暑期特训二元一次方程组（2）

暑期特训：二元一次方程组（2）
重点、难点：
重点：二元一次方程组的应用；
难点：二元一次方程组的解的情况。
【典型例题】
一. 二元一次方程组的解的情况
例1. 在下列方程中，只有一个解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：选C
例2. 、为何值时，方程组
（1）有唯一一组解；
（2）无解；
（3）有无穷多组解。
解：∵
∴
∴
讨论：①当时，即时，
∴此时方程组有唯一一组解。
②当时，即时
(Ⅰ)，则方程组无解。
（Ⅱ），则方程组有无数多组解。
∴当时，方程组有唯一一组解。
当，时，方程组无解。
当，时，方程组有无数多组解。
小结:关于的方程组的解的讨论可以按以下规律进行:
（1）若，则方程组有唯一一组解；
（2）若，则方程组有无数多组解；
（3）若，则方程组无解。
练习：
当的取值符合条件 时，方程组至少有一组解。
分析：至少有一组解包括有一组解和有无数多组解。
所以符合条件的有：
（1），即，此时有一组解；
（2），即，此时有无数多解。
∴答案为：或
二. 应用二元一次方程组解决简单的实际问题
例3. 为了能有效地使用电力资源，某市电力局从元月起推行居民“峰谷”用电试点，若使用“峰谷”电，每天8：00至22：00电费为每千瓦时0.56元（“峰电”价格）；22：00至次日8：00电费为每千瓦时0.28元（“谷电”价格），不使用“峰谷电”的电费为每千瓦时0.53元，一个家庭使用“峰谷电”，某月的电费为95.2元，经测算，比不使用“峰谷电”节约10.8元，问该家庭当月使用“峰电”和“谷电”各多少千瓦时？
分析：设该家庭当月使用“峰电”千瓦时，“谷电”千瓦时。
由题意可得：
解得：
答：该家庭当月使用“峰电”140千瓦时，“谷电”60千瓦时。
例4. 某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润500元；制成酸牛奶销售，每吨可获取利润1200元；制成奶片销售，每吨可获取利润2000元。
该工厂的生产能力是：如制成酸牛奶，每天可加工3吨；制成奶片，每天可加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件的限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此设计了两种可行方案。
方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售鲜奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。
你认为选择哪种方案所得利润最多？为什么？
解：选择方案二所得的利润最多
原因为：方案一：尽可能多的制成奶片，最多可以生产吨；
∴获得的利润为：元。
方案二：设吨鲜奶制成奶片，吨鲜奶制成酸奶。
由题意可得：
∴，
∴获得的利润为：元
∴方案二获得的利润最大
例5. 团体购买公园门票，票价如下：
购票人数 1～50 51～100 100以上
票价 13元 11元 9元
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人？
分析：首先设甲旅游团有人，乙旅游团有人。
根据题意可知：一个团多于50人，一个团少于50人，两个团合起来多于100人。
不妨设：，
则：
解得：
答：甲旅游团有41人，乙旅游团为71人；或者甲旅游团有71人，乙旅游团为41人。
例6. 某一次考试共需做20个小题，做对一个小题得8分，做错一个扣5分，不做的得0分，某同学共得13分，问这个同学没做的题有多少个？
分析：设这位同学做对了题，做错了题。
则
∴
∴
∴不做的题有7题。
【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一. 选择题（3×9=27分）
1. 二元一次方程的一个解是（ ）
A. 两个数值 B. 任意一对未知数的值
C. 一对未知数的值 D. 满足这个方程的一对未知数的值
2. 若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，用含的代数式表示应有（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知与互为相反数，则的值是（ ）
A. B. C. D.
5. 如果方程组的解与相等，那么的值是 （ ）
A. 1 B. C. D.
6. 三个二元一次方程有公共解，则的值是（ ）
A. 3 B. C. D. 4
7. 若与的和是单项式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若方程组无解，则的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 有一些苹果箱，若每只装苹果25公斤，则剩余40公斤无处装，若每只装30公斤，余有20只空箱，这些苹果箱有（ ）
A. 12只 B. 60只 C. 112只 D. 128只
二. 填空题（3×9=27分）
10. 如果是方程的解，那么 。
11. 已知，则与的关系为 。
12. 当或时，代数式的值都等于1，则的值为 。
13. 已知则= 。
14. 已知，那么的值是 。
15. 已知在正整数范围内的解是 。
16. 已知甲数比乙数小12，而它们的和与差之差为48，则较大的数为 。
17. 方程组的解是 。
18. 甲、乙两人解方程组甲解正确是，乙将看错解得，则 ， ， 。
三. 解答题。（5×2=10分）
19. 当为何值时，方程组的解是方程的解。
20. 取什么整数时，方程组的解是正整数？
四、解下列方程组。（5×2=10分）
21. 22.
五、列方程组解应用题（共26分）
23. 一个三位数比一个两位数的多1，若把这个三位数放在两位数的右边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数左边，且在中间加上小数点，将其分为整数与小数部分，如果前面的五位数比后面的数大74999.25，求这个三位数和两位数。
24. 一个容器装了49升水，另一个容器装了56升水，如果把水从第二个容器倒入第一个容器，把第一个容器倒满，那么第二个容器剩下的水相当于这个容器容积的一半，如果把水从第一个容器倒入第二个容器，把第二个容器倒满，那么第一个容器剩下的水相当于这个容器的，试问这两个容器各有多大容量？
25. 某工厂去年的总产值比总支出多600万元，今年的总产值比去年的总产值增加20%，支出比去年节约20%，因此总产值比总支出多900万元，问去年的总产值，总支出各是多少万元？
26. 汽车在平路上每小时行驶30公里，上坡时每小时行驶28公里，下坡时每小时行驶35公里，现在行驶142公里的路程用去4小时30分钟，回来用4小时42分钟，问这段公路有多少公里？去时上、下坡路各有多少公里？
【试题答案】
一、1. D 2. C 3. B 4. A 5. A
6. D 7. A 8. B 9. D
二、10. 11.
12. 13.
14. －9 15. 16. 36
17. 18. m=4，n=－3，k=1
三、19. [提示] 先解方程组求出，代入方程可求出或。
20. [提示] 先解方程组求出，可求出当时方程组的解是正整数。
四、21. 22. 或
五、23. [提示]设两位数为，三位数为，则
求得两位数是75，三位数是101。
24. [提示] 设第一个容器为升，第二个容器为升，则
解得两个容器容量分别为63升，84升。
25. [提示] 设去年总产值为万元，总支出为万元，
则
所以
26. [提示] 设这段平路有公里，去时上坡路有公里，下坡路有公里。则