2021-2022学年九年级数学浙教版上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.3二次函数的性质》同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共7小题）
1．抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3）
B．（2，3）
C．（﹣2，3）
D．（﹣2，﹣3）
2．对于二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线
x＝﹣3
C．顶点坐标为（﹣3，0）
D．当
x＜﹣3
时，y
随
x的增大而减小
3．抛物线y＝﹣3x2﹣4的开口方向和顶点坐标分别是（　　）
A．向上，（0，4）
B．向上，（0，﹣4）
C．向下，（0，﹣4）
D．向下，（0，4）
4．抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，则k的值为（　　）
A．4
B．﹣4
C．0或4
D．0或﹣4
5．下列抛物线中，与抛物线y＝x2﹣2x+4具有相同对称轴的是（　　）
A．y＝4x2+2x+1
B．y＝2x2+4x+1
C．y＝x2﹣4x+2
D．y＝2x2﹣4x+1
6．已知二次函数y＝﹣3x2+6x+2，关于该函数在﹣2≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值﹣7，最小值﹣22
B．有最大值2，最小值﹣22
C．有最大值5，最小值﹣22
D．有最大值5，最小值﹣7
7．已知抛物线与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，2020），它对应的函数表达式为（　　）
A．y＝﹣5（x﹣1）
2+2020
B．y＝5（x﹣1）
2+2020
C．y＝5（x+1）
2+2020
D．y＝﹣5（x+1）2+2020
二．填空题（共9小题）
8．抛物线y＝a（x+k）2+k，无论k取何值，顶点都在直线　
　上．
9．当x＝0时，函数y＝2x2+bx+c有最小值1，则b﹣c＝　
　．
10．如图是二次函数y＝﹣x2+2x+4的图象，当x　
　时，y随着x的增大面增大；当1＜x＜2时，则y的范围是　
　．
11．当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，则m、n的值分别是　
　．
12．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（3，4）且与y轴的交点为（0，﹣5），则这个二次函数的解析式为　
　．
13．设直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，若△PAB的面积为，则点P的坐标为　
　．
14．已知A（﹣，y1），B（0，y2），C（，y3）三点都在抛物线y＝﹣（x﹣1）2+，比较y1，y2，y3的大小　
　．（用“＜”连接）
15．若点P（a，b）在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1，则a+b的最大值为　
　．
16．将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x+h）2+k的形式应为　
　．
三．解答题（共6小题）
17．分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．
（1）图象经过点A（1，0），B（0，﹣3），对称轴是直线x＝2；
（2）图象顶点坐标是（﹣2，3），且过点（1，﹣3）．
18．如图，已知抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．
19．二次函数y＝ax2+bx+6的图象经过点（﹣2，0），（6，0）．
（1）求二次函数的表达式和对称轴．
（2）如图，该二次函数图象交y轴于点A，点P在线段OA上，过点P作x轴的平行线交抛物线于B，C（点B在点C的左侧），若PC＝5PB，求点P的纵坐标．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），点P是线段AB上的动点．
（1）①m＝　
　；
②求抛物线的解析式．
（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2+bx﹣3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标．
21．已知抛物线y＝﹣x2+2x+m．抛物线过点A（3，0），与y轴交于点B．直线AB与这条抛物线的对称轴交于点P．
（1）求抛物线的解析式及点B、C的坐标；
（2）求直线AB的解析式和点P的坐标；
（3）在第一象限内的该抛物线有一点D（x，y），且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标．
22．如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE＝CF，AB＝4．
（1）设CE＝x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
（2）当x取何值时，△AEF面积最大？求出此时△AEF的面积．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．解：∵抛物线y＝5（x﹣2）2﹣3，
∴顶点坐标为：（2，﹣3）．
故选：A．
2．解：二次函数y＝﹣2（x+3）2的图象开口向下，顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y
随
x的增大而增大，
故A、B、C正确，D不正确，
故选：D．
3．解：∵抛物线y＝﹣3x2﹣4中，a＝﹣3＜0，
∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（0，﹣4），
故选：C．
4．解：∵抛物线y＝x2+2kx﹣4k的顶点在x轴上，
∴＝0，
解得，k1＝0，k2＝﹣4，
故选：D．
5．解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝1，
∵y＝4x2+2x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，故选项A不符合题意；
∵y＝2x2+4x+1的对称轴是直线x＝﹣＝﹣1，故选项B不符合题意；
∵y＝x2﹣4x+2的对称轴是直线x＝﹣＝2，故选项C不符合题意；
∵y＝2x2﹣4x+1的对称轴是直线x＝﹣＝1，故选项D符合题意；
故选：D．
6．解：y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3（x2﹣2x）+2＝﹣3（x﹣1）2+5，
所以二次函数y＝﹣3x2+6x+2，当x＝1时，y有最大值是5，
∵函数在﹣2≤x≤3的取值范围内，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3×（﹣2）2+6×（﹣2）+2＝﹣12﹣12+2＝﹣22，
当x＝3时，y＝﹣3x2+6x+2＝﹣3×32+6×3+2＝﹣7，
∴该函数在﹣2≤x≤3的取值范围内的最大值是5，最小值是﹣22，
故选：C．
7．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，2020），
∴抛物线的解析式为y＝a（x+1）2+2020，
∵抛物线y＝a（x+1）2+2020与二次函数y＝﹣5x2的图象相同，开口方向相同，
∴a＝﹣5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣5（x+1）2+2020．
故选：D．
二．填空题（共9小题）
8．解：∵抛物线y＝a（x+k）2+k，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣k，k），
∴无论k取何值，顶点一定在直线y＝﹣x上，
故答案为：y＝﹣x．
9．解：当x＝﹣时，x＝0，即b＝0，
把x＝0代入y＝2x2+bx+c可得y＝c＝1，
∴c＝1，
∴y＝2x2+1，
当x＝﹣1时y＝2﹣b+c＝3，
∴b﹣c＝2﹣3＝﹣1．
故答案为﹣1．
10．解：根据图象，可知对称轴为：x＝1．
当x≤1时，y随x增加而增大．
当x＝1时．y＝5．
当x＝2时，y＝4．
∴当1＜x＜2时，则y的范围是4＜y＜5．
故答案为：x≤1；4＜y＜5．
11．解：∵函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1＝﹣（x+m）2+m2+2n+1，
∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣m，
∵当﹣1≤x≤1时，函数y＝﹣x2﹣2mx+2n+1的最小值是﹣4，最大值是0，
∴当﹣m＜﹣1时，m＞1，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4，
即，解得，不符合m＞1，故此种情况不存在；
当﹣1≤﹣m≤1时，﹣1≤m≤1，x＝﹣m时，y＝0，当x＝﹣1时y＝﹣4或x＝1时y＝﹣4，
即或，
解得或；
当﹣m＞1时，m＜﹣1，当x＝1时，y＝0，x＝﹣1时，y＝﹣4，
即，
解得，不符合m＜﹣1，故此种情况不存在；
由上可得，m、n的值分别是﹣1，﹣1或1，﹣1，
故答案为：﹣1，﹣1或1，﹣1．
12．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为（3，4），
∴设这个二次函数的解析式为y＝a（x﹣3）2+4，
∵该函数与y轴的交点为（0，﹣5），
∴﹣5＝a（0﹣3）2+4，
解得a＝﹣1，
∴该函数的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+4＝﹣x2+6x﹣5，
故答案为：y＝﹣x2+6x﹣5．
13．解：∵直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，
∴当y＝2时，x1＝，x2＝﹣，
∴设点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，2），
∴AB＝2，
∵点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，△PAB的面积为，
∴设点P的坐标为（p，p2），
∴＝2，
解得p1＝2，p2＝﹣2，
∴点P的坐标为（2，4）或（﹣2，4），
故答案为：（2，4）或（﹣2，4）．
14．解：抛物线y＝﹣（x﹣1）2+，图象开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵1﹣（﹣）＞1﹣0＞﹣1，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：y1＜y2＜y3．
15．解：因为点P在抛物线y＝﹣x2+2x﹣1上，
∴b＝﹣a2+2a﹣1，
∴a+b＝a﹣a2+2a﹣1＝﹣a2+3a﹣1＝﹣（a﹣）2+，
故答案为：．
16．解：y＝x2﹣4x+5
＝x2﹣4x+4+1
＝（x﹣2）2+1，
所以，y＝（x﹣2）2+1．
故答案为：y＝（x﹣2）2+1．
三．解答题（共6小题）
17．解
（1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得，解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵图象的顶点为（﹣2，3），且经过点（1，﹣3），
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+3，
把（1，﹣3）代入，得a（1+2）2+3＝﹣3，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+3（或y＝﹣x2﹣x+）．
18．（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），
将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a＝，
∴y＝﹣（x﹣4）（x﹣1）＝﹣x2+x﹣2，
故该抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x﹣2，
（2）如图，
设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，
设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：
，解得，
∴直线AC：y＝x﹣2，
设点D坐标为（x，﹣x2+x﹣2），则点E坐标为（x，x﹣2），
S△DCA＝S△DCE+S△DAE＝×DE×xE+×DE×（xA﹣xE）＝×DE×xA＝×DE×4＝2DE，
∵DE＝（﹣x2+x﹣2）﹣（x﹣2）＝﹣x2+2x，
∴S△DCA＝2DE＝2×（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，y＝﹣x2+x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），
此时△DCA的面积最大，最大值为4．
19．（1）解：将（﹣2，0），（6，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx+6，得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
对称轴为：x＝2．
（2）设BC与对称轴交于点D，则PD＝2，
由抛物线的对称性可知BD＝CD，
令BP＝m，则BD＝CD＝m+2．
∵PC＝5PB，
∴m+2+2＝5m，
∴m＝1即点C的横坐标为5，
∴点P的纵坐标＝点C的纵坐标＝﹣×52+2×5+6＝3.5．
20．解：（1）①∵抛物线y＝ax2+bx﹣3与直线y＝﹣x﹣1交于点A（﹣1，0），B（m，﹣3），
∴将点B（m，﹣3）代入直线y＝﹣x﹣1，得﹣m﹣1＝﹣3，
解得m＝2，
故答案为：2；
②由①知：B（2，﹣3），
∵点A（﹣1，0），B（2，﹣3）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点P的横坐标为x，其中﹣1≤x≤2，
∴点P（x，﹣x﹣1），点Q（x，x2﹣2x﹣3），
∴PQ＝﹣x2+x+2，
∴当x＝时，PQ最大，
此时点P的坐标为（，﹣）．
21．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+m过点A（3，0），
∴﹣9+6+m＝0，解得m＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∵对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴点A（3，0）关于对称轴的对称点为（﹣1，0），
∴C（﹣1，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（3，0），B（0，3）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
把x＝1代入y＝﹣x+3得，y＝2，
∴P的坐标为（1，2）；
（3）∵抛物线有一点D（x．y），
∴D（x，﹣x2+2x+3），
过D点作DE⊥x轴，交直线AB与E，
∴E（x，﹣x+3），
∵A（3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴S△ABC＝（3+1）×3＝6，
∴S△ABD＝S△ABC＝，
∵S△ABD＝S△ADE+S△BDE，
∴（﹣x2+2x+3+x﹣3）×3＝，
解得x＝，
∴y＝﹣x2+2x+3＝，
∴D（，），（，）．
22．解：（1）∵BC＝DC，CE＝CF＝x，
∴BE＝DF＝4﹣x，
∴y＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF，
∴y＝42﹣×（4﹣x）﹣×4×（4﹣x）﹣x2
∴y＝﹣2+4x（0≤x≤4）．
（2）∵y＝﹣2+4x＝﹣（x﹣4）2+8，
∴当x＝4时，△AEF的面积最大，此时△AEF的面积是8．