浙教版数学九年级上册 1.3二次函数的性质 同步练习（word版含答案）

1.3　二次函数的性质
知识点1　二次函数的最值
1.二次函数y=-2(x+1)2-3有
(　　)
A.最小值-1
B.最大值-1
C.最大值-3
D.最小值-3
2.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时对应的自变量x的值为
(　　)
A.-2
B.1
C.2
D.9
3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是
(　　)
A.4
B.3
C.-1
D.4或-1
4.如图所示,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(2,0),B(0,-6)两点.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若该函数自变量的取值范围是-1≤x≤8,求函数的最大值和最小值.
知识点2　二次函数的增减性
5.对于二次函数y=(x-2)2,当x　　　　时,函数值y随x的增大而减小;当x　　　　时,函数值y随x的增大而增大;当x=　　　　时,函数取得最　　　　值为　　　　.?
6.[教材作业题第3题变式]
已知抛物线y=a(x-2)2+k(a>0,a,k为常数),A(-3,y1),B(3,y2),C(4,y3)是抛物线上的三点,则y1,y2,y3由小到大依次排列为　　　　　　.?
7.已知二次函数y=x2-2x-8.
(1)求二次函数图象的顶点坐标、对称轴及函数的最值;
(2)当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?
知识点3　二次函数图象与坐标轴的交点
8.抛物线y=-3x2-x+4与y轴的交点坐标是　　　　.?
9.抛物线y=x2-5x-6与x轴的两个交点的坐标分别为　　　　　　　　　　.?
10.已知二次函数的图象经过点(-1,-8),顶点坐标为(2,1).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求这个二次函数的图象与x轴、y轴的交点坐标.
11.已知抛物线y=-3x2+12x-8.
(1)用配方法求出它的对称轴和顶点坐标;
(2)求出它与y轴的交点坐标和与x轴的交点坐标;
(3)当x为何值时,y有最大值或最小值?求出最大值或最小值.
12.某广场有一喷水池,水从地面喷出(如图所示),以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+2x的一部分,则水喷出的最大高度是
(　　)
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
13.若一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,则二次函数y=ax2-ax
(　　)
A.有最大值
B.有最大值-
C.有最小值
D.有最小值-
14.[2020·宁波江北区期末]
抛物线y=(x-1)(x-3)的对称轴是直线x=　　　　.?
15.已知a,b,c为实数,点A(a+1,b),B(a+2,c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b,c的大小关系是b　　　　c(用“>”或“<”填空).?
16.[2020·宁波鄞州区期末]
定义:若函数y=x2+bx+c(c≠0)的图象与x轴的交点A,B的横坐标为xA,xB,与y轴交点的纵坐标为yC,若xA,xB中至少存在一个值,满足xA=yC(或xB=yC),则称该函数为友好函数.如图,函数y=x2+2x-3的图象与x轴的一个交点A的横坐标为-3,与y轴的交点C的纵坐标为-3,满足xA=yC,称y=x2+2x-3为友好函数.
(1)判断y=x2-4x+3是不是友好函数,并说明理由;
(2)请探究友好函数y=x2+bx+c的表达式中b与c之间的关系;
(3)若y=x2+bx+c是友好函数,且∠ACB为锐角,求c的取值范围.
教师详解详析
1.C　[解析]
∵a=-2<0,∴函数有最大值-3,故选C.
2.A　[解析]
将二次函数y=x2+4x+9配方可得y=(x+2)2+5,所以当x=-2时y取得最小值5.故选A.
3.A　[解析]
∵二次函数y=ax2+4x+a-1有最小值2,
∴a>0,y最小值===2,
整理,得a2-3a-4=0,
解得a=-1或a=4.
∵a>0,∴a=4.
故选A.
4.解:(1)把A(2,0),B(0,-6)代入y=-x2+bx+c中,得
解得
∴这个二次函数的表达式为y=-x2+4x-6.
(2)∵y=-x2+4x-6=-(x-4)2+2,
∴函数图象的顶点坐标为(4,2).
当x=-1时,y=-10.5;
当x=8时,y=-6.
∴当x=4时,函数取得最大值2;当x=-1时,函数取得最小值-10.5.
5.≤2　≥2　2　小　0
6.y2抛物线y=a(x-2)2+k(a>0,a,k为常数)的对称轴为直线x=2,所以点A(-3,y1)关于对称轴直线x=2对称的点为A'(7,y1),在对称轴右侧,y随x的增大而增大.
因为3<4<7,所以y27.解:(1)因为y=x2-2x-8=(x-1)2-9,所以二次函数图象的顶点坐标为(1,-9),对称轴为直线x=1,函数的最小值为-9.
(2)当x≤1时,y随x的增大而减小.
8.(0,4)　
9.(-1,0),(6,0)
10.解:(1)设这个二次函数的表达式为y=a(x-2)2+1(a≠0).
把(-1,-8)代入,得-8=9a+1,
解得a=-1,
所以这个二次函数的表达式为y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3.
(2)令y=0,则-x2+4x-3=0,
解得x1=3,x2=1,
所以这个二次函数的图象与x轴的交点坐标是(1,0),(3,0).
令x=0,则y=-3,
所以这个二次函数的图象与y轴的交点坐标是(0,-3).
11.解:(1)∵y=-3x2+12x-8=-3(x-2)2+4,
∴抛物线y=-3x2+12x-8的对称轴是直线x=2,顶点坐标是(2,4).
(2)令x=0,则y=-8,
∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,-8);
令y=0,则0=-3x2+12x-8,
解得x=2±.
∴抛物线与x轴的交点坐标为2+,0,2-,0.
(3)∵-3<0,
∴抛物线开口向下,
∴y有最大值,当x=2时,y有最大值4.
12.C　[解析]
∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+2x的一部分,
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+2x的顶点的纵坐标.
∵y=-x2+2x=-(x-2)2+2,
∴抛物线的顶点坐标为(2,2),故水喷出的最大高度为2米.
13.B　[解析]
因为一次函数y=(a+1)x+a的图象过第一、三、四象限,所以因此-114.2　[解析]
∵抛物线y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3=(x-2)2-1,
∴该抛物线的对称轴是直线x=2.
15.<　[解析]
易知抛物线y=x2-2ax+3的对称轴为直线x=a,
∴点A(a+1,b),B(a+2,c)在对称轴的右侧.
∵1>0,∴抛物线开口向上,
∴在对称轴右侧,y随x的增大而增大,
∴b16.解:(1)y=x2-4x+3是友好函数.理由如下:
当x=0时,y=3;当y=0时,x=1或x=3,
∴函数y=x2-4x+3的图象与x轴的一个交点的横坐标和与y轴的交点的纵坐标都是3,
∴y=x2-4x+3是友好函数.
(2)当x=0时,y=c,即函数y=x2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标为c.
∵y=x2+bx+c是友好函数,
∴当x=c时,y=0,即点(c,0)在函数y=x2+bx+c的图象上.
将(c,0)的坐标代入y=x2+bx+c,得0=c2+bc+c,
∴0=c(c+b+1),而c≠0,∴b+c=-1.
(3)①如图①,当点C在y轴的负半轴上时,c<0,
由(2)可得:c=-b-1,即y=x2+bx-b-1,
显然当x=1时,y=0,
即函数y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点坐标为(1,0).
∵OA=OC=-c,∴∠ACO=45°,
∴只需满足∠BCO<45°即可,即BO②如图②,当点C在y轴的正半轴上,且点A与点B不重合时,c>0,
此时显然满足∠ACB为锐角,
∴c>0且c≠1;
③当点C与原点重合时,不符合题意.
综上所述,c<-1或c>0且c≠1.