2.7 探索勾股定理---同步课件 2021-2022学年浙教版数学八年级上册(24张PPT)

(共24张PPT)
第2章
特殊三角形
第7节
探究勾股定理
第24届国际数学家大会会标
情景导入
一、勾股定理
【做一做】
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
你们能用这四个三角形纸片，围出一个大正方形吗?（允许中间有空隙）
并请你表示出正方形的面积
c
c
c
b
a
b
获取新知
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
a2+b2=c2
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
中国数学家赵爽根据弦图给出了勾股定理的一种证明
勾
股
赵爽弦图
a
b
c
b-a
S大正方形＝c2
S小正方形＝(b-a)2
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
证明
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
大正方形的面积可以表示为
;
也可以表示为
.
(a+b)2
c2
+4?ab/2
∵
(a+b)2
=
c2
+
4?ab/2
a2+2ab+b2
=
c2
+2ab
∴
a2+b2=c2
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形，你能否根据这一图形，证明勾股定理.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
例题精讲
例1
　
(1)若a=3,
b=2,
求c;
已知ΔABC中，∠C=Rt∠，BC=a,
AC=b，AB=c.
(2)若a=15,c=17,求b;
解
(1)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
又∵∠C＝90°，c＝5，
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝
例2
如图是长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm),
求两孔中心A，B之间的距离.
A
B
C
90
40
160
40
解
过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则∠ACB=90°，
AC=90-40=50(mm),
BC=160-40=120(mm).
由勾股定理，得
AB2=
AC2+
BC2=502+1202=16900(mm2).
∵AB>0，
∴AB=130(mm).
答：两孔中心A，B之间的距离为130mm.
课堂小结
勾股定理
（a2+b2=c2)
直角三角形
中的应用
已知任意两条边，
就可以求第三边．
已知一条边，以及另
两条边之间的关系，
就可以求另两条边的
长度．
随堂演练
1.在Rt△ABC中，∠A＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝13
cm，b＝5
cm，则c为(
)
A．18
cm
B．12
cm
C．8
cm
D．6
cm
2．等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则这个等腰三角
形的面积为(
)
A．36
B．48
C．56
D．64
3.
已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第三边的长．
错解：
第三边的长为
(1)当两直角边长分别为3和4时，第三边的长
为
(2)当斜边长为4，一直角边长为3时，第三边
的长为
正确解法：
知识回顾
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
b
c
a2+b2=c2
你能说出它的逆定理吗？
二、勾股定理的逆定理
1.画一画：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）
:
①6，
8，
10;
②
2.5
，
6，
6.5.
2.测一测：用量角器分别测量一下上述各三角形的最大度数：
1：_______
2：_______
3.判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状.
A：______
B：_______
直角三角形
直角三角形
【合作学习】
5.猜想：
如果三角形中有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
三边
6
8
10
2.5
6
6.5
36，64，100
36+64=100
各边的平方
规律
?
6.25，36，42.25
6.25+36=42.25
a
b
c
.
4.找一找:寻找三角形三边之间的关系.
如果三角形中
有两边的平方和
等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
∵
△ABC
是直角三角形
a
b
c
最长边所对的角是直角
较短两边的平方和
最长边的平方
直角三角形的判定
获取新知
a
c
b
A
C
B
b
a
C1
M
N
B1
A1
已知：在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2.
求证：
△ABC是直角三角形.
≌
这种方法我们把它叫做同一法
例题精讲
例1
　
根据下列条件，分别判断以a，b，c为边的△ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条边所对的角是直角.
（1）a＝7，b＝24，c＝25；
（2）
1、先求各边的平方
2、观察较短两边的平方和
与最长边的平方
3、判断是否相等
解（1）
为边的三角形是直角三角形.
（2）
也就是较小的两边的平方和都不等于较大边的平方，
∴a,b,c中任何两边的平方和都不等于第三边的平方，
∴以
为边的三角形不是直角三角形.
例2
已知△ABC三条边长分别为a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整数)。△ABC是直角三角形吗？请说明理由.
解：∵
a=m2－n2，b=2mn，c＝m2＋n2
∴a2+b2=(m2－n2)2+(2mn)2
＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2
＝(m2＋n2)2
＝m4＋2m2n2＋n4
＝c2
∴△ABC是直角三角形
课堂小结
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
a
c
b
A
B
C
(1)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方,
那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形的判定方法之一：
a2+b2=c2
1．下列四组长度的线段中，可以构成直角三角形的是(
)
A．1，2，3
B．2，3，4
C．3，4，5
D．4，5，6
2．已知在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，则下列说法中错
误的是(
)
A．△ABC是直角三角形，且AC为斜边
B．△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°
C．△ABC的面积为24
D．△ABC是直角三角形，且∠BAC＝60°
随堂演练
3.如图，以△ABC的每一条边为边作三个正方形。已知这三个正方形构成的图形中，灰色部分的面积与蓝色部分的面积相等，则△ABC是直角三角形吗？请说明理由。