1.4 二次函数的应用 同步练习（含答案）

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1.4
二次函数的应用
一、单选题
1.（2018九上·温州开学考）如图，抛物线
与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结AC，现有一宽度为1，且长与y轴平行的矩形沿x轴方向平移，交直线AC于点D和E，△ODE周长的最小值为（??
）
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.?????????????????????????????????D.?
2.（2020·台州模拟）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝
x+
上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）
A.?a≤﹣2???????????????????????B.?a＜
???????????????????????C.?1≤a＜
或a≤﹣2???????????????????????D.?﹣2≤a＜
3.（2019九下·河南月考）如图，抛物线
与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作
，将
向左平移得到
，
与x轴交于点B、D，若直线
与
、
共有3个不同的交点，则m的取值范围是（??
）
A.?????????B.?????????C.?????????D.?
4.（2021·兴城模拟）如图，等边三角形
中，
，动点
从点
出发，以每秒2个单位的速度沿折线
的路径向点
运动，同时动点
也从点
出发，沿线段
以每秒1个单位的速度向点
运动，连接
，设点
，
的运动时间为
，
的面积为
，则能反映
与
之间函数关系的图象是（???
）
A.?
B.?
C.?
D.?
5.如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣5）（0≤x≤5），记为C1
，
它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2
，
交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3
，
交x轴于点A3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P（2018，m）在此“波浪线”上，则m的值为（?
?）
A.?4?????????????????????????????????????????B.?﹣4?????????????????????????????????????????C.?﹣6?????????????????????????????????????????D.?6
二、填空题
6.（2020九下·江岸月考）抛物线y＝（a2+1）x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式（a2+1）（x-2）2+bx<2b-c+t的解集是________.
7.（2019九下·衡水期中）如果直线y=kx+b与抛物线y=
x2交于A（x1
，
y1），B（x2
，
y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为________．[提示：直线l1：y=k1x+b1与直线l2：y=k2x+b2互相垂直，则k1?k2=-1]
8.（2017·武汉模拟）定义函数f（x），当x≤3时，f（x）=x2﹣2x，当x＞3时，f（x）=x2﹣10x+24，若方程f（x）=2x+m有且只有两个实数解，则m的取值范围为________．
9.（2018·通城模拟）不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为________
10.（2020·内江）已知抛物线
（如图）和直线
．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为
和
．若
，取
和
中较大者为M；若
，记
．①当
时，M的最大值为4；②当
时，使
的x的取值范围是
；③当
时，使
的x的值是
，
；④当
时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是________（填写所有符合题意结论的序号）
三、综合题
11.（2021九上·仁寿期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线
与x轴交于A（4，0），B（﹣1，0）两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出EF的长度.
（3）在抛物线上对称轴上是否存在点P，使△ACP是直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
12.（2020九上·新乡期末）如图，直线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，抛物线
与直线
交于
，
两点，点
是抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点
是直线
上方抛物线上的一个动点，其横坐标为
，过点
作
轴的垂线，交直线
于点
，当线段
的长度最大时，求
的值及
的最大值.
（3）在抛物线上是否存在异于
、
的点
，使
中
边上的高为
，若存在求出点
的坐标；若不存在请说明理由.
13.（2019九上·翁牛特旗期中）如图所示，已知抛物线经过点A(﹣2，0)、B(4，0)、C(0，﹣8)，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与直线y＝x﹣4交于B、D两点.
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）求D点坐标；
（3）点P为抛物线上的一个动点，且在直线BD下方，试求出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.
14.（2019八下·绿园期末）已知，如图，正方形
的边长为4厘米，点
从点
出发，经
沿正方形的边以2厘米/秒的速度运动；同时，点
从点
出发以1厘米/秒的速度沿
向点
运动，设运动时间为t秒，
的面积为
平方厘米．
（1）当
时，
的面积为________平方厘米；
（2）求
的长（用含
的代数式表示）；
（3）当点
在线段
上运动，且
为等腰三角形时，求此时
的值；
（4）求
与
之间的函数关系式．
15.（2019九上·西安月考）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求这个二次函数的关系解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
考生注意：下面的（3）、（4）、（5）题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答时只按作答的首题评分，切记啊！
（3）在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（4）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E.是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（5）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】
A
2.【答案】
C
3.【答案】
C
4.【答案】
A
5.【答案】
C
二、填空题
6.【答案】
-1＜x＜6
7.【答案】
（0，4）
8.【答案】
m＞﹣3或﹣12＜m＜﹣4
9.【答案】
9
10.【答案】
②③④
三、综合题
11.【答案】
（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0），B（﹣1，0），
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为：y＝
x2+
x+2；
（2）解：连接OD，由题意知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF，据垂线段最短，可知：
?
当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短.
由（1）知，在Rt△AOC中，OC＝2，OA＝4，
∴AC＝
.
∵
,
∴
,
故EF的长度为
；
（3）解：假设存在，设点P的坐标为（m，
m2+
m+2）.
∵点A的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，2），
∴AP2＝（m﹣4）2+（
m2+
m+2﹣0）2
，
CP2＝（m﹣0）2+（
m2+
m+2﹣2）2
，
AC2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20.
分两种情况考虑，①当∠ACP＝90°时，AP2＝CP2+AC2
，
即（m﹣4）2+（
m2+
m+2﹣0）2=（m﹣0）2+（
m2+
m+2﹣2）2+20,
解得：m1＝0（舍去），m2＝-1，
∴点P的坐标为（-1，0）；
②当∠APC＝90°时，CP2+AP2＝AC2
，
即，（m﹣4）2+（
m2+
m+2﹣0）2+（m﹣0）2+（
m2+
m+2﹣2）2=20
解得：m1＝0（舍去），m2＝4（舍去），m3＝m4＝1，
∴点P的坐标为（1，3）.
综上所述，假设成立，
即存在点P（-1，0）或（1，3），使得△ACP是直角三角形.
12.【答案】
（1）解：
，令
，则
，令
，则
，
故点
、
的坐标分别为
、
，
将
、
代入二次函数表达式为
，
解得：
，
故抛物线的表达式为：
.
（2）解：设
点横坐标为
，则
，
，
，
当
时，PM有最大值
（3）解：如图，过
作
轴交
于点
，交
轴于点
，作
于
，
设
，则
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
当
中
边上的高为
时，即
，
，
，
当
时，解得
或
，
或
，
当
时，解得
或
，
或
，
综上可知存在满足条件的点
，其坐标为
，
，
，
.
13.【答案】
（1）解：抛物线的表达式为：y＝a(x+2)(x﹣4)＝a(x2﹣2x﹣8)，
故﹣8a＝﹣8，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣8；
∴
，故顶点坐标为（1，-9）
（2）解：抛物线与直线交于BD两点，
依题意得：
，
解得：
，
，
故点D(﹣1，﹣5)；
（3）解：过点P作y轴的平行线交BD于点H，
设点P(x，x2﹣2x﹣8)，则点H(x，x﹣4)
△BDP面积＝
PH×(xB﹣xD)＝
×(x﹣4﹣x2+2x+8)×(4+1)＝
，
∵
0，故面积有最大值为：
；
此时，x＝
，P点纵坐标为
，
即点P(
，
).
14.【答案】
（1）8
（2）解：分两种情况：
当0≤t≤2时，P在AB上，BP=AB﹣AP=4﹣2t，当2＜t≤4时，P在BC上，BP=2t﹣4；
综上所述：BP=
；
（3）解：如图2．
∵△PCQ为等腰三角形，∴CQ=CP，即t=8﹣2t，t
，∴当点P在线段BC上运动，且△PCQ为等腰三角形时，此时t的值是
秒；
（4）解：分两种情况：
①当0≤t≤2时，P在AB上，如图3．
S
4t
②当2＜t≤4时，P在BC上，如图4．
S=S正方形ABCD﹣S△ABP﹣S△CPQ﹣S△ADQ=4×4
t2﹣6t+16；
综上所述：S与t之间的函数关系式为：S
．
15.【答案】
（1）由抛物线
过A（－3，0），B（1，0），则
，解得
.
∴二次函数的关系解析式为
.
（2）设点P坐标为（m，n），则
.
连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N.
PM
=
，
，AO=3.
当
时，
，所以OC=2.
∵
＜0，∴函数
有最大值，当
时，
有最大值.
此时
.
∴存在点
，使△ACP的面积最大.
（3）如图(3)所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.
过Q1点作Q1D⊥y轴于点D，
∵∠BCQ1=90°，
∴∠Q1CD+∠OCB=90°，
又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°，
∴∠Q1CD=∠OCB，
又∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC，
∴△Q1CD≌△CBO，
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3)；
同理求得Q2(3,1),Q3(?1,?1),Q4(?2,1).
∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为：Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(?1,?1),Q4(?2,1).
（4）如图(4)所示,设E(n,0),则BE=1?n,
.
假设以点B.?Q、E为顶点的三角形与△AOC相似，则有两种情况：
①若△AOC∽△BEQ,则有：
，
即
,化简得：n2+n?2=0，
解得n1=?2,n2=1(与B重合,舍去),
∴n=?2,
.
∴Q(?2,2)；
②若△AOC∽△BQE,则有：
，
即
,化简得：4n2?n?3=0，
解得
(与B重合,舍去),
∴
.
综上所述，存在点Q，使以点B.?Q、E为顶点的三角形与△AOC相似.
Q点坐标为(?2,2)或
.
（5）假设存在点Q，使以A.
C.?M、Q为顶点的四边形是平行四边形.
①若CM平行于x轴,如图(5)a所示,有符合要求的两个点Q1,Q2,此时Q1A=Q2A=CM.
∵CM∥x轴,∴点M、点C(0,2)关于对称轴x=?1对称，
∴M(?2,2),
∴CM=2.
由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(?5,0),Q2(?1,0)；
②若CM不平行于x轴,如图(5)b所示.过点M作MG⊥x轴于G，
易证△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=?2.
设M(x,?2),则有
，
解得
又QG=3,
∴
，
综上所述,存在点Q,使以A.
C.?M、Q为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为：
.
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