二元一次方程组单元练习及答案

二元一次方程组单元复习与巩固
类型一：二元一次方程（组）的有关概念
　　1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）.
　　A． 　　　B． 　　C． 　　D．
　　思路点拨：二元一次方程组中只含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1，
　　方程组中，可以整理为.
　　【答案】B.
　　总结升华：准确理解二元一次方程组和二元一次方程的定义是解本题的关键.
　　举一反三：
　　【变式1】下列方程中，是二元一次方程的是（ ）.
　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D．
　　思路点拨：根据二元一次方程的定义，二元一次方程必须同时符合三个条件：①整式方程；②含有两个未知数；③方程中含有未知数的项的次数均为1. “”中未知数的次数是2；“”中的“”不是整式；“”中含有三个未知数，故都不是二元一次方程.
　　【答案】B.
　　【变式2】（2011四川凉山州）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
　　A． 　　　B． 　　　C．　　　D．
　　思路点拨：A选项是二元二次方程组；B选项有分式；C选项有三个未知数，是三元方程组；D选项符合二元一次方程组的定义，是正确的.
　　【答案】D.
　
　　【变式 3】已知(k－2)x｜k｜－1－2y＝1，则k___时，它是二元一次方程；k＝__时，它是一元一次方程。
　　思路点拨：由二元一次方程的定义得：
　　　　　　　|k|－1＝1，k＝2或－2
　　　　　　　∵k≠2
　　　　　　　∴k＝－2时，它是二元一次方程
　　　　　　　同理可得：当 k＝2时，它是一元一次方程.
　　【答案】－2,2
　　2．以 为解的二元一次方程组是（ ）.
　　A． 　　　B．　　　 C． 　　　D．
　　思路点拨：通过观察四个选项可知，每个选项的第一个二元一次方程都是，第二个方程的左边都是，而右边不同，根据二元一次方程的解的意义可知，当 时，.
　　【答案】C.
　　总结升华：不满足或不全部满足方程组中的各方程的选项都不是方程组的解。
　　举一反三：
　　【变式 1】已知关于x、y的二元一次方程组，求m＋n的值。
　　思路点拨：把代入原方程组得：
　　　　　　　∴m＋n＝－1＋11＝10
　　【答案】：m＋n＝10
　　【变式2】已知：是二元一次方程mx＋ny＝－2的一个解，则2m－n－6的值等于______。
　　
　　思路点拨：把代入原方程得：2m－n＝－2，再把2m－n看作一个整体，
　　　　　　　故 2m－n－6＝－2－6＝－8
　　【答案】：－8
　　【变式3】已知 的解满足，则__________.
　　思路点拨：由 得 ，再代入，
　　　　　　　得，　所以 .
　　【答案】 .
类型二：二元一次方程组的解法及应用
　　3．用加减法解方程组：
　　（1） ；（2） .
　　思路点拨：方程组（1）中的未知数的系数相等，两个方程相减就可以消去；方程组（2）中的方程②的的系数是方程①中的系数的绝对值的2倍，根据等式的性质，方程①的两边都乘以2，得出的式子再与方程②相加，便可以消去.
　　解：（1）
　　　　　　 ①－②得，，把代入①，
　　　　　　 得 ，解得 ，
　　　　　　 ∴原方程组的解为 .
　　　　（2）
　　　　　　 ①×2＋②得， ，∴ ，
　　　　　　 把 代入①，得，解得 ，
　　　　　　 ∴原方程组的解为 .
　　总结升华：通过对方程组的观察，找出适当的方法进行求解，会使求解过程变得简便.
　　举一反三：
　　【变式 1】已知二元一次方程组 的解为，，则__________.
　　思路点拨：由 得 ，∴，.
　　　　　　　 ∴.
　　【答案】11.
　　【变式2】已知，则的值分别为__________.
　　思路点拨：根据绝对值和平方项的特点，即它们都是非负的而且代数和为0，故需要它们都等于0，则可列方程组.
　　由题意可列方程组 ，把①代入②得，，∴.
　　把代入①，得.
　　【答案】，.
　　【变式3】已知 是方程组 的解，则的值为（ ）.
　　思路点拨：把 代入方程组 ，化简得 ，
　　　　　　　解得 . 所以.
　　【答案】81.
　　【变式4】（2011山东枣庄）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
　　A．－1 　　　B．1 　　　C．2　　　 D．3
　　思路点拨：把代入二元一次方程组得
　　　　　　　 故.
　　【答案】A
　　
　　4．（2011江苏扬州）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成。A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天。
　　（1）根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
　　　　　　　
　　　　 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x,y表示的意义，
　　　　 然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：
　　　　 甲：x表示___________，y表示__________；
　　　　 乙：x表示___________，y表示__________；
　　（2）求A、B两工程队分别整治河道多少米？（写出完整的解答过程）
　　解：（1）甲： 乙：
　　　　 　　甲：x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数；
　　　　 　　乙：x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度；
　　　　（2）若解甲的方程组
　　　　 　　①×8，得：8x+8y=160 ③
　　　　 　　③－②,得：4x=20
　　　　 　　∴x=5
　　　　　　 把x=5代入①得：y=15，
　　　　　　 ∴ 12x=60,8y=120
　　　　　　 答：A、B两工程队分别整治河道60米和120米。
　　　　 　　若解乙的方程组
　　　　 　　②×12，得：x+1.5y=240 ③
　　　　　　 ③－①,得：0.5y=60
　　　　　　 ∴y=120
　　　　　　 把y=120代入①，得，x=60
　　　　　　 答：A、B两工程队分别整治河道60米和120米。
　　总结升华：列方程(组)解实际问题的关键就是准确地找出等量关系，列方程(组)求解。
　　举一反三：
　　【变式 1】某班进行个人投篮比赛，下表记录了在规定时间内进球数和人数情况（这张表漏记了两个数）：
进球数 0 1 2 3 4 5
投进个球的人数 1 2 7 　 　 2
　　已知投进3个球或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进4个球或4个以下的人平均每人投进2.5个球，问投进3个球和4个球的各有多少人？
　　思路点拨：投进3个球和4个球的人的记录分别设为人、人，利用进球3个或3个以上的人的总进球数建立方程，再由进球4个或4个以下的人的总进球数建立方程.
　　解：设投进3个球的人有人，投进4个球的人有人. 由题意列方程组，得
　　　　
　　　　整理得， ，
　　　　解得 .
　　答：投进3个球的有9人，投进4个球的有3人.
　　【变式2】用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒。现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可以使盒身与盒底正好配套？
　　思路点拨：从已知条件可知：一个盒身与两个盒底配套，可以理解为生产盒底的个数必须是生产盒身的个数的2倍，本题存在两个相等关系：(1)制作盒身的铁皮的张数＋制作盒底的铁皮的张数＝36；(2)制作盒底的总个数＝2×制作盒身的总个数。由此可列二元一次方程组解决问题。
　　解析：设用x张白铁皮制盒身，y张白铁皮制盒底，则共能制盒身25x个，共能制盒底40y个，根据题意，
　　　　　得 ，解得
　　答：用16张白铁皮制盒身，20张制盒底正好使盒身与盒底配套。
☆类型三：三元一次方程组的解法及应用
　　5．解方程组
　　思路点拨：这是一个分数系数的方程组，一般应首先去分母整理成整数系数的方程组。
　　解：各方程去分母，整理得
　　　　由①，得，④
　　　　把④分别代入②、③并整理成方程组，得
　　　　解这个方程组，得 将、值代入④求得。
　　　　所以方程组的解是
　　总结升华：消元是解方程组的基本思想，本题是用整体代入法消元，当然也可以用加减消元法，既可以消，也可以消，还可以消，消元要根据系数的特点，在三个方程中两边搭配成两组，并消去同一个元，使所得两个方程组成二元一次方程组。
　　举一反三：
　　【变式】解方程组
　　思路点拨：先用加减法消去，变为、的二元一次方程组。
　　解：① +②，得.
　　　　②+③，得.
　　　　解方程组得
　　　　把，代入①，得.
　　　　所以方程组的解是
　　总结升华：因为的系数为或，所以先消去比先消去或更简便。
　　6．如图所示，两个天平都平衡，则三个球的质量等于（ ）正方体的质量。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　A．2个 　　　B．3个　　　 C．4个　　　 D．5个
　　思路点拨：将实际问题转化为数学问题，列方程组求解。
　　解析：设一个球的质量为 ，一个圆柱的质量为，一个正方体的质量为。
　　　　　则
　　　　　由①得 ③，
　　　　　把③代入②，得 ，解得，故正确答案为D。
　　【答案】D
　　总结升华：解答本题的关键是在观察基础上得到两个等量关系，以圆柱质量为“中间量”，得出了球与正方体的质量关系。
　　举一反三：
　　【变式 1】现有面值为2元、1元和5角的纸币共24张，币值共计29元，其中面值为2元的比1元的少6张，求三种面值各多少张？
　　思路点拨：此题有三个未知数：面值分别为2元、1元、5角的纸币的张数，相等关系：
　　（1）面值为2元、1元和5角的纸币共24张；
　　（2）24张纸币的币值共计29元；
　　（3）面值为2元的比1元的少6张。
　　解：设面值为 2元、1元和5角的纸币分别为张、张和张。
　　　　依题意，得：
　　　　把③分别代入①和②，得：
　　　　⑤×2，得
　　　　，得，。
　　　　把 代入③，得。
　　　　把 代入①，得。
　　　　所以方程组的解是
　　答：面值为2元、1元和5角的纸币分别为7张、13张和4张。
　　总结升华：列方程时，单位要统一，如本题中的5角要化为元。