2021-2022学年九年级数学浙教版上册《1.2二次函数的图象》同步能力提升训练（word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.2二次函数的图象》同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共8小题）
1．下列各坐标表示的点中，在函数y＝x2+1的图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣2）
B．（﹣1，4）
C．（1，2）
D．（1，4）
2．已知（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，则（　　）
A．y1＞y2＞y3
B．y2＞y1＞y3
C．y1＝y2＞y3
D．y1＞y2＝y3
3．关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3
B．m≤3且m≠2
C．m＜3
D．m＜3且m≠2
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：
①abc＞0；②b2＜4ac；③9a+3b+c＜0；④2c＜3b．
其中正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝﹣2（x﹣1）2
B．y＝﹣2（x+3）2
C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
D．y＝﹣2（x+3）2﹣6
6．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②b＝﹣2a；③4b+c＞0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2．其中正确的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知抛物线y＝x2﹣x+c经过点P（﹣3，6），点Q（m，n）在抛物线上，若点Q到y轴的距离不大于3．则n的取值范围是（　　）
A．﹣2≤n≤9
B．﹣2＜n≤6
C．﹣2≤n≤6
D．0≤n≤6
8．一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共8小题）
9．若A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，则n＝　
　．
10．将抛物线y＝x2﹣2x+3向左平移2个单位长度，所得抛物线为
　
　．
11．二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是　
　．
12．将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是　
　．
13．抛物线y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m一定经过非坐标轴上的一点P，则点P的坐标为　
　．
14．将二次函数y＝x2+2x﹣3的图象绕原点旋转180°，若得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，则m的取值范围是　
　．
15．已知将抛物线y＝ax2+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线经过点（0，5），则12a+3c﹣4的值为　
　．
16．如果抛物线y＝x2+（b+3）x+2c的顶点为（b，c），那么该抛物线的顶点坐标是　
　．
三．解答题（共6小题）
17．若抛物线y＝x2﹣2x﹣3经过点A（m，0）和点B（2，n），求点A、B的坐标．
18．已知：二次函数y＝x2+bx﹣3的图象经过点P（﹣2，5）．
（1）求b的值；
（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）均在该函数图象上，
①当m＝4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
19．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2mx+1图象与y轴的交点为A，将点A向右平移4个单位长度得到点B．
（1）直接写出点A与点B的坐标；
（2）若函数y＝x2﹣2mx+1的图象与线段AB恰有一个公共点，求m的取值范围．
20．在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A，B．
（1）求a，b满足的关系式及c的值．
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求实数a的取值范围．
（3）当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，交y轴于点C．
（1）求a，b的值；
（2）点P为二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象上一动点，且位于第一象限，设△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，记w＝S1﹣2S2+1，求w的最小值．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：当x＝﹣1时，y＝x2+1＝（﹣1）2+1＝2，
∴点（﹣1，﹣2）和点（﹣1，4）不在该函数图象上；
当x＝1时，y＝x2+1＝12+1＝2，
∴点（1，2）在该函数图象上，点（1，4）不在该函数图象上；
故选：C．
2．解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m，
∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵（﹣3，y1），（1，y2），（5，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1，y3），
∵1＜5，
∴y1＝y2＞y3，
故选：C．
3．解：∵关于x的二次函数y＝（m﹣2）x2﹣2x+1与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个不同的解，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1＞0，且m﹣2≠0，
解得：m＜3且m≠2．
故选：D．
4．解：①函数对称轴在y轴右侧，则ab＜0，c＞0，故①错误，不符合题意；
②抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以b2＞4ac，故②错误，不符合题意；
③x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故正确，符合题意；
④函数的对称轴为：x＝1，故b＝﹣2a，而由②知：b＞a+c，故2c＜3b正确，符合题意；
故选：B．
5．解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1+2）2﹣3+3，即y＝﹣2（x+3）2；
故选：B．
6．解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，所以②错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝2时，y＞0，
∴4a+2b+c＞0，
∵b＝2a，
∴2b+2b+c＞0，即4b+c＞0，所以③正确；
∵点（﹣5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远，
∴y1＞y2，所以④正确．
故选：C．
7．解：把点P（﹣3，6）代入y＝x2﹣x+c中，
得：6＝×（﹣3）2﹣（﹣3）+c，
解得：c＝﹣，
∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣x﹣，
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，
∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2），
∵点Q到y轴的距离不大于3，
∴|m|≤3，
∴﹣3≤m≤3，
∵x＝﹣3时，为y＝x2﹣x﹣＝×（﹣3）2﹣（﹣3）﹣＝6，
x＝3时，为y＝x2﹣x﹣＝×32﹣3﹣＝0，
又∵顶点坐标为（1，﹣2），
∴﹣3≤m≤3时，n≥﹣2，
∴﹣2≤n≤6，
故选：C．
8．解：A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．解：∵A（m﹣2，n），B（m+2，n）为抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2020上两点，
∴h＝＝m，
∴A（h﹣2，n），B（h+2，n），
当x＝h+2时，n＝﹣（h+2﹣h）2+2020＝2016，
故答案为2016．
10．解：将抛物线y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2向左平移2个单位长度得到解析式：y＝（x+1）2+2，
故答案为：y＝（x+1）2+2．
11．解：∵y＝（x﹣1）2+2，当x＝0时，y＝1+2＝3，
∴二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象与y轴交点坐标是（0，3）；
故答案为：（0，3）．
12．解：将二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象沿着y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是y＝2（﹣x）2﹣4?（﹣x）﹣1，即y＝2x2+4x﹣1，
故答案为y＝2x2+4x﹣1，
13．解：y＝mx2+（1﹣4m）x+1﹣5m＝（x2﹣4x﹣5）m+x+1，
令x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，
当x＝﹣1时，y＝0；
当x＝5时，y＝6；
∴非坐标轴上的点P的坐标为（5，6）．
故答案为：（5，6）．
14．解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（1，4），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3，
令x﹣m＝﹣x2+2x+3，整理得x2﹣x﹣m﹣3＝0，
∵得到的新的函数图象上总有两个点在直线y＝x﹣m上，
∴△＞0，即1﹣4（﹣m﹣3）＞0，
解得m＞﹣，
故答案为m＞﹣．
15．解：将抛物线y＝ax2+c向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线为：y＝a（x﹣2）2+c+3，
把（0，5）代入，得a（0﹣2）2+c+3＝5．
所以4a+c＝2．
所以12a+3c﹣4＝3（4a+c）﹣4＝3×2﹣4＝2．
故答案是：2．
16．解：根据顶点公式：b＝﹣，
解得：b＝﹣1，
c＝＝，
解得：c＝1．
所以抛物线的顶点坐标是（﹣1，1）
故答案为：（﹣1，1）．
三．解答题（共6小题）
17．解：把A（m，0）代入y＝x2﹣2x﹣3得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）或（3，0）；
把点B（2，n）代入y＝x2﹣2x﹣3得n＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，
∴点B的坐标为（2，﹣3）．
18．解：（1）把（﹣2，5）代入二次函数y＝x2+bx﹣3得：5＝4﹣2b﹣3，
∴b＝﹣2．
（2）①答：当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当m＝4时，P1（4，y1）、P2（5，y2）、P3（6，y3），
代入抛物线的解析式得：y1＝5，y2＝12，y3＝21，
∵5+12＜21，
∴当m＝4时，y1、y2、y3不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：∵把P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）代入y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4得：
∴y1＝（m﹣1）2﹣4，y2＝（m+1﹣1）2﹣4，y3＝（m+2﹣1）2﹣4，
∴y1+y2﹣y3＝（m﹣1）2﹣4+（m+1﹣1）2﹣4﹣[（m+2﹣1）2﹣4]＝（m﹣2）2﹣8，
∵m≥5，y1，y2，y3都是＞0的，
∴（m﹣2）2﹣8＞0，
∴y1+y2＞y3，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
∴当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长．
19．解：（1）把x＝0代入y＝x2﹣2mx+1得，y＝1，
∴A（0，1），
∵将点A向右平移4个单位长度得到点B，
∴B（4，1）；
（2）直线AB解析式为y＝1，该二次函数图象经过定点A（0，1），
①当m＝0
时，抛物线解析式为y＝x2+1，顶点恰是A点，与线段AB仅有一个交点A点；
②当m＜0
时，如图1，对称轴为直线x＝m＜0，恰与线段AB仅有一个交点A点；
③当m＞0，在x＞0范围内，y会先随x增大而减小，再随x增大而增大，
如图2，当m＝2
时，对称轴为直线x＝2，此时抛物线恰好与线段AB有两个交点分别是A点和B点，
因此当m＞2
时，抛物线恰好与线段AB
有一个交点，
综上所述，m≤0或m＞2．
20．解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，
故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，
则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，
将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；
（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，
则函数对称轴x＝﹣≥0，而b＝2a+1，
即﹣≥0，解得：a≥﹣，
故a的取值范围为：﹣≤a＜0；
（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠PQH＝45°，
S△PAB＝×AB×PH＝×2×PQ×＝1，
则PQ＝yP﹣yQ＝1，
在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，
则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，
故：|yP﹣yQ|＝1，
设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），
即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，
解得：x＝﹣1或﹣1±，
故点P（﹣1，2）或（﹣1+，）或（﹣1﹣，﹣）．
21．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴，
解得；
（2）由（1）可知，二次函数为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC为y＝kx+3，
代入B（3，0）求得k＝﹣1，
∴直线BC为y＝﹣x+3，
过P点作x轴的垂线，交BC于Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），则Q（x，﹣x+3），
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∴S1＝×（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+4x+6，2S2＝2×（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝﹣3x2+9x，
∴w＝S1﹣2S2+1＝﹣2x2+4x+6﹣（﹣3x2+9x）+1＝x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，
∴w的最小值为．
22．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在CD的垂直平分线上的点，
∴点P的纵坐标为2，
当y＝2时，可得2＝﹣（x﹣1）2+4，
∴x1＝1+，x2＝1﹣，
∴点P的坐标（1+，2）或（1﹣，2）．