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1.3证明
一、选择题
1.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(
)
A.∠1＋∠2＝∠4－∠3
B.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C.∠1－∠2＝∠4－∠3
D.∠1－∠2＝∠3－∠4
2.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(
)
A.110°
B.115°
C.120°
D.125°
3.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(
)
A.∠2＝∠4
B.∠4＝∠5
C.∠1＝∠3
D.∠1＋∠4＝180°
4.如图，若a∥b，则∠1的度数为(
)
A.90°
B.80°
C.70°
D.60°
5.如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是(
)
A.∠1＝∠2
B.∠3＝∠4
C.∠D＝∠DCE
D.∠D＋∠ACD＝180°
6.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”.
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是(
)
A.901班
B.902班
C.903班
D.904班
7.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上放置一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于(A)
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
8.在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%.对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率.
所有合理推断的序号是(
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
二、填空题
9.如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，∠C＝90°，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′C′，B′C′与AB交于点P，则∠C′PB＝
.
10.甲乙丙三个人在一起聊天，每周从星期一到星期日每人连续两天说谎(包括星期日和星期一)，其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎.已知周一时，乙说：“我昨天说谎了.”周二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了.”则三个人都没说谎的是星期
.
11.甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局.那么，整个比赛的第10局的输方一定是
.
12.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中.
(1)某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是
.
(2)若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有
个球.
13.黑板上写有1，，，…共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是
.
三、解答题
14.如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由.
解：已知：____________，
求证：____________.(只须填写序号)
15.如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求△BDE各内角的度数.
16.如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB.
17.如图，已知∠ABC＋∠ECB＝180°，∠P＝∠Q.求证：∠1＝∠2.
18.如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围.
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1.3证明
一、选择题
1.如图，∠1，∠2，∠3，∠4的数量关系为(
)
A.∠1＋∠2＝∠4－∠3
B.∠1＋∠2＝∠3＋∠4
C.∠1－∠2＝∠4－∠3
D.∠1－∠2＝∠3－∠4
【答案】A
【解析】∵∠AEF是△BED的外角，∴∠AEF＝∠2＋∠3.
∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，
∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，
∴∠1＋∠2＝∠4－∠3.
2.如图，直线AB∥EF，C是直线AB上一点，D是直线AB外一点.若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是(
)
A.110°
B.115°
C.120°
D.125°
【答案】C
【解析】延长FE交DC于点N.∵直线AB∥EF，∴∠DNF＝∠BCD＝95°.
又∵∠CDE＝25°，∴∠DEN＝180°－∠DNF－∠CDE＝60°，
∴∠DEF＝180°－∠DEN＝120°.
3.如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b的是(
)
A.∠2＝∠4
B.∠4＝∠5
C.∠1＝∠3
D.∠1＋∠4＝180°
【答案】C
4.如图，若a∥b，则∠1的度数为(
)
A.90°
B.80°
C.70°
D.60°
【答案】C
5.如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是(
)
A.∠1＝∠2
B.∠3＝∠4
C.∠D＝∠DCE
D.∠D＋∠ACD＝180°
【答案】A
6.某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：
甲说：“902班得冠军，904班得第三”；
乙说：“901班得第四，903班得亚军”；
丙说：“903班得第三，904班得冠军”.
赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是(
)
A.901班
B.902班
C.903班
D.904班
【答案】B
【解析】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾.所以甲说的“902班得冠军”是正确的.
7.如图，一束光线与水平面成60°的角度照射地面，现在地面AB上放置一块平面镜CD，使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜CD与地面AB所成角∠DCB的度数等于(A)
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
【答案】A
【解析】如解图.∵入射角等于反射角，∴∠1＝∠2.
∵光线经过平面镜CD反射后成水平光线，即与地面AB平行，∴∠2＝∠4.
又∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4.
∵光线与水平面成60°的角度照射地面，∴∠6＝60°.
∵∠3＋∠4＋∠5＝180°，∠5＋∠6＝180°，∴∠3＋∠4＝∠6.
又∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠6＝30°，即∠DCB＝30°.
8.在一次生活垃圾分类知识竞赛中，某校七、八年级各有100名学生参加，已知七年级男生成绩的优秀率为40%，女生成绩的优秀率为60%，八年级男生成绩的优秀率为50%，女生成绩的优秀率为70%.对于此次竞赛的成绩，下面有三个推断：
①七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
②七年级学生成绩的优秀率一定小于八年级学生成绩的优秀率；
③七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率.
所有合理推断的序号是(
)
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
【答案】解：∵七年级男生成绩的优秀率为40%，八年级男生成绩的优秀率为50%，
∴七年级男生成绩的优秀率小于八年级男生成绩的优秀率；
故①正确，
∵七年级学生成绩的优秀率在40%与60%之间，八年级学生成绩的优秀率在在50%与70%之间，
∴不能确定哪个年级的优秀率大，
故②错误；
∵七、八年级所有男生成绩的优秀率在40%与50%之间，七、八年级所有女生成绩的优秀率在60%与70%之间.
∴七、八年级所有男生成绩的优秀率一定小于七、八年级所有女生成绩的优秀率.
故③正确.
故选：B.
二、填空题
9.如图，在△ABC中，∠CAB＝45°，∠C＝90°，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′C′，B′C′与AB交于点P，则∠C′PB＝
.
【答案】120°
10.甲乙丙三个人在一起聊天，每周从星期一到星期日每人连续两天说谎(包括星期日和星期一)，其余五天必说真话，且任意两人不会在同一天说谎.已知周一时，乙说：“我昨天说谎了.”周二时，丙说：“太巧了，我昨天也说谎了.”则三个人都没说谎的是星期
.
【答案】解：若乙说的是假话，则乙周日说的是真话，则甲和丙都在周日说真话，即周二丙说话是谎话，则丙在周一说的是真话，前后矛盾，则乙说的是假话不成立；
若乙说的是真话，则乙周一说的是真话，则甲和丙都在周一说真话，即周二丙说话是谎话，则丙在周一说的是真话，前后不矛盾，所以乙说的是真话；
故答案为：一.
11.甲，乙，丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局.那么，整个比赛的第10局的输方一定是
.
【答案】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，
又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，
三个人之间总共打了(8+4+13)＝25局，
考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次.
所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲.
12.一个袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半，甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒；如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中.
(1)某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是
.
(2)若乙盒中最终有5个红球，则袋中原来最少有
个球.
【答案】解：(1)∵某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，
∴放入了乙盒，
∴先放入甲盒的球的颜色是红色.
(2)由题意，可知取两个球共有四种情况：①红+红，则乙盒中红球数加1，②黑+黑，则丙盒中黑球数加1，③红+黑(红球放入甲盒)，则乙盒中黑球数加1，④黑+红(黑球放入甲盒)，则丙盒中红球数加1.
那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，
∴乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球，
∵红球数＝黑球数，
∴袋中原来最少有2×10＝20个球.
故答案为：红色；20.
13.黑板上写有1，，，…共有100个数字，每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+ab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是
.
【答案】解：∵a+b+ab+1＝(a+1)(b+1)，
∴每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变，
设经过99次操作后，黑板上剩下的数为x，则
x+1＝(1+1)×()×(+1)×(+1)×…×(+1)×(1+)，
化简得：x+1＝101，
解得：x＝100，
∴经过99次操作后，黑板上剩下的数是100.
故答案为：100.
三、解答题
14.如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E.请从①DG∥AC，②AF平分∠BAC，③∠DAE=∠DEA中任选两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题，并说明理由.
解：已知：____________，
求证：____________.(只须填写序号)
【答案】答案不唯一①②③∵DG∥AC，∴∠DEA=∠EAC，
∵AF平分∠BAC，∴∠DAE=∠EAC，
∴∠DAE=∠DEA.
15.如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC＝60°，求△BDE各内角的度数.
【答案】∵∠A＝45°，∠BDC＝60°，
∴∠ABD＝∠BDC－∠A＝15°.
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠EBD＝15°，
∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝15°，
∴∠BED＝180°－∠EBD－∠EDB＝150°.
16.如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB.
【答案】证明：∵BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠EDC＝∠ADC，∠2＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，∴∠EDC＝∠2，
∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠EDC，∴DC∥AB.
17.如图，已知∠ABC＋∠ECB＝180°，∠P＝∠Q.求证：∠1＝∠2.
【答案】证明：∵∠ABC＋∠ECB＝180°，
∴AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCD，
∵∠P＝∠Q，∴PB∥CQ，
∴∠PBC＝∠BCQ，
∵∠1＝∠ABC－∠PBC，∠2＝∠BCD－∠BCQ，
∴∠1＝∠2.
18.如图，∠EOF＝90°，点A，B分别在射线OE，OF上移动，连结AB并延长至点D，∠DBO的平分线与∠OAB的平分线交于点C，试问：∠ACB的度数是否随点A，B的移动而发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而发生变化，请给出变化的范围.
【答案】【解析】∠ACB的度数不随点A，B的移动发生变化.理由如下：
∵BC，AC分别平分∠DBO，∠BAO，∴∠DBC＝∠DBO，∠BAC＝∠BAO.
∵∠DBO＋∠OBA＝180°，∠OBA＋∠BAO＋∠AOB＝180°，
∴∠DBO＝∠BAO＋∠AOB，
∴∠DBO－∠BAO＝∠AOB＝90°.
∵∠DBC＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠ACB＋∠BAC＝180°，
∴∠DBC＝∠BAC＋∠ACB，∴∠DBO＝∠BAO＋∠ACB，
∴∠ACB＝(∠DBO－∠BAO)＝∠AOB＝45°。
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