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三角形的初步认识单元测试
一、选择题
1.甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场)，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
2.下列命题中，真命题是(
)
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C.三角形三个内角中，至少有2个锐角
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
3.下列命题中，属于假命题的是(
)
A.定义都是真命题
B.单项式－的系数是－4
C.若|x－1|＋(y－3)2＝0，则x＝1，y＝3
D.线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等
4.下列命题中，正确的是(
)
A.三角形的一个外角大于任何一个内角
B.三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
C.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D.三角形的高线、中线、角平分线都在三角形内部
5.如图，两根竹竿AB，DB靠在墙CE上，测得∠CAB＝40°，∠CDB＝30°，则两竹竿的夹角∠ABD的度数为(
)
A.70°
B.60°
C.50°
D.10°
6.如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则与∠ABC相邻的外角的度数是(
)
A.35°
B.45°
C.80°
D.100°
7.已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
8.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(
)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
二、填空题
9.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=3，AC＝4，DF＝1.5，则DE=_______.
10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________.
11.已知△ABC的面积为6，AD是△ABC的中线，则△ABD的面积为__
__.
12.如图，△ABC的两条高线AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是
.
13.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，则AD长的取值范围是
.
14.如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G在CE的延长线上，CG＝AB，连结AF，AG.求证：AG⊥AF.
15.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
16.如图所示，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)求证：∠ABD＝∠DCA；
(2)在(1)的证明过程中需要作辅助线，它的意图是什么？
17.证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题.
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高.
求证：AD＝EH.
18.已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
19.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.
题设：___________；结论：_______.(均填写序号)
证明：
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三角形的初步认识单元测试
一、选择题
1.甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛(每两个人都要比赛一场)，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是(
)
A.3
B.2
C.1
D.0
【答案】D.
【解析】解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场.
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场.
故选：D.
2.下列命题中，真命题是(
)
A.垂直于同一直线的两条直线平行
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
C.三角形三个内角中，至少有2个锐角
D.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
【答案】C
【解析】A.同一平面内垂直于同一直线的两条直线平行，故错误，为假命题；
B.有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等，故错误，为假命题；
C.三角形的三个角中，至少有两个锐角，故正确，为真命题；
D.有两边和其中一个角对应相等的两个三角形全等，错误，为假命题，
故选C.
3.下列命题中，属于假命题的是(
)
A.定义都是真命题
B.单项式－的系数是－4
C.若|x－1|＋(y－3)2＝0，则x＝1，y＝3
D.线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等
【答案】B
【解析】A.定义都是真命题,是真命题.
B.单项式－的系数是是假命题.
C.若，则x=1，y=3,是真命题.
D.线段垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等,是真命题.
4.下列命题中，正确的是(
)
A.三角形的一个外角大于任何一个内角
B.三角形的一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形
C.两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
D.三角形的高线、中线、角平分线都在三角形内部
【答案】B
5.如图，两根竹竿AB，DB靠在墙CE上，测得∠CAB＝40°，∠CDB＝30°，则两竹竿的夹角∠ABD的度数为(
)
A.70°
B.60°
C.50°
D.10°
【答案】D
6.如图，在△ABC中，∠A＝35°，∠C＝45°，则与∠ABC相邻的外角的度数是(
)
A.35°
B.45°
C.80°
D.100°
【答案】C
【解析】该外角＝∠A＋∠C＝35°＋45°＝80°.故选C.
7.已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
【答案】C.
【解析】解：设第三边长为x，
则8﹣2＜x＜2+8，
6＜x＜10，
故选：C.
8.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是(
)
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
【答案】C.
【解析】解：如图，
∵∠ACD＝90°、∠F＝45°，
∴∠CGF＝∠DGB＝45°，
则∠α＝∠D+∠DGB＝30°+45°＝75°，
故选：C.
二、填空题
9.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AB=3，AC＝4，DF＝1.5，则DE=_______.
【答案】2
【解析】∵△ABC中，AD为中线，∴BD=DC,∴
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴
∴
∴DE=2.
故答案为2.
10.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=50°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，则∠BCD的度数是________.
【答案】10
【解析】先根据三角形的内角和求得∠ACB的度数，再根据垂直平分线的性质可得AD=CD，则可得∠A=∠ACD=40°，从而求得结果.
∵∠B=90°，∠A=40°，∴∠ACB=50°，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=40°，
∴∠BCD＝∠ACB-∠ACD=10°.
11.已知△ABC的面积为6，AD是△ABC的中线，则△ABD的面积为__
__.
【答案】3
【解析】∵△ABC的面积为6，AD是△ABC的中线，
∴△ABD的面积＝×6＝3.
12.如图，△ABC的两条高线AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是
.
【答案】AC＝BC(答案不唯一)
13.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，则AD长的取值范围是
.
【答案】1
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
在△EBD和△ACD中，
∵
∴△EBD≌△ACD(SAS)，∴EB＝AC＝3.
∵AB－EB∴5－3<2AD<5＋3，∴1三、解答题
14.如图，已知BD，CE是△ABC的高线，点F在BD上，BF＝AC，点G在CE的延长线上，CG＝AB，连结AF，AG.求证：AG⊥AF.
【答案】【解】设BD与CG相交于点H.
∵BD，CE是△ABC的高线，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠EHB＝∠DHC，∴∠EBH＝∠DCH.
又∵BF＝CA，AB＝GC，∴△ABF≌△GCA(SAS)，∴∠BAF＝∠G.
∵∠AEG＝90°，∴∠G＋∠GAE＝90°，
∴∠BAF＋∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF.
15.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到的位置时，求证：DE=AD﹣BE；
(3)当直线MN绕点C旋转到的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析；(3)DE=BE﹣AD.
【解析】(1)∵∠ACB=90°
∴∠ACD+∠BCE=90°
又∵AD⊥MN，BE⊥MN
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠BCE+∠CBE=90°
∴∠ACD=∠CBE
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC+CE=BE+AD；
(2)在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=EB
∴DE=CE﹣DC=AD﹣EB；
(3)DE=BE﹣AD.
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB
∴AD=CE，DC=BE
∴DE=DC﹣CE=BE﹣AD.
16.如图所示，已知AB＝DC，DB＝AC.
(1)求证：∠ABD＝∠DCA；
(2)在(1)的证明过程中需要作辅助线，它的意图是什么？
【答案】(1)证明见解析；(2)作辅助线的意图是通过作两个三角形的公共边构造全等三角形.
【解析】(1)如图所示，连结AD，
在△BAD和△CDA中，
∵，
∴△BAD≌△CDA(SSS)，
∴∠ABD＝∠DCA(全等三角形的对应角相等)；
(2)作辅助线的意图是通过作两个三角形的公共边构造全等三角形.
17.证明命题“全等三角形对应边上的高相等”是真命题.
解：已知：如图，△ABC≌△EFG，AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高.
求证：AD＝EH.
【答案】见解析
【解析】∵△ABC≌△EFG，∴AB＝EF，∠B＝∠F，
∵AD，EH分别是△ABC和△EFG的对应边BC，FG上的高，
∴∠ADB＝∠EHF＝90°，
在△ABD和△EFH中，，
∴△ABD≌△EFH(AAS)，
∴AD＝EH.
18.已知：如图，AB∥DE，∠A＝∠D，BE＝CF.求证：△ABC≌△DEF.
【答案】证明：∵BE＝CF，∴BC＝EF，
∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，
∵∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF.
19.在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的△ABD和△ACE两个三角形，并写出四个条件：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④∠B=∠C.请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明.
题设：___________；结论：_______.(均填写序号)
证明：
【答案】①②③，④.
【解析】答案不唯一.如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.
求证：∠B=∠C.
证明：∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等)；
故答案为①②③，④.
∵∠1=∠2，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴∠B=∠C(全等三角形对应角相等).
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