第1章 二次函数单元达标检测卷（含解析）-2021-2022浙教版九年级数学上册

第1章 二次函数单元达标检测卷-2021-2022浙教版九年级数学上册
一、选择题
1.已知抛物线 y=-x2+4x+c 经过点 (4,3) ，那么下列各点中，该抛物线必经过的点是（?? ）
A.?(0,2)??????????????????????????????B.?(0,3)???????????????????????????????C.?(0,4)???????????????????????????D.?(0,5)
2.将二次函数 y=(x-1)2 的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是（??? ）
A.?y=(x-2)2+2??????????????B.?y=(x-2)2-2?????????????C.?y=x2+2??????????D.?y=x2-2
3.关于二次函数 y=2(x-4)2+6 的最大值或最小值，下列说法正确的是（?? ）
A.?有最大值4?????????????????B.?有最小值4???????????????C.?有最大值6????????????????D.?有最小值6
4.已知抛物线 y=ax2+bx+c 上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
以下结论正确的是（??? ）
A.?抛物线 y=ax2+bx+c 的开口向下
B.?当 x<3 时，y随x增大而增大
C.?方程 ax2+bx+c=0 的根为0和2
D.?当 y>0 时，x的取值范围是 05.如图，已如抛物线 y=ax2+bx+c 开口向上，与 x 轴的一个交点为 (-1,0) ，对称轴为直线 x =1 .下列结论错误的是（?? ）
A.?abc>0????????????????B.?b2>4ac???????????????C.?4a+2b+c>0????????????D.?2a+b=0
6.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（?? ）
A.?①②??????????????????????????????B.?②③???????????????????????C.?①③④??????????????????D.?①②③
7.将二次函数 的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
A.?b＞8??????????????????????????B.?b＞﹣8???????????????C.?b≥8??????????????????????????????D.?b≥﹣8
8.如图所示，将一根长 2 m的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关系是（? ）
A.?正比例函数关系?????????B.?一次函数关系 ????????C.?二次函数关系????????D.?反比例函数关系
9.如图，抛物线 L1:y=ax2+bx+c(a≠0) 与 x 轴只有一个公共点A（1，0），与 y 轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线 L2 ，则图中两个阴影部分的面积和为（?? ）
A.?1?????????????????????????????B.?2????????????????????C.?3?????????????????????????D.?4
10.已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，有下列结论：① a>0 ；② b2-4ac ＞0；③ 4a+b=0 ；④不等式 ax2+（b-1）x+c ＜0的解集为1≤x＜3，正确的结论个数是（?? ）
A.?1??????????????????????????B.?2??????????????????????????C.?3????????????????????????????D.?4
二、填空题
11.抛物线y＝﹣2（x＋1）2﹣3的顶点坐标是________．
12.将抛物线 y=ax2+bx-1 向上平移3个单位长度后，经过点 (-2,5) ，则8a-4b-11的值是________．
13.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 y=60t-32t2 .在飞机着陆滑行中，则飞机着陆后滑行的时间是________s.
14.如图所示，二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与 x 轴交于点 (3,0) ，对称轴为直线 x=1 .则方程 cx2+bx+a=0 的两个根为________.
15.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始向B点以2cm/s的速度移动（不与点B重合）；动点Q从点B开始向点C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过________秒四边形APQC的面积最小.
16.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在折线M﹣P﹣N上移动，它们的坐标分别为M（﹣1，4）、P（3，4）、N（3，1）．若在抛物线移动过程中，点A横坐标的最小值为﹣3，则﹣1﹣b+c的最小值是________．
三、解答题
17.已知抛物线的顶点为(2，3)，且经过点(3，1)，求此抛物线对应的函数解析式。
18.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2-4ax+1 .
（1）若抛物线过点 A(-1,6) ，求二次函数的表达式；
（2）指出（1）中x为何值时y随x的增大而减小；
（3）若直线 y=m 与（1）中抛物线有两个公共点，求m的取值范围.
19.已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
20.某商家销售一款商品，该商品的进价为每件80元，现在的售价为每件145元，每天可销售40件商场规定每销售一件需支付给商场管理费5元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件若每件商品降价 x 元，每天的利润为 y 元，请完成以下问题的解答．
（1）用含 x 的式子表示：①每件商品的售价为________元；②每天的销售量为________件；
（2）求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出售价为多少时利润最大？最大利润是多少元？
21.二次函数y＝﹣x2+（a﹣1）x+a（a为常数）图象的顶点在y轴右侧.
（1）写出该二次函数图象的顶点横坐标（用含a的代数式表示）；
（2）该二次函数表达式可变形为y＝﹣（x﹣p）（x﹣a）的形式，求p的值；
（3）若点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，求a的范围.
22.农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同.以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）.
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝ 1100 y+2.在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
23.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC.
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；
（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使 S△BDP=32S△ABD ，请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
24.如图，抛物线 y=mx2+(m2+3)x-(6m+9) 与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知 B(3,0) .
（1）求m的值和直线 BC 对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若 S△PBC=S△ABC ，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若 ∠ACQ=45° ，求点Q的坐标.
答案
一、选择题
1.解：∵抛物线 y=-x2+4x+c 经过点 (4,3) ，
∴ 3=-16+16+c ，
∴ c=3 ，
∴物线的解析式为： y=-x2+4x+3 ，
∵ x=0 时， y=3 ，
∴抛物线必经过的点是 (0,3) ．
故答案为：B．
2.解：将二次函数y=(x-1)2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是y=(x-1+1)2+2，即y=x2+2．
故答案为：C．
3.解：∵在二次函数 y=2(x-4)2+6 中，a=2>0，顶点坐标为（4，6），
∴函数有最小值为6.
故答案为：D.
4.解：将 (-1,3),(0,0),(3,3) 代入抛物线的解析式得；
{a-b+c=3c=09a+3b+3=3 ，
解得： a=1,b=-2,c=0 ，
所以抛物线的解析式为： y=x2-2x=x(x-2)=(x-1)2-1 ，
A、 ∵a>0 ，抛物线开口向上，不符合题意，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线 x=1 ，在 1C、方程 ax2+bx+c=0 的根为0和2，符合题意，符合题意；
D、当 y>0 时，x的取值范围是 x<0 或 x>2 ，不符合题意，不符合题意；
故答案为：C．
5.解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 x =1 ，
∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）；
∴ b2-4ac>0, 即 b2>4ac, 故B不符合题意；
当x=2时， y=4a+2b+c<0 ，即 4a+2b+c<0 ，故C符合题意；
∵抛物线对称轴为直线 x=-b2a=1
∴ b=-2a ，即 2a+b=0 ，故D不符合题意，
故答案为：C.
6.解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ -409 ，
∴h＝ -409 （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ -409 （t﹣3）2+40，
解得t＝3± 322 ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ -409 （2﹣3）2+40＝ 3209 m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
7.解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为： y=(x-3)2-1 ，
则 {y=(x-3)2-1y=2x+b ，
(x-3)2-1=2x+b ，
x2-8x+8-b=0 ，
△=（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故答案为：D．
8.设矩形的一边长为xm，另一边长为（1-x）m，面积用y表示，
y=x(1-x)=-x2+x ，
故答案为：C．
9.解：设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M，连接AB，OM.
由题意可知，AM=OB，
∵ A(1,0),B(0,2)
∴OA=1，OB=AM=2，
∵抛物线是轴对称图形，
∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM的面积，
∵ AM//OB ， AM=OB ，
∴四边形ABOM为平行四边形，
∴ S四边形ABOM=OB?OA=2×1=2 .
故答案为：B.
10.解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴ b2-4ac ＜0，故②错误
∵抛物线的对称轴为x=1
∴ -b2a=1 ，即b=-2a
∴4a+b=2a≠0，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1，1），且过点（3，3）
则 {b=-2aa+b+c=19a+3b+c=3 ，解得 {a=12b=-1c=32
∴ ax2+(b-1)x+c ＜0可化为 12x2-2x+32 ＜0，解得：1＜x＜3
故④错误.
故答案为：A.
二、填空题
11.解：抛物线y＝﹣2（x＋1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故答案为：（﹣1，﹣3）．
12.解：将抛物线 y=ax2+bx-1 向上平移3个单位长度后，
表达式为： y=ax2+bx+2 ，
∵经过点 (-2,5) ，代入，
得： 4a-2b=3 ，
则 8a-4b-11 = 2(4a-2b)-11 =2×3-11=-5.
故答案为：-5.
13.解：∵ y=60t-32t2=-32(t-20)2+600 ，
∴当t=20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行20s才能停下来，
故答案为：20.
14.∵二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象与x轴交于点 (3,0) ，对称轴为直线 x=1 ，
∴该函数与x轴的另一个交点为 (-1,0) ，
∴当 y=0 时， 0=ax2+bx+c ，
可得： x1=-1 ， x2=3 ，
当 ax2+bx+c=0 ， x≠0 时，可得 a+b(1x)+c(1x)2=0 ，
设 1x=t ，可得 ct2+bt+a=0 ，
∴ t1=-1 ， t2=13 ，
由上可得，方程 cx2+bx+c=0 的两个根为 x1=-1 ， x2=13 ；
故答案为： x1=-1 ， x2=13 .
15.解：设运动时间为t秒时（0≤t≤6），四边形APQC的面积为S，
∵PB＝AB﹣2t＝12﹣2t，BQ＝4t，
∴S△BPQ＝ 12 PB?BQ＝ 12 （12﹣2t）?4t＝24t﹣4t2 ，
∴S＝S△ABC﹣S△BPQ＝ 12 AB?BC﹣（24t﹣4t2）＝4t2﹣24t+144，
∵S＝4t2﹣24t+144＝4（t﹣3）2+108，
∴经过3秒四边形APQC的面积最小，
故答案为：3.
16.解：由题意得：∵y＝﹣x2+bx+c，
∴ a=-1 ，
当顶点在M处，则抛物线的表达式为：y＝ - （x+1）2+4，
当x＝﹣1时，y=﹣1﹣b+c =4；
当顶点在P处，则抛物线的表达式为：y＝ - （x - 3）2+4，
当x＝﹣1时，y=﹣1﹣b+c = -12 ；
顶点在N处时，则抛物线的表达式为：y＝ - （x - 3）2+1，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣b+c= - 15；
∴则﹣1﹣b+c的最小值是 - 15；
故答案为：﹣15．
三、解答题
17. 解：设抛物线对应的函数解析式是y=a(x-2)2+3，
把(3，1)代入得ax(3-2)2+3=1，解得a=-2，
所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+3
18. （1）解：把点A（-1，6），代入 y=ax2-4ax+1 得： 6=a×(-1)2-4a×(-1)+1
解得 a=1
∴二次函数的表达式 y=x2-4x+1
（2）解：二次函数 y=x2-4x+1 对称轴 x=2
∵a=1>0，
∴二次函数在对称轴左边y随x的增大而减小
∴当 x≤2 是y随x的增大而减小；
（3）解：∵直线 y=m 与 y=x2-4x+1 有两个公共点
∴一元二次方程 m=x2-4x+1 有两不等根
即一元二次方程 x2-4x+1-m=0 有两不等根
∴ Δ>0
∴ 42-4×1×(1-m)>0
解得 m>-3
19. （1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ m-32×(-2) ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ {-m-32×(-2)>0,4×(-2)×(-8)-(m-3)24×(-2)=0, ，
解得m＝11, 即m的值是11．
20. （1）（145?x）；（40＋2x）
（2）根据题意可得：y＝（145?x?80?5）（2x＋40），＝?2x2＋80x＋2400，＝?2（x?20）2＋3200，
∵a＝?2＜0，
∴函数有最大值，
∴当x＝20时，y有最大值为3200元，此时售价为145?20＝125元，
∴售价为125元时利润最大，最大利润是3200元．
（1）由题意可知：①每件商品的售价为：（145?x）元；②每天的销售量为：（40＋2x）件；
故答案为：①（145?x），②（40＋2x）；
21. （1）解：∵二次函数解析式y＝﹣x2+（a﹣1）x+a，
∴顶点横坐标为 -a-12×(-1) = a-12
（2）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a= -(x+1)(x-a) =﹣（x﹣p）（x﹣a），
∴p=-1
（3）解：∵y＝﹣x2+（a﹣1）x+a= -(x+1)(x-a) ，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（a，0），
∵-1＜0，
∴该二次函数的图象开口向下，
∵图象的顶点在y轴右侧，
∴ a-12 ＞0，
∴ a>1 ，
∵点A（m，n）在该二次函数图象上，且n＞0，
∴-1＜m＜a，
∵过点（m+3，0）作y轴的平行线，与二次函数图象的交点在x轴下方，
∴ a-(-1) ＜3，
解得： a<2 ，
∴a的范围为1＜ a ＜2
22. （1）解：设直线AB的函数关系式为 y=kx+b ，
将 A(120,300) ， B(240,100) 代入可得： {300=120k+b100=240k+b ，
解得： {k=-53b=500 ，
∴直线AB的函数关系式 y=-53x+500 .
故答案为： y=-53x+500
（2）解：将 y=-53x+500 代入 w=1100y+2 中，
可得： w=1100(-53x+500)+2 ，
化简得： w=-160x+7 ，
设总销售额为 z ，则 z=wx=(-160x+7)x
z=-160x2+7x
=-160(x2-420x)
=-160(x2-420x+2102)+160×2102
=-160(x-210)2+735
∵ a=-160<0 ，
∴ z 有最大值，当 x=210 时， z 取到最大值，最大值为735.
故答案为：210.
23. （1）解： ∵ 抛物线的对称轴为 x=-1 ，
∴-b2a=-1 ，
∴b=2a ，
∵ 点 C 的坐标为 (0,2) ，
∴c=2 ，
∴ 抛物线的解析式为 y=ax2+2ax+2 ，
∵ 点 A(-3,0) 在抛物线上，
∴9a-6a+2=0 ，
∴a=-23 ，
∴b=2a=-43 ，
∴ 抛物线的解析式为 y=-23x2-43x+2 ；
（2）解：Ⅰ、当点 D 在 x 轴上方时，如图1，
记 BD 与 AC 的交点为点 E ，
∵∠ABD=∠BAC ，
∴AE=BE ，
∵ 直线 x=-1 垂直平分 AB ，
∴ 点 E 在直线 x=-1 上，
∵ 点 A(-3,0) ， C(0,2) ，
∴ 直线 AC 的解析式为 y=23x+2 ，
当 x=-1 时， y=43 ，
∴ 点 E(-1,43) ，
∵ 点 A(-3,0) 点 B 关于 x=-1 对称，
∴B(1,0) ，
∴ 直线 BD 的解析式为 y=-23x+23 ，
即直线 l 的解析式为 y=-23x+23 ；
Ⅱ、当点 D 在 x 轴下方时，如图2，
∵∠ABD=∠BAC ，
∴BD//AC ，
由Ⅰ知，直线 AC 的解析式为 y=23x+2 ，
∴ 直线 BD 的解析式为 y=23x-23 ，
即直线 l 的解析式为 y=23x-23 ；
综上，直线 l 的解析式为 y=-23x+23 或 y=23x-23 ；
（3）解：由（2）知，直线 BD 的解析式为 y=23x-23 ①，
∵ 抛物线的解析式为 y=-23x2-43x+2 ②，
∴ {x=1y=0 或 {x=-4y=-103 ，
∴D(-4,-103) ，
∴SΔABD=12AB?|yD|=12×4×103=203 ，
∵SΔBDP=32SΔABD ，
∴SΔBDP=32×203=10 ，
∵ 点 P 在 y 轴左侧的抛物线上，
∴ 设 P(m ， -23m2-43m+2)(m<0) ，
过 P 作 y 轴的平行线交直线 BD 于 F ，
∴F(m,23m-23) ，
∴PF=|-23m2-43m+2-(23m-23)|=|23m2+2m-83| ，
∴SΔBDP=12PF?(xB-xD)=12×|23m2+2m-83|×5=10 ，
∴m=-5 或 m=2 （舍）或 m=-1 或 m=-2 ，
∴P(-5,-8) 或 (-1,83) 或 (-2,2) .
24 （1）解：将 B(3,0) 代入 y=mx2+(m2+3)x-(6m+9) ，
化简得 m2+m=0 ，则 m=0 （舍）或 m=-1 ，
∴ m=-1 ，
得： y=-x2+4x-3 ，则 C(0,-3) .
设直线 BC 对应的函数表达式为 y=kx+b ，
将 B(3,0) 、 C(0,-3) 代入可得 {0=3k+b-3=b ，解得 k=1 ，
则直线 BC 对应的函数表达式为 y=x-3
（2）解：如图，过点A作 AP1 ∥BC，设直线 AP1 与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线 P3P2 ，
由（1）得直线BC的解析式为 y=x-3 ， A(1,0) ，
∴直线AG的表达式为 y=x-1 ，
联立 {y=x-1y=-x2+4x-3 ，
解得： {x=1y=0 （舍），或 {x=2y=1 ，
∴ P1(2,1) ，
由直线AG的表达式可得 G(-1,0) ，
∴ GC=2 ， CH=2 ，
∴直线 P3P2 的表达式为 y=x-5 ，
联立 {y=x-5y=-x2+4x-3 ，
解得： {x1=3+172y1=-7+17 ， {x2=3-172y2=-7-17 ，
∴ P3(3+172,-7+172) ， P2(3-172,-7-172) ，
∴ P(2,1) ， P(3+172,-7+172) ， P(3-172,-7-172)
（3）解：如图，取点 Q ，连接 CQ ，过点 A 作 AD⊥CQ 于点 D ，
过点 D 作 DF⊥x 轴于点 F ，过点 C 作 CE⊥DF 于点 E ，
∵ ∠ACQ=45° ，
∴AD=CD，
又∵ ∠ADC=90° ，
∴ ∠ADF+∠CDE=90° ，
∵ ∠CDE+∠DCE=90° ，
∴ ∠DCE=∠ADF ，
又∵ ∠E=∠AFD=90° ，
∴ ΔCDE≌ΔDAF ，则 AF=DE ， CE=DF .
设 DE=AF=a ，
∵ OA=1 ， OF=CE ，
∴ CE=DF=a+1 .
由 OC=3 ，则 DF=3-a ，即 a+1=3-a ，解之得， a=1 .
所以 D(2,-2) ，又 C(0,-3) ，
可得直线 CD 对应的表达式为 y=12x-3 ，
设 Q(m,12m-3) ，代入 y=-x2+4x-3 ，
得 12m-3=-m2+4m-3 ， 12m=-m2+4m ， m2-72m=0 ，
又 m≠0 ，则 m=72 .所以 Q(72,-54)