初中数学浙教版九年级上册第一章 二次函数 单元测试

初中数学浙教版九年级上册第一章 二次函数 单元测试
一、单选题
1．（2021·都江堰模拟）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加 厘米，则面积随之增加 平方厘米，那么 与 之间满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
2．（2020九上·五常期末）若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
3．（2020九上·顺义期末）二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2021·嵊州模拟）将二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．k＞﹣3 D．k≥﹣3
5．（2021·渭滨模拟）把二次函数 的图象作关于 轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，则a与b满足的关系是（　　）
A．b＝a B．b＝2a C．a＋b＝0 D．2a＋b＝0
6．（2021·金东模拟）若二次函数y=x2+2x+k的图象经过点(1，y1)，(-2，y2)，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y17．（2021·于洪模拟）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
8．（2021·竞秀模拟）王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2﹣6ax﹣2.5，则她所选择的x轴和y轴分别为（　　）
A．m1，m4 B．m2，m3 C．m3，m6 D．m4，m5
9．（2021·贺州）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（　　）
A． 或 B． 或
C． D．
10．（2021·广元）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
二、填空题
11．（2021·松北模拟）抛物线 的对称轴为直线　 　．
12．（2021·成都）在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 　 　.
13．（2021·黄岛模拟）若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
14．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 、 ，抛物线 的顶点P在线段 上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为 、 ，且 ．若 的最小值是 ，则 的最大值是　 　．
15．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1　 　y2 .（填“>"、“<"或“=”）
16．（2021·皇姑模拟）抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是　 　．
三、解答题
17．（2020九上·南平期中）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．（2021九上·平桂期末）已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
19．（2019九上·思明期中）已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，求a的值．
20．（2021九上·铁西期末）某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定.销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系 ，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
21．（2020九上·峡江期末）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
22．（2019九上·东莞期中）根据设计图纸已知：所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+ ，求喷出的水流距水平面的最大高度是多少
四、综合题
23．（2021·盐城）已知抛物线 经过点 和 .
（1）求 、 的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
24．（2021·荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据.
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
与 之间满足的函数关系是二次函数，
故答案为：D.
【分析】根据题意列出的关系式是二次函数.
2．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】因为y＝（m﹣1） 是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故答案为：A.
【分析】形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，叫做二次函数，据此解答即可.
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，二次函数对称轴为 ，与x轴的一个交点为 ，
则函数与x轴的另一个交点为 ，
故设二次函数的表达式为 ，
函数另外两点坐标 ，
可得方程组 ，
解得方程组得 ，
所以二次函数表达式为 ．
故答案为B．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为 ，
∵平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，
∴一元二次方程 无解，即 无解，
∴ ，解得： ；
故答案为：C.
【分析】根据题意可得平移后的二次函数解析式为 ，进而由题意可得一元二次方程 ，然后根据题意可进行求解.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数 的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，
则 与 相同，
由对称轴得： ，解得 ，
即： ，
故答案为：D.
【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为 ，再根据对称轴公式可求出 ，即可得出结论.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=（x+1）2+k-1
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∴ 点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），
∵当x＜-1时y随x的增大而减小，-3＜-2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，由此可求出点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），再利用二次函数的性质，可知当x＜-1时y随x的增大而减小，即可得到y1与y2的大小关系.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝-2＜0，
∴开口向下，对称轴为：直线 ，
∵A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
∵5＞3＞2，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：C．
【分析】结合函数的图形，利用二次函数的性质求解即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴： ，且与y轴的交点坐标为：
∴对称轴在y轴的右侧
：对称轴在ｙ轴右侧，且与ｙ轴交点在负半轴，符合题意；
：两条直线不能构成平面直角坐标系，不符合题意；
：对称轴在y轴左侧，且与y轴交点在正半轴，不符合题意；
：两条直线不能构成平面直角坐标系，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】由抛物线开口向上可知a>0，将抛物线配方为，可得抛物线的对称轴为x=3，顶点纵坐标为-3-9a，据此结合图象可得答案。
9．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 的图像也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图象满足题意
的解集为：
故答案为：D.
【分析】由于 与 关于y轴对称，而抛物线 的图像也关于y轴对称，利用数形结合，把不等式的解集转化为 与 图象的交点问题，据此求解即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由 知，当 时，即
解得：
作函数 的图象并平移至过点B时，恰与所给图象有三个交点，此时有：
平移图象至过点C时，恰与所给图象有三个交点，即当 时，只有一个交点
当 的函数图象由 的图象关于x轴对称得到
当 时对应的解析式为
即 ，整理得：
综上所述 或
故答案是：A.
【分析】令y=0可得抛物线与x轴的两个交点，分类讨论当直线 刚好过点B已知直线 与抛物线相切时满足条件可得结果.
11．【答案】x=1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： 的顶点坐标公式为（ ， ），
所以抛物线的对称轴是直线x=1.
故答案为：x=1.
【分析】利用二次函数的对称轴的公式计算即可。
12．【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴方程 =0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程可求解.
13．【答案】m＞9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
【分析】由于二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，可得△＜0，据此解答即可.
14．【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：如图，
当P与A点重合时， 取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为 ，
根据题意知A（-1，-1）是该抛物线的顶点，且经过点（-2，0），
∴ ，
解得： ，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当P与B点重合时， 取得最大值，如图：
根据题意知B （2，-1）是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得出点P与A点重合时， 取得最小值-2，即A（-1，-1）是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时， 取得最大值，利用二次函数与x轴的交点问题，即可求解。
15．【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
顶点坐标为 ，
向右平移1个单位，向下平移2个单位，
所得抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【分析】先求出顶点坐标为 ，再根据平移的性质求解即可。
17．【答案】解： ,
= ,
= ,
开口向下,对称轴为直线 ,顶点 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法即可将一般是转换成顶点式，再根据顶点式即可求出开口方向、对称轴和顶点坐标。
18．【答案】解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
19．【答案】解：∵a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，
∴a（a﹣b）+1＝a+1＞0，即a＞﹣1．
①当﹣1＜a＜0时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1，最大值是1，不合题意；
②当a＞0时，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，
∵2≤x≤3在对称轴直线x＝1的右侧
∴y随x增大而增大，即当x＝3时，y 最大，此时y＝3
把x＝3，y＝3代入二次函数y＝a（x﹣1）2+1，
解得a＝ ；
综上所述，a的值是 ．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】首先根据条件a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0可确定a＞﹣1，然后再分情况进行讨论：﹣1＜a＜0和a＞0两种情况，分别求得两种情况下的函数的最值，计算出a的值．
20．【答案】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.
21．【答案】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ ．
∴y＝ ＝ ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ ＝ ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 AD＝BC＝ ，再根据矩形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】解： 当 时，
有最大值=
喷出的水流距水平面的最大高度时 。
当 时， 有最大值
答：喷出的水流距水平面的最大高度时 。
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标公式求出顶点坐标，纵坐标的值即为所求。
23．【答案】（1）解：将点 和 代入抛物线 得：
解得：
∴ ，
（2）解： 原函数的表达式为： ，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为：
即
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接将（0，-3）（3，0）代入抛物线解析式中，求出a、h的值即可；
（2）利用（1）结论及抛物线的平移规律即得平移后的解析式.
24．【答案】（1）解：设 ，由题意有
，解得 ，
所以y关于x的函数解析式为
（2）解：由（1） ，又由表可得：
， ，
.
所以售价 时，周销售利润W最大，最大利润为4800
（3）解：由题意 ，
其对称轴 ， 时上述函数单调递增，
所以只有 时周销售利润最大， .
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式即可；
（2）根据利润=单价利润×销售量，可得 ，将w=3600代入可求出a值，然后利用二次函数的性质求出w的最大值即可；
（3）根据利润=单价利润×销售量，可得，由于对称轴为，由于抛物线开口向下，可得在对称轴的左侧函数单调递增，据此求解即可.
1 / 1初中数学浙教版九年级上册第一章 二次函数 单元测试
一、单选题
1．（2021·都江堰模拟）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加 厘米，则面积随之增加 平方厘米，那么 与 之间满足的函数关系是（　　）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，
与 之间满足的函数关系是二次函数，
故答案为：D.
【分析】根据题意列出的关系式是二次函数.
2．（2020九上·五常期末）若y=（m﹣1） 是关于x的二次函数，则m的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】因为y＝（m﹣1） 是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故答案为：A.
【分析】形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数，叫做二次函数，据此解答即可.
3．（2020九上·顺义期末）二次函数的图象如图所示， 则这个二次函数的表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】根据题意，二次函数对称轴为 ，与x轴的一个交点为 ，
则函数与x轴的另一个交点为 ，
故设二次函数的表达式为 ，
函数另外两点坐标 ，
可得方程组 ，
解得方程组得 ，
所以二次函数表达式为 ．
故答案为B．
【分析】利用待定系数法求解二次函数解析式即可。
4．（2021·嵊州模拟）将二次函数y＝（x﹣3）2+k的图象向上平移5个单位，若平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣3 B．k≤﹣3 C．k＞﹣3 D．k≥﹣3
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得：平移后的二次函数解析式为 ，
∵平移后的函数图象与直线y＝2没有交点，
∴一元二次方程 无解，即 无解，
∴ ，解得： ；
故答案为：C.
【分析】根据题意可得平移后的二次函数解析式为 ，进而由题意可得一元二次方程 ，然后根据题意可进行求解.
5．（2021·渭滨模拟）把二次函数 的图象作关于 轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，则a与b满足的关系是（　　）
A．b＝a B．b＝2a C．a＋b＝0 D．2a＋b＝0
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数 的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为 ，
则 与 相同，
由对称轴得： ，解得 ，
即： ，
故答案为：D.
【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为 ，再根据对称轴公式可求出 ，即可得出结论.
6．（2021·金东模拟）若二次函数y=x2+2x+k的图象经过点(1，y1)，(-2，y2)，则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1>y2 B．y1=y2 C．y1【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=（x+1）2+k-1
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∴ 点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），
∵当x＜-1时y随x的增大而减小，-3＜-2，
∴y1＞y2.
故答案为：A.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴，由此可求出点(1，y1) 的对称点为（-3，y1），再利用二次函数的性质，可知当x＜-1时y随x的增大而减小，即可得到y1与y2的大小关系.
7．（2021·于洪模拟）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y＝﹣2x2+8x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y3＜y1＜y2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣2x2+8x+c中a＝-2＜0，
∴开口向下，对称轴为：直线 ，
∵A（﹣1，y1）的对称点为（5，y1），
∵5＞3＞2，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：C．
【分析】结合函数的图形，利用二次函数的性质求解即可。
8．（2021·竞秀模拟）王芳将如图所示的三条水平直线m1，m2，m3的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线m4，m5，m6的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了抛物线y＝ax2﹣6ax﹣2.5，则她所选择的x轴和y轴分别为（　　）
A．m1，m4 B．m2，m3 C．m3，m6 D．m4，m5
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴： ，且与y轴的交点坐标为：
∴对称轴在y轴的右侧
：对称轴在ｙ轴右侧，且与ｙ轴交点在负半轴，符合题意；
：两条直线不能构成平面直角坐标系，不符合题意；
：对称轴在y轴左侧，且与y轴交点在正半轴，不符合题意；
：两条直线不能构成平面直角坐标系，不符合题意．
故答案为：A.
【分析】由抛物线开口向上可知a>0，将抛物线配方为，可得抛物线的对称轴为x=3，顶点纵坐标为-3-9a，据此结合图象可得答案。
9．（2021·贺州）如图，已知抛物线 与直线 交于 ， 两点，则关于 的不等式 的解集是（　　）
A． 或 B． 或
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】 与 关于y轴对称
抛物线 的对称轴为y轴，
因此抛物线 的图像也关于y轴对称
设 与 交点为 ，则 ，
即在点 之间的函数图象满足题意
的解集为：
故答案为：D.
【分析】由于 与 关于y轴对称，而抛物线 的图像也关于y轴对称，利用数形结合，把不等式的解集转化为 与 图象的交点问题，据此求解即可.
10．（2021·广元）将二次函数 的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直线 与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为（　　）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】A
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由 知，当 时，即
解得：
作函数 的图象并平移至过点B时，恰与所给图象有三个交点，此时有：
平移图象至过点C时，恰与所给图象有三个交点，即当 时，只有一个交点
当 的函数图象由 的图象关于x轴对称得到
当 时对应的解析式为
即 ，整理得：
综上所述 或
故答案是：A.
【分析】令y=0可得抛物线与x轴的两个交点，分类讨论当直线 刚好过点B已知直线 与抛物线相切时满足条件可得结果.
二、填空题
11．（2021·松北模拟）抛物线 的对称轴为直线　 　．
【答案】x=1
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解： 的顶点坐标公式为（ ， ），
所以抛物线的对称轴是直线x=1.
故答案为：x=1.
【分析】利用二次函数的对称轴的公式计算即可。
12．（2021·成都）在平面直角坐标系 中，若抛物线 与x轴只有一个交点，则 　 　.
【答案】1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】∵抛物线 与x轴只有一个交点，
∴方程 =0根的判别式△=0，即22-4k=0，
解得：k=1，
故答案为：1
【分析】根据抛物线与x轴只有一个交点可知方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的方程，解方程可求解.
13．（2021·黄岛模拟）若二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是　 　．
【答案】m＞9
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，
∴△＝62﹣4×（﹣1）×（﹣m）＜0，
解得m＞9．
故答案为m＞9．
【分析】由于二次函数y＝﹣x2＋6x﹣m的图像与x轴没有交点，可得△＜0，据此解答即可.
14．（2021·朝阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为 、 ，抛物线 的顶点P在线段 上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为 、 ，且 ．若 的最小值是 ，则 的最大值是　 　．
【答案】3
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：如图，
当P与A点重合时， 取得最小值-2，
此时，设抛物线的解析式为 ，
根据题意知A（-1，-1）是该抛物线的顶点，且经过点（-2，0），
∴ ，
解得： ，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当P与B点重合时， 取得最大值，如图：
根据题意知B （2，-1）是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
解得： ，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【分析】根据题意得出点P与A点重合时， 取得最小值-2，即A（-1，-1）是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时， 取得最大值，利用二次函数与x轴的交点问题，即可求解。
15．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1　 　y2 .（填“>"、“<"或“=”）
【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
16．（2021·皇姑模拟）抛物线 向右平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
顶点坐标为 ，
向右平移1个单位，向下平移2个单位，
所得抛物线的顶点坐标为 ，
故答案为： ．
【分析】先求出顶点坐标为 ，再根据平移的性质求解即可。
三、解答题
17．（2020九上·南平期中）用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】解： ,
= ,
= ,
开口向下,对称轴为直线 ,顶点 .
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】利用配方法即可将一般是转换成顶点式，再根据顶点式即可求出开口方向、对称轴和顶点坐标。
18．（2021九上·平桂期末）已知抛物线的顶点是（－2，3），且经过点（－1，4），求这条抛物线的函数表达式.
【答案】解：∵抛物线的顶点是（－2，3），
∴抛物线解析式可设为 ，
把（－1，4）代入上式得
a(-1＋2)2＋3=4
解得a=1，
∴抛物线解析式为y=(x＋2)2＋3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由题意可设抛物线的解析式为顶点式y=a(x+2)2+3，把点（-1，4）代入解析式可得关于a的方程，解方程可求解.
19．（2019九上·思明期中）已知实数a，b满足a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，求a的值．
【答案】解：∵a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0，
∴a（a﹣b）+1＝a+1＞0，即a＞﹣1．
①当﹣1＜a＜0时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1，最大值是1，不合题意；
②当a＞0时，当2≤x≤3时，二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a≠0）的最大值是3，
∵2≤x≤3在对称轴直线x＝1的右侧
∴y随x增大而增大，即当x＝3时，y 最大，此时y＝3
把x＝3，y＝3代入二次函数y＝a（x﹣1）2+1，
解得a＝ ；
综上所述，a的值是 ．
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】首先根据条件a﹣b＝1，a2﹣ab+1＞0可确定a＞﹣1，然后再分情况进行讨论：﹣1＜a＜0和a＞0两种情况，分别求得两种情况下的函数的最值，计算出a的值．
20．（2021九上·铁西期末）某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定.销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系 ，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.
21．（2020九上·峡江期末）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
【答案】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ ．
∴y＝ ＝ ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ ＝ ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 AD＝BC＝ ，再根据矩形的面积公式计算求解即可。
22．（2019九上·东莞期中）根据设计图纸已知：所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y=-x2+2x+ ，求喷出的水流距水平面的最大高度是多少
【答案】解： 当 时，
有最大值=
喷出的水流距水平面的最大高度时 。
当 时， 有最大值
答：喷出的水流距水平面的最大高度时 。
【知识点】二次函数的最值
【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标公式求出顶点坐标，纵坐标的值即为所求。
四、综合题
23．（2021·盐城）已知抛物线 经过点 和 .
（1）求 、 的值；
（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.
【答案】（1）解：将点 和 代入抛物线 得：
解得：
∴ ，
（2）解： 原函数的表达式为： ，
向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得：
平移后的新函数表达式为：
即
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接将（0，-3）（3，0）代入抛物线解析式中，求出a、h的值即可；
（2）利用（1）结论及抛物线的平移规律即得平移后的解析式.
24．（2021·荆门）某公司电商平台，在2021年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W（元）的三组对应值数据.
x 40 70 90
y 180 90 30
W 3600 4500 2100
（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若该商品进价a（元/件），售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；
（3）因疫情期间，该商品进价提高了m（元/件）（ ），公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55（元/件），且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值.
【答案】（1）解：设 ，由题意有
，解得 ，
所以y关于x的函数解析式为
（2）解：由（1） ，又由表可得：
， ，
.
所以售价 时，周销售利润W最大，最大利润为4800
（3）解：由题意 ，
其对称轴 ， 时上述函数单调递增，
所以只有 时周销售利润最大， .
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的函数解析式即可；
（2）根据利润=单价利润×销售量，可得 ，将w=3600代入可求出a值，然后利用二次函数的性质求出w的最大值即可；
（3）根据利润=单价利润×销售量，可得，由于对称轴为，由于抛物线开口向下，可得在对称轴的左侧函数单调递增，据此求解即可.
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