(共25张PPT)
课题2
浙教版 七年级下
第4章因式分解
4.3.2
完全平方公式
B
A
1
2
3
4
5
C
B
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
B
10
11
12
13
14
A
±7
15
16
17
B
1
若多项式x2－3(m－2)x＋36能用完全平方公式分解因式，则m的值为( )
A．6或－2
B．－2
C．6
D．－6或2
A
2
C
3
如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是( )
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
4
把8a3－8a2＋2a进行因式分解，结果正确的是( )
A．2a(4a2－4a＋1)
B．8a2(a－1)
C．2a(2a－1)2
D．2a(2a＋1)2
C
5
6
B
A
7
分解因式：
(1)【中考·温州】m2＋4m＋4＝________；
(2)【2021·绍兴】x2＋2x＋1＝________．
8
(m＋2)2
(x＋1)2
9
若x2－14x＋m2是完全平方式，则m＝________．
10
±7
给多项式x8＋4加上一个单项式，使其成为一个完全平方式，则加上的单项式是_______________．
11
4x4(答案不唯一)
(2)a2＋4a(b＋c)＋4(b＋c)2.
12
原式＝2＝(a＋2b＋2c)2.
利用因式分解计算：
6.234 52＋0.234 52－6.234 5×0.469.
13
解：6.234 52＋0.234 52－6.234 5×0.469
＝6.234 52＋0.234 52－2×6.234 5×0.234 5
＝(6.234 5－0.234 5)2
＝36.
【宁波期末】把下列各式分解因式：
(1)(a2－4)2＋6(a2－4)＋9；
(2) (x2＋16y2)2－64x2y2；
14
解：原式＝(a2－4＋3)2＝(a2－1)2＝(a＋1)2(a－1)2.
原式＝(x2＋16y2)2－(8xy)2＝(x2＋16y2＋8xy)(x2＋16y2－8xy)＝(x＋4y)2(x－4y)2.
(3)a2－2a(b＋c)＋(b＋c)2；
(4)81a4－72a2b2＋16b4.
解：原式＝2＝(a－b－c)2.
原式＝(9a2)2－2·9a2·4b2＋(4b2)2＝(9a2－4b2)2＝2＝(3a＋2b)2(3a－2b)2.
【点拨】
对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法．四项式一般采用“二二”或“三一”分组，五项式一般采用“三二”分组，分组后再用提公因式法、公式法等继续分解，注意分解因式要彻底．
15
已知x2－y2＝20，求[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]的值．
16
解：[(x－y)2＋4xy][(x＋y)2－4xy]
＝(x2＋2xy＋y2)(x2－2xy＋y2)
＝(x＋y)2(x－y)2
＝[(x＋y)(x－y)]2
＝(x2－y2)2＝400.
【点拨】
灵活运用完全平方公式分解因式，再转化为含x2－y2的式子，然后整体代入求值．
我们知道对于二次三项式x2＋2ax＋a2这样的完全平方式可以用公式法将它们分解成(x＋a)2的形式，但是，对于二次三项式x2＋4ax＋3a2，就不能直接用完全平方公式因式分解，可以采用如下方法：
x2＋4ax＋3a2
＝x2＋4ax＋4a2－a2①
＝(x＋2a)2－a2②
＝(x＋3a)(x＋a)③
17
(1)在第①步中，将“＋3a2”改写成“＋4a2－a2”，获得的式子“x2＋4ax＋4a2”叫________________；
(2)从第②步到第③步，运用的数学公式是________________；
(3)用上述方法把a2－8a＋15分解因式．
完全平方式
平方差公式
解：a2－8a＋15＝a2－8a＋16－1＝(a－4)2－1＝(a－4＋1)(a－4－1)＝(a－3)(a－5)．(共25张PPT)
课题2
浙教版 七年级下
第4章 因式分解
(四)
因式分解的六种常见方法
B
C
1
2
3
4
5
6
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8
答 案 呈 现
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12
13
14
若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是( )
A．3y＋4x－1
B．3y－4x－1
C．3y－4x＋1
D．3y－4x
B
1
多项式2a2b3＋8a4b2因式分解为( )
A．a2b2(2b＋8a2)
B．2ab2(ab＋4a3)
C．2a2b2(b＋4a2)
D．2a2b(b2＋4a2b)
C
2
把下列各式分解因式：
(1)a(b－c)＋c－b；
(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.
解：原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．
3
原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2
＝5(2a－b)2(3b＋5)．
【点拨】
将多项式中的某些项变形时，要注意符号的变化．
把下列各式分解因式：
(1)－16＋x4y4；
(2)(x2＋y2)2－4x2y2.
解：原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)
＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．
4
原式＝(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)
＝(x＋y)2(x－y)2.
【点拨】
因式分解必须分解到不能再分解为止，如第(2)题不能分解到(x2＋y2＋2xy)(x2＋y2－2xy)就结束了．
(2)－4x2y＋8xy2－4y3.
原式＝－4y(x2－2xy＋y2)＝－4y(x－y)2.
5
分解因式：(x＋3)(x＋4)＋(x2－9)．
6
解：原式＝(x＋3)(x＋4)＋(x＋3)(x－3)
＝(x＋3)[(x＋4)＋(x－3)]
＝(x＋3)(2x＋1)．
【点拨】
解此题时，表面上看不能分解因式，但通过局部分解后，发现有公因式可以提取，从而将原多项式分解因式．
把下列各式分解因式：
(1)x(x＋4)＋4；
(2)4x(y－x)－y2.
7
解：原式＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2.
原式＝4xy－4x2－y2＝
－(4x2－4xy＋y2)＝－(2x－y)2.
【点拨】
通过观察发现此两题都不能直接分解因式，但运用整式乘法法则展开后，便可以运用公式法分解因式．
把下列各式分解因式：
(1)m2－n2－2m＋1＝__________________________.
8
(m－1＋n)(m－1－n)
【点拨】
先分组，再利用公式法分解因式.
原式＝m2－2m＋1－n2＝(m－1)2－n2＝(m－1＋n)(m－1－n)．
(2)【2021·杭州模拟】a2－2ab＋b2－4＝______________.
(a－b＋2)(a－b－2)
【点拨】
原式＝(a－b)2－4＝(a－b＋2)(a－b－2)．
9
【点拨】
本题直接分解因式很困难，可考虑添加辅助项使其符合公式特征，因此将原式添上x2与－x2两项后，便可通过分组使其符合平方差公式的结构特征，从而将原多项式进行因式分解．
分解因式：a(a＋b)(b－a)－b(a＋b)(a－b)．
10
解：原式＝a(a＋b)(b－a)＋b(a＋b)(b－a)＝
(a＋b)(b－a)(a＋b)＝(a＋b)2(b－a)．
分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．
11
解：原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.
【点拨】
本题把x＋y这一整体“当”作完全平方公式中的字母a.
分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．
12
解：原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2
＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)
＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)
＝(bc＋ad)(ac＋bd)．
【点拨】
本题“拆”开原式中的两个整体，重新分组，可谓“柳暗花明”，出现转机．
分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.
13
解：原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)
＝(x－2)2－(y－3)2
＝(x＋y－5)(x－y＋1)．
【点拨】
这里巧妙地把－5拆成4－9.“凑”成(x2－4x＋4)和(y2－6y＋9)两个整体，从而运用公式法分解因式．
分解因式：
(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；
14
解：设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m＋4)＋9
＝m2＋4m－2m－8＋9
＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2
＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.
(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.
解：设b2－b＝n，
则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1
＝n2＋3n＋n＋3＋1
＝n2＋4n＋4
＝(n＋2)2
＝(b2－b＋2)2.(共31张PPT)
课题2
浙教版 七年级下
第4章 因式分解
4.3.1
平方差公式
C
D
1
2
3
4
5
A
A
6
7
8
C
答 案 呈 现
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9
C
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13
14
C
－4
15
16
C
1
下列因式分解正确的是( )
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
2
【2021·杭州】因式分解：1－4y2＝( )
(1－2y)(1＋2y)
B. (2－y)(2＋y)
C. (1－2y)(2＋y)
D. (2－y)(1＋2y)
A
3
若n为任意整数，(n＋11)2－n2的值总可以被k整除，则k等于( )
A．11
B．22
C．11或22
D．11的倍数
A
4
【中考·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是( )
A．a2＋b2 B．2a－b2
C．a2－b2 D．－a2－b2
C
5
小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是( )
A．我爱美 B．宜昌游
C．爱我宜昌 D．美我宜昌
6
C
【点拨】
∵(x2－y2)a2－(x2－y2)b2＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a－b)(a＋b)，∵x－y，x＋y，a＋b，a－b四个式子分别对应爱、我、宜、昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C.
C
7
【中考·杭州】分解因式：1－x2＝____________．
8
(1－x)(1＋x)
【2021·丽水】分解因式：x2－4＝____________．
9
(x＋2)(x－2)
【中考·台州】分解因式：ax2－ay2＝_____________．
10
a(x＋y)(x－y)
11
－4
把下列各式分解因式：
(1)(3a－2b)2－(2a＋3b)2；
12
解：＝[(3a－2b)＋(2a＋3b)][(3a－2b)－(2a＋3b)]
＝(3a－2b＋2a＋3b)(3a－2b－2a－3b)
＝(5a＋b)(a－5b)．
(2)x4－81y4；
(3)a4－9a2b2；
解：＝(x2＋9y2)(x2－9y2)
＝(x2＋9y2)(x＋3y)(x－3y)．
＝a2(a2－9b2)
＝a2(a＋3b)(a－3b)．
(4)m2x4－16m2y4；
解：＝m2(x4－16y4)
＝m2(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝m2(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
(6)(x－1)2＋2(x－5)．
解：(x－1)2＋2(x－5)
＝x2－2x＋1＋2x－10
＝x2－9＝(x＋3)(x－3)．
利用因式分解计算：
(1)8×7582－2582×8；
13
解：原式＝8×(7582－2582)
＝8×(758＋258)×(758－258)
＝8×1 016×500
＝4 064 000.
学习了因式分解的知识后，老师提出了这样一个问题：设n为整数，则(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？
14
解：(n＋7)2－(n－3)2
＝[(n＋7) ＋(n－3)][(n＋7)－(n－3) ]
＝10(2n＋4)＝20(n＋2)，
故(n＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除．
(1)已知4m＋n＝40，2m－3n＝5，求(m＋2n)2－(3m－n)2的值．
15
解：(m＋2n)2－(3m－n)2
＝(m＋2n＋3m－n)(m＋2n－3m＋n)
＝(4m＋n)(3n－2m)＝－(4m＋n)(2m－3n)，
当4m＋n＝40，2m－3n＝5时，
原式＝－40×5＝－200.
(2)若(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，求x2－y2的值．
解：∵(x＋y－3)2＋(x－y＋5)2＝0，
∴x＋y－3＝0，x－y＋5＝0，
∴x＋y＝3，x－y＝－5，
∴x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－15.
(3)已知|m＋4|与n2－2n＋1互为相反数，把多项式(x2＋4y2)－(mxy＋n)因式分解．
如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20这三个数都是神秘数．
16
(1)28和2 020这两个数是神秘数吗？为什么？
解：28，2 020是神秘数．∵4＝4×1＝22－02，12＝4×3＝42－22，20＝4×5＝62－42，28＝4×7＝82－62，…，2 020＝4×505＝5062－5042，∴28和2 020都是神秘数．
(2)设两个连续偶数为2k和2k＋2(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
解：是．∵(2k＋2)2－(2k)2＝4(2k＋1)，∴由两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数．(共21张PPT)
浙教版 七年级下
第4章 因式分解
全章热门考点整合
1
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9
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11
B
【2021·杭州期末】下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A．6x2y3＝2x2·3y3
B．x2－9＝(x－3)(x＋3)
C．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
D．(x＋2)(x－3)＝x2－x－6
1
B
(1)下列代数式中，没有公因式的是( )
A．ab与b B．a＋b与a2＋b2
C．a＋b与a2－b2 D．x与6x2
(2)多项式15m3n2＋5m2n－20m2n3的公因式是( )
A．5mn B．5m2n2
C．5m2n D．5mn2
2
B
C
(3)将多项式－6a3b2－3a2b2因式分解时，应提取的公因式是( )
A．－3a2b2
B．－3ab
C．－3a2b
D．－3a3b3
A
(1)分解因式4x2－y2的结果是( )
A．(4x＋y)(4x－y) B．4(x＋y)(x－y)
C．(2x＋y)(2x－y) D．2(x＋y)(x－y)
(2)分解因式(a－b)2＋4ab的结果是____________．
(3)把多项式a3－6a2b＋9ab2分解因式的结果是________________．
(4)【中考·嘉兴】分解因式：x2－9＝____________．
3
C
(a＋b)2
a(a－3b)2
(x＋3)(x－3)
计算：
(1)2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
解：原式＝2.1×31.4＋6.2×31.4＋1.7×31.4
＝31.4×(2.1＋6.2＋1.7)
＝31.4×10
＝314.
4
(3)－101×190＋1012＋952.
解：原式＝1012－2×101×95＋952＝(101－95)2＝36.
233－2能被11至20之间的两个数整除，求这两个数．
解：233－2
＝2×(232－1)
＝2×(216＋1)×(216－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)(28－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)(24＋1)(24－1)
＝2×(216＋1)×(28＋1)×17×15.
∴这两个数是17，15.
5
已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a2－b2＝ac－bc，试判断三角形ABC的形状．
6
解：∵a2－b2＝ac－bc，∴(a－b)(a＋b)＝c(a－b)．
∴(a－b)(a＋b)－c(a－b)＝0.∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
∵a，b，c是三角形ABC的三边长，
∴a＋b－c≠0.所以a－b＝0.所以a＝b.
∴三角形ABC为等腰三角形．
长方形的周长为16 cm，它的两邻边长分别为x cm，y cm，且满足(x－y)2－2x＋2y＋1＝0.求其面积．
7
解：由题意，得2(x＋y)＝16，
∴x＋y＝8.①
∵(x－y)2－2x＋2y＋1＝(x－y)2－2(x－y)＋1＝(x－y－1)2＝0，
∴x－y＝1.②
因式分解：
(1)5x2＋6y－15x－2xy；
8
解：原式＝(5x2－15x)－(2xy－6y)
＝5x(x－3)－2y(x－3)
＝(x－3)(5x－2y)．
(2)a4＋4b2c2－a2b2－4a2c2.
解：原式＝(a4－a2b2)－(4a2c2－4b2c2)
＝a2(a2－b2)－4c2(a2－b2)
＝(a2－b2)(a2－4c2)
＝(a＋b)(a－b)(a＋2c)(a－2c)．
因式分解：
(1)x2－y2－2x－4y－3；
9
解：原式＝x2－y2－2x－4y－4＋1＝(x2－2x＋1)－(y2＋4y＋4)＝(x－1)2－(y＋2)2＝[(x－1)＋(y＋2)][(x－1)－(y＋2)]＝(x＋y＋1)(x－y－3)．
(2)x4＋64.
解：原式＝x4＋16x2－16x2＋64＝(x4＋16x2＋64)－16x2＝(x2＋8)2－(4x)2＝(x2＋4x＋8)(x2－4x＋8)．
【点拨】
拆项和添项是因式分解难以进行的情况下的一种辅助方法，通过适当的“拆项”或“添项”后再分组，最终达到因式分解的目的．
因式分解：(m2－2m－1)(m2－2m＋3)＋4.
10
解：令m2－2m＝y，则原式＝(y－1)(y＋3)＋4＝y2＋2y－3＋4＝y2＋2y＋1＝(y＋1)2.
将y＝m2－2m代入上式，则
原式＝(m2－2m＋1)2＝(m－1)4.
11
【点拨】
恒等变形的最后一步应用(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝a2＋2ab＋b2－4ab＝(a＋b)2－4ab，这一变形的目的是使所求的式子里含a＋b这样的项．(共19张PPT)
课题2
浙教版 七年级下
第4章因式分解
4.2
提取公因式法
B
A
1
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C
D
6
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8
A
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A
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14
B
15
16
将多项式2a2－4ab因式分解应提取的公因式是( )
A．a
B．2a
C．2ab
D．4a2b
B
1
【杭州期末】把2a2－4a因式分解的最终结果是( )
A．2a(a－2)
B．2(a2－2a)
C．a(2a－4)
D．(a－2)(a＋2)
A
2
C
3
【2021·杭州期中】下列因式分解正确的是( )
A．2a2－a＝2a(a－1)
B．－a2－2ab＝－a(a－2b)
C.－3a＋3b＝－3(a＋b)
D．a2＋3ab＝a(a＋3b)
D
4
若mn＝－2，m＋n＝3，则代数式m2n＋mn2的值是( )
A．－6 B．－5 C．1 D．6
A
5
多项式x2y(a－b)－y(b－a)提公因式后，余下的部分是( )
A．x2＋1 B．x－1
C．x2－1 D．x2y＋y
6
A
因式分解：
(1)【中考·丽水】m2＋2m＝____________；
(2)【2021·台州】因式分解：xy－y2＝________；
(3)a2－2a＝________；
(4)x(x－3)－x＋3＝_____________．
m(m＋2)
7
y(x－y)
a(a－2)
(x－1)(x－3)
在等号右边的括号内填上适当的项：
(1)2a＋3b－c＝2a＋(________)；
(2)2a－3b＋c＝2a－(________)；
(3)2a－3b－c＝2a－(________)；
(4)2a＋3b＋c＝2a－(________)．
8
3b－c
3b－c
3b＋c
－3b－c
因式分解：
(1)m(m－n)＋3n(n－m)；
(2)6a(b－a)2－3(a－b)3.
9
解：m(m－n)＋3n(n－m)
＝m(m－n)－3n(m－n)＝(m－n)(m－3n)．
6a(b－a)2－3(a－b)3＝6a(a－b)2－3(a－b)3＝3(a－b)2(2a－a＋b)＝3(a－b)2(a＋b)．
利用因式分解进行计算：
(1)39×37－13×34；
(2)29×19.99＋72×19.99＋13×19.99－19.99×14.
10
解：39×37－13×34＝39×37－13×3×33＝39×(37－27)＝390.
29×19.99＋72×19.99＋13×19.99－19.99×14
＝19.99×(29＋72＋13－14)＝19.99×100＝1 999.
多项式x2y(a－b)－xy(b－a)＋y(a－b)提公因式后，另一个因式为( )
A．x2－x＋1
B．x2＋x＋1
C．x2－x－1
D．x2＋x－1
11
B
已知(2x－10)(x－2)－(x－2)(x－13)可分解因式为(x＋a)(x＋b)，则ab的值是________．
12
如图，相邻两边长分别为a，b的长方形的周长为10，面积为6，求a3b2＋a2b3的值．
13
解：根据题意，
可得a＋b＝5，ab＝6，
∴a3b2＋a2b3＝a2b2(a＋b)＝(ab)2(a＋b)＝36×5＝180.
如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，若线路AB上的电流为I(单位：A)，电压为U(单位：V)，则U＝IR1＋IR2＋IR3.当R1＝19.7 Ω，R2＝32.4 Ω，R3＝35.9 Ω，I＝2.5 A时，求U的值．
14
解：U＝IR1＋IR2＋IR3＝I(R1＋R2＋R3)＝2.5×(19.7＋32.4＋35.9)＝2.5×88＝220(V)．
三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断三角形ABC的形状．说明理由．
15
已知a，b，c满足ab＋a＋b＝bc＋b＋c＝ca＋c＋a＝3，求(a＋1)(b＋1)(c＋1)的值(a，b，c均为正数)．
16
解：由题意，得ab＋a＋b＝3，
∴(a＋1)(b＋1)＝4.
同理可得(b＋1)(c＋1)＝4，(a＋1)(c＋1)＝4.
∴[(a＋1)(b＋1)(c＋1)]2＝4×4×4＝64.
∵a，b，c均为正数，∴(a＋1)(b＋1)(c＋1)＝8.(共28张PPT)
课题2
浙教版 七年级下
第4章 因式分解
4.1
因式分解
D
D
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
D
答 案 呈 现
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习题链接
9
B
10
11
12
13
14
C
B
A
2
15
16
17
下列代数式变形中，哪一项是分解因式？( )
A．a(a－2)＝a2－2a
B．m2－4－n＝(m＋2)(m－2)－n
C．9x2－6x＋2＝(3x－1)2＋1
D．y2＋2y＋1＝(y＋1)2
D
1
D
2
已知多项式x2－kx＋6因式分解后有一个因式为x－3，则k的值为( )
A．－5 B．5 C．－6 D．6
B
3
(3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果？( )
A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2
C．9a2－y2 D．－9a2－y2
C
4
【嘉兴期末】若(x－3)(x＋5)是x2＋px＋q分解因式的结果，则p为( )
A．－15
B．－2
C．8
D．2
D
5
一个多项式分解因式的结果是(b3＋2)(2－b3)，那么这个多项式是( )
A．b6－4
B．4－b6
C．b6＋4
D．－b6－4
6
B
下列因式分解正确的是( )
A．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
B．(x2－4)x＝x3－4x
C．ax＋bx＝(a＋b)x
D．m2－2mn＋n2＝(m＋n)2
C
7
把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，则a，b的值分别是( )
A．a＝2，b＝3
B．a＝－2，b＝－3
C．a＝－2，b＝3
D．a＝2，b＝－3
8
B
【点拨】
∵(x＋1)(x－3)＝x2－3x＋x－3＝x2－2x－3，
∴x2＋ax＋b＝x2－2x－3.∴a＝－2，b＝－3.故选B.
如图，把左、右两边相等的代数式用线连起来：
9
计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝______________；
(3)8y(y＋1)＝__________；
(4)a(x＋y＋1)＝__________．
10
a2－b2
a2＋2ab＋b2
8y2＋8y
ax＋ay＋a
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a；
(6)a2－b2；
ax＋ay＋a＝a(x＋y＋1)．
a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a2＋2ab＋b2；
(8)8y2＋8y.
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.
8y2＋8y＝8y(y＋1)．
在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分剪拼成一个长方形(如图)．根据图示可以验证的等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．a2－ab＝a(a－b)
11
A
【2021·杭州模拟】若多项式x3＋x＋m含有因式x2－x＋2，则m的值是________．
12
2
【点拨】
∵多项式x3＋x＋m含有因式x2－x＋2，
∴设另一个因式是x＋a，
则(x2－x＋2)(x＋a)＝x3＋x＋m，
∵(x2－x＋2)(x＋a)
＝x3＋ax2－x2－ax＋2x＋2a
＝x3＋(a－1)x2＋(－a＋2)x＋2a，
∴a－1＝0，2a＝m，解得：a＝1，m＝2，
用简便方法计算：
(1)4 0452－4×2 022×2 023；
13
解：4 0452－4×2 022×2 023
＝(2 022＋2 023)2－4×2 022×2 023＝(2 022－2 023)2
＝1；
(2)15×1012－992×15.
解：15×1012－992×15
＝15×(1012－992)
＝15×(101＋99)(101－99)
＝15×200×2
＝6 000.
14
解：∵多项式2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6可以分解为(x＋2y＋m)(2x－y＋n)的形式，
∴(x＋2y＋m)(2x－y＋n)＝2x2＋3xy－2y2＋(2m＋n)x＋(2n－m)y＋mn＝2x2＋3xy－2y2－x＋8y－6，
一个三位数的百位数字与个位数字互相交换位置，得到的新数与原数之差能被99整除吗？请说明理由．
15
解：能．设原数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.则原数可表示为100x＋10y＋z.百位数字与个位数字互相交换位置后，新数可表示为100z＋10y＋x.(100z＋10y＋x)－(100x＋10y＋z)＝99z－99x＝99(z－x)．∵99(z－x)÷99＝z－x，易知z－x为整数，∴得到的新数与原数之差能被99整除．
【杭州期末】将多项式x2－3x＋2分解因式：x2－3x＋2＝(x－2)(x－1)，说明多项式x2－3x＋2有一个因式为x－1，还可知：当x－1＝0时，x2－3x＋2＝0.
利用上述阅读材料解答以下两个问题：
16
(1)若多项式x2＋kx－8有一个因式为x－2，求k的值；
解：令x－2＝0，即当x＝2时，
4＋2k－8＝0，解得k＝2；
(2)若x＋2，x－1是多项式2x3＋ax2＋7x＋b的两个因式，求a，b的值．
解：令x＝－2，则－16＋4a－14＋b＝0①，
令x＝1，则2＋a＋7＋b＝0②，
由①②得a＝13，b＝－22.
阅读下列计算过程，并进行计算：
99×99＋199＝992＋2×99＋1＝(99＋1)2＝1002＝104.
(1)计算：
999×999＋1 999＝__________________________＝
__________＝__________＝__________；
9 999×9 999＋19 999＝_______________________＝
___________＝__________＝__________．
17
9992＋2×999＋1
(999＋1)2
1 0002
106
9 9992＋2×9 999＋1
(9 999＋1)2
10 0002
108
(2)猜想9 999 999 999×9 999 999 999＋19 999 999 999等于多少？写出计算过程．
解：9 999 999 999×9 999 999 999＋19 999 999 999
＝9 999 999 9992＋2×9 999 999 999＋1
＝10 000 000 0002
＝1020.
