2021-2022学年九年级数学浙教版上册《1.4二次函数的应用》同步能力提升训练（word版含答案）

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《1.4二次函数的应用》同步能力提升训练（附答案）
一．选择题（共10小题）
1．如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝kx+m的交点为A（1，﹣3），B（6，1）．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　）
A．1＜x＜6
B．﹣3＜x＜1
C．x＜﹣3或x＞1
D．x＜1或x＞6
2．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初2个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为（　　）
A．y＝2（1+x）2
B．y＝（2+x）2
C．y＝2+2x2
D．y＝（1+2x）2
3．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元．
A．60
B．65
C．70
D．75
4．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s
B．20s
C．30s
D．40s
5．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），若m+n＝0，则t的值为（　　）
A．﹣7
B．﹣6
C．﹣5
D．﹣4
6．如图，抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　）
A．5
B．﹣1
C．5或1
D．﹣5或﹣1
8．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是（　　）
A．（2，4）
B．（﹣2，4）
C．（﹣2，﹣4）
D．（2，﹣4）
9．关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a≠0，a为常数），下列说法错误的是（　　）
A．函数的对称轴为直线x＝1
B．函数必经过点（2，1）
C．当x＞1时，y随x的增大而增大
D．当0＜a＜1时，函数图象与x轴无交点
10．如图是二次函数y＝x2+bx+c的部分图象，抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B．给出下列结论：
①b＝c；②点B的坐标为（0，﹣3）；③抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0）；
④抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；⑤函数最大值为﹣4．
其中正确的个数为（　　）
A．5
B．4
C．3
D．2
二．填空题（共8小题）
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根是
　
　．
12．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为
　
　．
13．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，则△ABC的面积为
　
　．
14．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是　
　元．
15．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．若人梯到起跳点A的水平距离为4米，则人梯BC的高为　
　米．
16．已知函数y＝（a﹣1）x2﹣2ax+a﹣3的图象与两坐标轴共有两个交点，则a的值为　
　．
17．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为　
　元时，宾馆利润最大，最大利润是　
　元．
18．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y＝﹣x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为
　
　米．
三．解答题（共5小题）
19．如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线对应的函数关系式；
（2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度．
20．茶叶是安徽省主要经济作物之一．2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天（1≤x≤15，且x为整数）制茶成本（含采摘和加工）和制茶量的相关信息如表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出（当天收入＝日销售额﹣日制茶成本）．
制茶成本（元/kg）
150+10x
制茶量（kg）
40+4x
（1）求出该茶厂第10天的收入；
（2）设该茶厂第x天的收入为y（元），试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．
21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使S△BDP＝S△ABD．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
22．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）．
（1）填空：点A的坐标为
　
　，点D的坐标为
　
　，抛物线的解析式为
　
　；
（2）当二次函数y＝x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，求直线BC的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：∵二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m的交点A、B的坐标分别为（1，﹣3）、（6，1），
∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1或x＞6，
故选：D．
2．解：根据题意可得，y与x的函数关系式为：y＝2+2x+（2+2x）x＝2（1+x）2．
故选：A．
3．解：每顶头盔降价x元，利润为w元，
由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000，
∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70，
即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元，
故选：C．
4．解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
5．解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象与x轴的交点A的坐标为（n，0），顶点D的坐标为（m，t），m+n＝0，
∴m＝﹣n＝，
∴a?（）2+b?﹣3＝0，
解得＝1，
∴t＝＝＝﹣3﹣＝﹣3﹣1＝﹣4，
故选：D．
6．解：如图所示，
过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，
则四边形OCDA是矩形，
∵抛物线L1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴只有一个公共点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），
∴OB＝2，OA＝1，
将抛物线L1向下平移两个单位长度得抛物线L2，则AD＝OC＝2，
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，
∴S阴影部分＝S矩形OCDA＝OA?AD＝1×2＝2．
故选：B．
7．解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m，
∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5；
当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1，
即m的值为5或1．
故选：C．
8．解：设抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点坐标为（x1，0），（x2，0），
∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x＝2，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，﹣＝2，
∴（﹣）2﹣4×＝16，b＝﹣4，
解得c＝0，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（2，﹣4），
∴点P关于x轴的对称点的坐标是（2，4），
故选：A．
9．解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2﹣a+1（a≠0，a为常数），
∴该函数的对称轴为直线x＝1，故选项A不符合题意；
当x＝2时，y＝1，故选项B不符合题意；
a的正负不知道，故当x＞1时，y随x的增大如何变化无法确定，故选项C符合题意；
当0＜a＜1时，该函数图象开口向上，Δ＝（﹣2a）2﹣4a×1＝（2a﹣1）2﹣1＜0，则当0＜a＜1时，函数图象与x轴无交点，故故选项D不符合题意；
故选：C．
10．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A（﹣1，0），
∴，抛物线与x轴另一个交点的坐标为（3，0），故③正确，符合题意；
解得，
∴b≠c，故①错误，不符合题意；
函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴点B的坐标为（0，﹣3），故②正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故④正确，符合题意；
函数图象开口向上，当x＝1时，取得最小值﹣4，故⑤错误，不符合题意；
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x＝3或x＝﹣1．
故答案为：x＝3或x＝﹣1．
12．解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），
当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），
连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE＝EA+DE＝AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣1，0），D（4，5）代入得，解得，
∴直线AD的解析式为y＝x+1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），
当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．
故答案为4．
13．解：∵抛物线y＝﹣x2﹣x+，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，），
∴AB＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，OC＝，
∴△ABC的面积为：＝3，
故答案为：3．
14．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，
由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，
解a＝b，
∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）
＝﹣4a2+48a+1120
＝﹣4（a﹣6）2+1264，
∵﹣4＜0，
∴当a＝6时，W取得最大值1264，
即两种快餐一天的总利润最多为1264元．
故答案为：1264．
15．解：∵跳起的演员距点A所在y轴的水平距离为2.5米时身体离地面最高．
∴抛物线的对称轴为x＝2.5，
∴x＝﹣＝2.5，解得：b＝3，
∴抛物线为y＝﹣x2+3x+1，
∵人梯到起跳点A的水平距离是4，
∴点B的横坐标为4，
则yB＝﹣×42+3×4+1＝3.4，即BC＝3.4米．
故答案为：3.4．
16．解：当a﹣1＝0时，即a＝1，函数为y＝﹣2x﹣2，此一次函数与坐标轴共有两个交点；
当a﹣1≠0，此函数为二次函数，
若a﹣3＝0，抛物线解析式为y＝2x2﹣6x，抛物线经过原点且抛物线与x轴有两个交点；
若△＝0，抛物线的顶点在x轴上，即△＝（﹣2a）2﹣4（a﹣1）（a﹣3）＝0，解得a＝，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x﹣＝﹣（x+3）2，抛物线的顶点为（﹣3，0），则抛物线与两坐标轴共有两个交点．
综上所述，a的值为1或3或．
故答案为1或3或．
17．解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：
y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）
＝﹣10x2+360x+7000
＝﹣10（x﹣18）2+10240，
∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，
∴当x＝18时，y有最大值，为10240．
此时房间定价为180+10×18＝360（元）．
∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．
故答案为：360，10240．
18．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：
由题意可知，点A（0，），点B（8，），代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，
解得．
∴y＝﹣x2+x+，
当y＝0时，0＝﹣x2+x+，
解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．
∴该学生推铅球的成绩为10m．
故答案为：10．
三．解答题（共5小题）
19．解：（1）如图②中，A（4，0），C（0，4），
设抛物线解析式为y＝ax2+k，
由题意，得，
解得：，
∴抛物线表达式为．
（2）2+＝2.2，
当x＝2.2时，y＝﹣×2.22+4＝2.79，
当y＝2.79时，2.79﹣0.5＝2.29
（m）．
答：该货车能够通行的最大高度为2.29
m．
20．解：（1）当x＝10时，制茶成本为：150+10x＝150+10×10＝250（元/千克）；
制茶量为：40+4x＝40+4×10＝80（kg）；
该茶厂第10天的收入为：（400﹣250）×80＝12000（元）．
∴该茶厂第10天的收入为12000元；
（2）根据题意得：
y＝[400﹣（150+10x）]?（40+4x）
＝﹣40x2+600x+10000
＝﹣40（x﹣7.5）2+12250，
∵a＝﹣40＜0，1≤x≤15，且x是正整数，
∴x＝7或8时，y取得最大值12240元．
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣40x2+600x+10000，x＝7或8时，y取得最大值12240元．
21．解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵点C的坐标为（0，2），
∴c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+2ax+2，
∵点A（﹣3，0）在抛物线上，
∴9a﹣6a+2＝0，
∴a＝﹣，
∴b＝2a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，
记BD与AC的交点为点E，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴AE＝BE，
∵直线x＝﹣1垂直平分AB，
∴点E在直线x＝﹣1上，
∵点A（﹣3，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y＝x+2，
当x＝﹣1时，y＝，
∴点E（﹣1，），
∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，
∴B（1，0），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+，
即直线l的解析式为y＝﹣x+；
Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，
∵∠ABD＝∠BAC，
∴BD∥AC，
由Ⅰ知，直线AC的解析式为y＝x+2，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣，
即直线l的解析式为y＝x﹣；
综上，直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝x﹣；
（3）由（2）知，直线BD的解析式为y＝x﹣①，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2②，
∴或，
∴D（﹣4，﹣），
∴S△ABD＝AB?|yD|＝×4×＝，
∵S△BDP＝S△ABD，
∴S△BDP＝×＝10，
∵点P在y轴左侧的抛物线上，
∴设P（m，﹣m2﹣m+2）（m＜0），
过P作y轴的平行线交直线BD于F，
∴F（m，m﹣），
∴PF＝|﹣m2﹣m+2﹣（m﹣）|＝|m2+2m﹣|，
∴S△BDP＝PF?（xB﹣xD）＝×|m2+2m﹣|×5＝10，
∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，
∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．
22．解：（1）∵对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x+c，
∵点B（3，0）是抛物线与x轴的交点，
∴9﹣12+c＝0，
∴c＝3，
∴y＝x2﹣4x+3，
令y＝0，x2﹣4x+3＝0，
∴x＝3或x＝1，
∴A（1，0），
∵D是抛物线的顶点，
∴D（2，﹣1），
故答案为（1，0），（2，﹣1），y＝x2﹣4x+3；
（2）当m+2＜2时，即m＜0，
此时当x＝m+2时，y有最小值，
则（m+2）2﹣4（m+2）+3＝，
解得m＝，
∴m＝﹣；
当m＞2时，此时当x＝m时，y有最小值，
则m2﹣4m+3＝，
解得m＝或m＝，
∴m＝；
当0≤m≤2时，此时当x＝2时，y有最小值为﹣1，与题意不符；
综上所述：m的值为或﹣；
（3）存在，理由如下：
A（1，0），C（0，3），
∴AC＝，AC的中点为E（，），
设P（2，t），
∵△PAC是以AC为斜边的直角三角形，
∴PE＝AC，
∴＝，
∴t＝2或t＝1，
∴P（2，2）或P（2，1），
∴使△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，P点坐标为（2，2）或（2，1）．
23．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得到，
解得，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
设BC的解析式为y＝kx+b，
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
∴，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
（3）如图1中，
由题意A，B关于抛物线的对称轴直线x＝对称，
连接BC交直线x＝于点P，连接PA，此时PA+PC的值最小，最小值为线段BC的长＝＝4，
此时P（，）．
（4）如图2中，存在．
观察图象可知，满足条件的点N的纵坐标为4或﹣4，
对于抛物线y＝﹣x2+3x+4，当y＝4时，x2﹣3x＝0，解得x＝0或3，
∴N1（3，4）．
当y＝﹣4时，x2﹣3x﹣8＝0，解得x＝，
∴N2（，﹣4），N3（，﹣4），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（3，4）或（，﹣4）或（，﹣4）．