AD是△ABC的中线，求证：AB=AC.
小明根据已知条件发现若AD平分∠BAC可得∠BAD=∠CAD，又AD是△ABC的中线，可得BD=CD，加上公共边的条件AD=AD，有两条边和一个角对应相等，就下结论得到△ABD和△ACD是全等的，从而得到结论∠B=∠C，可证出AB=AC成立；小芳的方法是用角平分线的性质得到DE=DF，再用中线分三角形的面积为相等两部分，再用等面积的方法可以得到结论.请你回答小明和小芳的证明思路谁正确的？请任选择一个方法进行完整的证明（可以与小明和小芳的方法不同）
【答案】解：小芳的证明思路正确.
证明：过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD，
∴ AB×DE= AC×DF，
∴AB=AC
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【分析】过点D作AB的垂线交AB于点E，作AC的垂线交AC于点F，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=DF，由等底同高的两个三角形的面积相等可得S△ABD=S△ACD，于是根据AB×DE=AC×DF可求解.
18．（2021八上·岳阳期末）如图， 中， ，点 是 延长线上一点， 于点 交 于点 ，求证： .
【答案】证明： ，
，
又 ，
， ，
（等角的余角相等），
又 （对顶角相等），
，
（等角对等边）.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】由根据等边对等角得∠A=∠C，根据直角三角形的两锐角互余得出 ， ，根据等角的余角相等得出 ，根据对顶角相等及等量代换可得∠D=∠DEB，最后根据等角对等边即可得出结论.
19．（2020八上·宁城期末）如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，
求证：△ADE为等边三角形
【答案】证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，
∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，
∴∠ACE=∠DBC，
在△CBD和△ACE中，
∴△CBD △ACE（SAS）
∴CD=AE ，
∴∠AEC=∠CDB=90°
∵D为AC的中点
∴AD=DE，AD=DC，
∴ AD=AE=DE，
即△ADE为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．
20．（2020八上·平阴期末）如图△ABC中， 的平分线交于点O，过O点做 ，交AB、AC于E、F，请写出图中线段EF与BE、CF间的数量关系，并说明理由．
【答案】解：CF＋BE＝EF．
证明如下：
∵BO平分∠ABC
∴∠EBO＝∠CBO ，
∵
∴∠EOB＝∠OBC ，
∴∠EBO＝∠EOB，
∴EO＝BE ，
同理可得：CF＝FO，
∵EO＋FO＝EF ，
∴CF＋BE＝EF
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线求出 ∠EBO＝∠CBO ， 再求出 EO＝BE ， 最后计算求解即可。
21．（2020八上·黔东南州月考）如图，一船上午 时从海岛 出发，以 海里/时的速度向正北方向航行， 时到达 处，从 、 两处分别望灯塔 ，测得 ， ，求从 处到灯塔 的距离.
【答案】解： ， ，
，
，
，
，
，
答：从 处到灯塔 的距离是 海里.
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】先求出，从而可得，利用等角对等边即得 ，利用速度×时间=路程可求出BC的长，从而得出结论.
22．（2020八上·富顺期中）已知：如图，OA平分∠BAC，∠1=∠2．
求证：△ABC是等腰三角形．
【答案】证明：过O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC于E，
∵∠1=∠2， ∴OB=OC，
∵AO平分∠BAC， ∴OD=OE，
∴RTΔODB≌RTΔOEC（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∴∠ABO+∠1=∠ACO+∠2，
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC， ∴ΔABC是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，想证明三角形为等腰三角形，证明∠ABC=∠ACB即可，只要∠5=∠6，三角形全等即可。
23．（2020八上·天津月考）如图， 是等边三角形， 是高，并且 恰好是 的垂直平分线．求证： 是等边三角形．
【答案】证明：∵点 在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得到角、边相等，再利用垂直平分线的性质得到角相等，证明即可。
四、综合题
24．（2020八上·路北期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 边上的点，并且 ．
（1） 是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点 是 上的一点，并且 平分 ， 平分 ．
①求证： 是等腰三角形；
②若 的周长为 ， ，直接写出 的周长（用含 ， 的式子表示）．
【答案】（1）解： ， ．
， ， ，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：① 平分 ， ，
， ，
，
是等腰三角形；
② 的周长 ．
是等腰三角形， ，
同理可得： ，
的周长 ，
，
又 的周长为 ，
，
的周长 ．
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由已知和MN//BC 可以得到 ，从而得到△AMN 是等腰三角形；（2）①由已知和MN//BC 可以得到 ，从而得到△BPM是等腰三角形；②由①可得MP=MB、NP=NC，从而得到△AMN 的周长=AB+AC=a-b．
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