1.2 二次函数的图象
二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及其特征
知识点1 二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)的图象及特征
1.在平面直角坐标系中,二次函数y=2(x-1)2的图象可能是
( )
2.[2020·嘉兴期末]
二次函数y=(x-1)2+2的图象的顶点坐标是
( )
A.(-2,1)
B.(2,1)
C.(2,-1)
D.(1,2)
3.对于二次函数y=-(x-1)2+2,下列说法中,正确的是
( )
A.图象的开口向上
B.图象的顶点坐标是(-1,2)
C.图象的对称轴是直线x=1
D.图象与y轴的交点坐标为(0,2)
4.下列二次函数中,图象以直线x=2为对称轴,且经过点(0,1)的是
( )
A.y=(x-2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=(x-2)2-3
D.y=(x+2)2-3
5.抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示,该抛物线在y轴右侧部分与x轴的交点坐标是
( )
A.,0
B.(1,0)
C.(2,0)
D.(3,0)
6.请写出一个开口向上,顶点坐标为(1,-3)的抛物线的表达式: .?
7.[教材课内练习第2题变式]
填写下表:
二次函数
图象的开口方向
图象的对称轴
图象的顶点坐标
y=-3x2
y=x2+3
y=-(x+2)2
y=4(x+5)2-6
知识点2 抛物线的平移
8.[教材课内练习第1题变式]
(1)将抛物线y=x2向 平移 个单位得到抛物线y=(x+5)2;将抛物线y=x2向 平移 个单位得到抛物线y=(x-5)2.?
(2)函数y=(x+1)2的图象可以由抛物线 向 平移 个单位得到.?
(3)函数y=-2x2+1的图象可以由抛物线 向 平移 个单位得到.?
(4)函数y=5(x-3)2-2的图象可以由抛物线 先向右平移 个单位,再向 平移2个单位得到.?
9.函数y=(x+3)2的图象 得到函数y=x2的图象
( )?
A.向左平移3个单位
B.向右平移3个单位
C.向上平移3个单位
D.向下平移3个单位
10.[2020·丽水期末]
抛物线y=3x2向左平移1个单位,再向上平移2个单位,所得到的抛物线是
( )
A.y=3(x-1)2-2
B.y=3(x+1)2-2
C.y=3(x+1)2+2
D.y=3(x-1)2+2
11.[教材作业题第1(3)题变式]
函数y=-2(x-2)2的图象可以由函数 的图象向左平移3个单位得到.?
知识点3 根据二次函数图象的顶点求表达式
12.已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线经过点(3,0),则这条抛物线的函数表达式是
( )
A.y=(x-2)2+1
B.y=(x+2)2+1
C.y=-(x+2)2+1
D.y=-(x-2)2+1
13.[教材作业题第5题变式]
顶点为(-6,0),开口方向、形状与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数表达式是
( )
A.y=(x-6)2
B.y=(x+6)2
C.y=-(x-6)2
D.y=-(x+6)2
14.在体育测试时,九年级的一名高个子男同学推铅球,已知铅球所经过的路径是某个二次函数图象的一部分(如图所示).如果这名男同学出手处A点的坐标是(0,2),铅球路线的最高处B点的坐标是(6,5),求这个二次函数的表达式.
15.函数y=-x2+3与y=-x2-2的图象的不同之处是
( )
A.对称轴
B.开口方向
C.顶点
D.形状
16.若关于x的函数y=(x-m)2+m+1的图象的顶点在第一象限,则m的取值范围为
( )
A.m>1
B.m>0
C.m>-1
D.-117.将二次函数y=-(x-k)2+k+1的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位后,顶点在直线y=2x上,则k的值为
( )
A.
2
B.1
C.0
D.-1
18.把二次函数y=(x-1)2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的函数表达式为 .?
19.[2020·杭州西湖区期末]
已知二次函数y=a(x-1)2+h的图象经过点A(0,4),B(2,m).
(1)求二次函数图象的对称轴;
(2)求m的值.
20.如图,抛物线y=a(x-1)2+c(a≠0)与x轴交于点A(1-,0)和点B,将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折,顶点P落在点P'(1,3)处.
(1)求原抛物线的函数表达式;
(2)学校举行班徽设计比赛,九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感:过点P'作x轴的平行线交抛物线于C,D两点,将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉,设计成一个“W”形图案.请你计算这个“W”形图案的高与宽CD的比.
教师详解详析
1.D 2.D 3.C 4.C 5.B
6.答案不唯一,如y=(x-1)2-3
7.
二次函数
图象的开口方向
图象的对称轴
图象的顶点坐标
y=-3x2
向下
y轴
(0,0)
y=x2+3
向上
y轴
(0,3)
y=-(x+2)2
向下
直线x=-2
(-2,0)
y=4(x+5)2-6
向上
直线x=-5
(-5,-6)
8.(1)左 5 右 5
(2)y=x2 左 1
(3)y=-2x2
上
1
(4)y=5x2 3
下
9.B 10.C
11.y=-2(x-5)2
12.D
13.B [解析]
∵抛物线的顶点为(-6,0),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x+6)2(a≠0).
∵其开口方向、形状与函数y=x2的图象相同,
∴a=,
∴抛物线的表达式为y=(x+6)2.
故选B.
14.解:依题意设这个二次函数的表达式为y=a(x-6)2+5(a≠0).
∵点A(0,2)在此二次函数的图象上,
∴36a+5=2,解得a=-,
∴这个二次函数的表达式为y=-(x-6)2+5.
15.C [解析]
函数y=-x2+3与y=-x2-2的图象,对称轴都是y轴,开口方向都向下,形状相同,y=-x2+3的顶点坐标是(0,3),y=-x2-2的顶点坐标是(0,-2),即它们的顶点坐标不同.
故选C.
16.B [解析]
∵函数图象的顶点坐标为(m,m+1),且顶点在第一象限,∴
∴m>0.
故选B.
17.B [解析]
∵二次函数y=-(x-k)2+k+1的图象的顶点坐标为(k,k+1),
∴将二次函数y=-(x-k)2+k+1的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位后的顶点坐标为(k+1,k+3).
由题意,得k+3=2(k+1),
解得k=1.
18.y=-(x+1)2-2 [解析]
二次函数y=(x-1)2+2的图象的顶点坐标为(1,2),图象绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),所以旋转后的新图象的函数表达式为y=-(x+1)2-2.
19.解:(1)∵二次函数的表达式为y=a(x-1)2+h,
∴该二次函数图象的对称轴是直线x=1.
(2)由(1)知,该函数图象的对称轴是直线x=1,
又∵二次函数y=a(x-1)2+h的图象经过点A(0,4),B(2,m),
∴m=4,即m的值是4.
20.解:(1)∵点P与P'(1,3)关于x轴对称,
∴点P的坐标为(1,-3).
∵抛物线y=a(x-1)2+c(a≠0)的顶点是P(1,-3),
∴抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2-3.将A(1-,0)代入,得a·(1--1)2-3=0,解得a=1,
则原抛物线的函数表达式为y=(x-1)2-3,
即y=x2-2x-2.
(2)∵CD平行于x轴,点P'(1,3)在直线CD上,
∴C,D两点的纵坐标均为3.
由(x-1)2-3=3,得x1=1-,x2=1+,
∴C,D两点的坐标分别为(1-,3),(1+,3),
∴CD=2,∴“W”形图案的高与宽CD的比为=.1.2
二次函数的图象
一、选择题。
1.
如果将抛物线
向右平移
个单位，那么所得的抛物线的二次函数的表达式为
A.
B.
C.
D.
2.
二次函数
的图象如图所示，则一次函数
的图象不经过
A.
第四象限
B.
第三象限
C.
第二象限
D.
第一象限
3.
如图所示，抛物线
与直线
交于点
，沿直线
平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为点
，则平移后抛物线的二次函数的表达式为
A.
B.
C.
D.
4.
图象的顶点为
，且经过原点的抛物线的函数表达式为
A.
B.
C.
D.
5.
已知
，，
为实数，且二次函数
在坐标平面内的图形经过
，
两点．若
，，则
的值为
A.
B.
C.
D.
6.
将抛物线
向左平移
个单位，得到的抛物线与
轴的交点坐标是
A.
B.
C.
D.
7.
将抛物线
向右平移
个单位，再向上平移
个单位后，抛物线的函数表达式为
A.
B.
C.
D.
8.
函数
与
在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A.
B.
C.
D.
二、填空题。
9.
把二次函数
用配方法化成
的形式是
?，该二次函数图象的顶点坐标是
?．
10.
如果二次函数
的图象经过点
和
，那么
的值为
?．
11.
已知抛物线
，当
时，
?（填“”或“”）．
12.
如果抛物线
经过
，
两点，那么
的值是
?．
13.
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
经过平移得到抛物线
，其对称轴与两条抛物线所围成的阴影部分的面积为
?．
14.
二次函数
的图象如图所示，已知
，，则该抛物线的函数表达式为
?（用顶点式表示）．
15.
已知抛物线
的顶点在
轴上，则
?．
16.
如图所示，一段抛物线
与
轴交于点
，；将
向右平移得第
段抛物线
，交
轴于点
，；再将
向右平移得第
段抛物线
交
轴于点
，；又将
向右平移得第
段抛物线
，交
轴于点
，，若
在
上，则
的值是
?．
17.
如图所示，抛物线的顶点为
，与
轴交于点
．若平移该抛物线使其顶点
沿直线移动到点
，点
的对应点为
，则抛物线上
段扫过的区域（阴影部分）的面积为
?．
三、解答题。
18.
已知二次函数图象的顶点坐标为
，且经过点
，求这个二次函数的表达式．
19.
已知抛物线
．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴．
（2）函数
有最大值还是最小值?求出这个最大值或最小值．
（3）设抛物线与
轴的交点为点
，与
轴的交点为点
，求直线
的函数表达式．
20.
如图所示，抛物线
向右平移
个单位得到抛物线
，回答下列问题：
（1）求抛物线
的顶点坐标．
（2）求阴影部分的面积
．
（3）若再将抛物线
绕原点
旋转
得到抛物线
，则抛物线
的开口
?，顶点坐标为
?，抛物线
的函数表达式为
?．
21.
已知抛物线
（，
是常数，且
，）的顶点在直线
上，且经过点
．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）将此抛物线沿
轴翻折得到抛物线
，求
的函数表达式．
22.
如图所示，直线
与
轴、
轴分别交于点
，，抛物线
经过点
，，并与
轴交于另一点
，其顶点为
．
（1）求
，
的值．
（2）抛物线的对称轴上有一点
，使
是以
为底边的等腰三角形，求点
的坐标．
（3）在抛物线及其对称轴上分别取点
，，使以
，，，
为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．
答案
1.
C
2.
D
3.
C
4.
A
5.
D
6.
B
7.
B
【解析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减“可得答案．
8.
B
9.
，
10.
11.
12.
13.
14.
15.
或
16.
17.
18.
设这个二次函数的表达式为
．将点
代入，得
，解得
．
．
19.
（1）
开口向上，对称轴为直线
．
??????（2）
有最小值．当
时，最小值为
．
??????（3）
与
轴的交点为
，与
轴的交点为
或
．
①当
，
时，直线
的函数表达式为
；
②当
，
时，直线
的函数表达式为
．
20.
（1）
的函数表达式为
，
所以顶点坐标为
．
??????（2）
在第一象限中，将阴影部分去掉，通过平移可得
的正方形方格，
所以阴影部分面积
．
??????（3）
向上；；
21.
（1）
将顶点
代入
，得
，
所求抛物线的函数表达式为
，
将点
代入，得
．
抛物线的函数表达式为
．
??????（2）
．
22.
（1）
因为直线
与
轴、
轴分别交于点
，，
所以
，．
因为抛物线
经过点
，，
所以
解得
所以
，
的值分别为
，．
??????（2）
如图
1
所示，
设点
的坐标为
，对称轴直线
交
轴于点
，过点
作
垂直于直线
于点
．
在
中，，
在
中，．
因为
．
所以
．
所以
．
所以点
的坐标为
．
??????（3）
如图
2所示，
因为当点
在对称轴上时，
与
不垂直，
所以点
应为正方形的对角线．
因为对称轴直线
是
的中垂线，
所以点
与顶点
重合．点
为点
关于
轴的对称点，其坐标为
．此时，，且
，
所以四边形
为正方形．
在
中，．
即正方形的边长为
．
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