2021-2022学年浙教版数学八年级上册第1章 三角形的初步认识单元测试（word版含解析）

第1章
三角形的初步认识
一、选择题（每小题3分，共30分）
1三角形的内角和等于（　　）
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
2下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8
B．5，6，10
C．5，5，11
D．5，6，11
3已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
4通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（　　）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
6若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．8
7如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm
B．19cm
C．22cm
D．25cm
8如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC
9如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8
个
10如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x﹣1，y+1，若这两个三角形全等，则x+y的值是
　　．
12如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，BF与CE交点D，则图中有
　　对全等三角形．
13如图，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝5cm，△ABC的周长为30cm，则△ABD的周长是
　　．
14如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是　
　．
15如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，若S△ABC＝6，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S1﹣S2的值是
　　．
16如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　　度．
三、解答题（共66分）
17将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的条件和结论．
（1）三条边对应相等的两个三角形全等；
（2）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
18如图，求作一个直角三角形ABC，使AB＝a，BC＝α，∠ABC＝90°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）
19已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
20如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为
　　；
（2）若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
21在数学课上，林老师在黑板上画出如图的图形（其中点B，F，C，E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
条件：　　；
结论：　　．（均填写序号）
22如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
23如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E．求证：BD＝2CE．
24（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF，请加以证明；
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，其他条件不变，那么又有相等关系AM+　　＝2AF，请加以证明．
第1章
三角形的初步认识
一、选择题（每小题3分，共30分）
1三角形的内角和等于（　　）
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
【解答】解：因为三角形的内角和等于180度，
故选：B．
2下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8
B．5，6，10
C．5，5，11
D．5，6，11
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系即可求
【解答】解：
A选项，3+4＝7＜8，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
B选项，5+6＝11＞10，10﹣5＜6，两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形
C选项，5+5＝10＜11，两边之和小于第三边，故不能组成三角形
D选项，5+6＝11，两边之和不大于第三边，故不能组成三角形
故选：B．
3已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若∠1＝25°，则∠2的度数为（　　）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
【考点】平行线的性质；等腰直角三角形．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形．
【答案】C
【分析】先求出∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°，再根据平行线的性质可知∠2＝∠AED＝70°．
【解答】解：设AB与直线n交于点E，
则∠AED＝∠1+∠B＝25°+45°＝70°．
又直线m∥n，
∴∠2＝∠AED＝70°．
故选：C．
4通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题．
【答案】A
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
【解答】解：作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点．
由此可知：选项A符合条件，
故选：A．
5将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（　　）
A．95°
B．100°
C．105°
D．110°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
6若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　）
A．1
B．2
C．3
D．8
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故选：C．
7如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．16cm
B．19cm
C．22cm
D．25cm
【考点】线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】三角形．
【答案】B
【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，AE+EC＝6cm，
∵AB+AD+BD＝13cm，
∴AB+BD+DC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BD+DC+AC＝13+6＝19cm，
故选：B．
8如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．∠A＝∠D
B．AC＝DF
C．AB＝ED
D．BF＝EC
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等．
【答案】A
【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．
【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；
选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．
故选：A．
9如图，在5×5格的正方形网格中，与△ABC有一条公共边且全等（不与△ABC重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（　　）
A．5个
B．6个
C．7个
D．8
个
【考点】全等三角形的判定．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】可以以AB和BC为公共边分别画出3个，AC不可以，故可求出结果．
【解答】解：以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等．
以AB为公共边可画出三个三角形△ABG，△ABM，△ABH和原三角形全等．
以AC为公共边不可以画出一个三角形和原三角形全等，
所以可画出6个．
故选：B．
10如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝40°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，
∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；
作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图2所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴MO平分∠BMC，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与OA＞OC矛盾，
∴③错误；
正确的个数有3个；
故选：B．
二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
11一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，2x﹣1，y+1，若这两个三角形全等，则x+y的值是
　　．
【考点】三角形三边关系；全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】11.5或13．
【分析】分长7的边与长为2x﹣1的边对应、分长7的边与长为y＝1的边对应两种情况，根据全等三角形的性质列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可．
【解答】解：当一个三角形长7的边与另一个三角形长为2x﹣1的边对应时，2x﹣1＝7，y+1＝10，
解得：x＝4，y＝9，
则x+y＝4+9＝13，
当一个三角形长7的边与另一个三角形长为y+1的边对应时，2x﹣1＝10，y+1＝7，
解得：x＝5.5，y＝6，
则x+y＝5.5+6＝11.5，
综上所述：x+y的值为11.5或13，
故答案为：11.5或13．
12如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，BF与CE交点D，则图中有
　　对全等三角形．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】4．
【分析】先利用“SAS”可证明△ABD≌△ACD，则DB＝DC，∠B＝∠C，再利用“ASA”可证明△DBE≌△DCF，根据全等三角形的性质得到BE＝CF，DE＝DF，所以AE＝AF，然后利用“SSS”可判断△ADE≌△ADF，利用“SAS”可判断△ABF≌△ACE．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
∴DB＝DC，∠B＝∠C，
在△DBE和△DCF中，
，
∴△DBE≌△DCF（ASA）；
∴BE＝CF，DE＝DF，
∴AB﹣BE＝AC﹣CF，
即AE＝AF，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS）；
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（ASA）．
∴图中共有4对全等三角形
故答案为4．
13如图，△ABC中，DE是AC的中垂线，AE＝5cm，△ABC的周长为30cm，则△ABD的周长是
　　．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】20cm．
【分析】关键线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝5cm，再利用△ABC的周长为30cm和等线段代换得到AB+BD+AD＝20cm．
【解答】解：∵DE是AC的中垂线，
∴DA＝DC，AE＝CE＝5cm，
∵△ABC的周长为30cm，
∴AB+BC+AC＝30cm，
即AB+BD+CD+10＝30，
∴AB+BD+AD＝20（cm），
即△ABD的周长为20cm．
故答案为20cm．
14如图1，已知AB＝AC，D为∠BAC的角平分线上面一点，连接BD，CD；如图2，已知AB＝AC，D、E为∠BAC的角平分线上面两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB＝AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上面三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第n个图形中有全等三角形的对数是　
　．
【考点】全等三角形的判定．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，可求得有n（n+1）对全等三角形．
【解答】解：
解：当有1点D时，有1对全等三角形；
当有2点D、E时，有3对全等三角形；
当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；
当有4点时，有10个全等三角形；
…
当有n个点时，图中有n（n+1）对全等三角形．
故答案为：n（n+1）．
15如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，若S△ABC＝6，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，则S1﹣S2的值是
　　．
【考点】三角形的面积．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】1．
【分析】根据S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD即可求出答案，所以要求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可，根据AD＝2BD，BE＝CE，S△ABC＝6，即可求出两者的面积．
【解答】解：∵AD＝2BD，BE＝CE，
∴S△BCD＝S△ABC＝2，S△ABE＝S△ABC＝3，
∴S1﹣S2＝S△ABE﹣S△BCD＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
16如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　　度．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，根据全等三角形的性质可得OB＝OC，根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣54°）＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC﹣∠ABO＝63°﹣27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴△AOB≌△AOC（SAS），
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°﹣∠COE﹣∠OCB＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故答案为：108．
三、解答题（共66分）
17将下列命题改写成“如果…那么…”的形式，并指出命题的条件和结论．
（1）三条边对应相等的两个三角形全等；
（2）三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【考点】命题与定理．
【专题】三角形；图形的全等；推理能力．
【答案】（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；条件：两个三角形的三条边对应相等，结论：这两个三角形全等；
（2）如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角等于和它不相邻的两个内角的和；条件：一个角是三角形的一个外角，结论：这个角等于和它不相邻的两个内角的和．
【分析】根据任何一个命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，进而得出答案即可．
【解答】解：（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等；条件：两个三角形的三条边对应相等，结论：这两个三角形全等；
（2）如果一个角是三角形的一个外角，那么这个角等于和它不相邻的两个内角的和；条件：一个角是三角形的一个外角，结论：这个角等于和它不相邻的两个内角的和．
18如图，求作一个直角三角形ABC，使AB＝a，BC＝α，∠ABC＝90°．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）
【考点】作图—复杂作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】作图见解析部分．
【分析】作∠MBN＝90°，在BN上截取BA＝a，在BM上截取BC＝a，连接AC即可．
【解答】解：如图，△ABC即为所求．
19已知如图，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】见试题解答内容
【分析】先结合图形猜想BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．要证BF⊥AC，只要证得DE∥BF即可，由平行线的判定可知只需证∠2+∠3＝180°，根据平行线的性质结合已知条件即可求证．
【解答】解：BF与AC的位置关系是：BF⊥AC．
理由：∵∠AGF＝∠ABC，
∴BC∥GF，
∴∠1＝∠3；
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠3＝180°，
∴BF∥DE；
∵DE⊥AC，
∴BF⊥AC．
20如图，△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当DE＝8，BC＝5时，线段AE的长为
　　；
（2）若∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC的度数．
【考点】全等三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）3；
（2）∠DBC＝25°．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，BC＝5，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝3，
故答案为：3；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，∠C＝60°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°．
21在数学课上，林老师在黑板上画出如图的图形（其中点B，F，C，E在同一直线上），并写出四个条件：①AB＝DE；②BF＝EC；③∠B＝∠E；④∠1＝∠2．请你从这四个条件中选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．
条件：　　；
结论：　　．（均填写序号）
【考点】命题与定理．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】①②③，④；
【分析】①②③作为条件，④作为结论，证明：由BF＝CE，利用等式的性质两边加上FC得到BC＝EF，再由AB＝DE，∠B＝∠E，利用SAS得出三角形ABC与三角形DEF全等，利用全等三角形对应角相等得到∠1＝∠2．
【解答】解：题设：①②③；结论：④，
证明：∵BF＝EC，
∴BF+CF＝EC+CF，即BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠1＝∠2．
故答案为：①②③，④答案不唯一．
22如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．
【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】可在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，得出△ACP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论．
【解答】解：PB+PC＞AB+AC．
如图，在BA的延长线上取一点E，使AE＝AC，连接EP，
由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠CAP＝∠EAP，
又AP是公共边，AE＝AC，
在△ACP与△AEP中，
，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
从而有PC＝PE，在△BPE中，PB+PE＞BE，
而BE＝AB+AE＝AB+AC，
故PB+PE＞AB+AC，
所以PB+PC＞AB+AC．
23如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E．求证：BD＝2CE．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】证明题．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长CE、BA交于F点，然后证明△BFC是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质可得CE＝CF，然后在证明△ADB≌△AFC可得BD＝FC，进而证出BD＝2CE．
【解答】证明：延长CE、BA交于F点，如图，
∵BE⊥EC，
∴∠BEF＝∠CEB＝90°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∴∠F＝∠BCF，
∴BF＝BC，
∵BE⊥CF，
∴CE＝CF，
∵△ABC中，AC＝AB，∠A＝90°，
∴∠CBA＝45°，
∴∠F＝（180﹣45）°÷2＝67.5°，∠FBE＝22.5°，
∴∠ADB＝67.5°，
∵在△ADB和△AFC中，
，
∴△ADB≌△AFC（AAS），
∴BD＝FC，
∴BD＝2CE．
24（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则有相等关系DE＝DF，AE＝AF，请加以证明；
（2）如图2，在（1）的情况下，如果∠MDN＝∠EDF，∠MDN的两边分别与AB，AC相交于M，N两点，其他条件不变，那么又有相等关系AM+　　＝2AF，请加以证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）见解析过程；
（2）AN，理由见解析过程．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“角角边”证明△ADE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）由（1）得DE＝DF，再求出∠MDE＝∠NDF，然后利用“角边角”证明△MDE和△NDF全等，根据全等三角形对应边相等可得ME＝NF，然后求AM+AN＝AE+AF，再求解即可；
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（AAS），
∴DE＝DF，AE＝AF；
（2）解：AM+AN＝2AF；
证明如下：由（1）得DE＝DF，
∵∠MDN＝∠EDF，
∴∠MDE＝∠NDF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（ASA），
∴ME＝NF，
∴AM+AN＝（AE+ME）+（AF﹣NF）＝AE+AF＝2AF
故答案为AN．