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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练， ( http: / / www.21cnjy.com )分选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21世纪教育网版权所有
专题01 运算思维之解二元一次方程组难点专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（ ）21教育网
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·七年级期中）已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2021·浙江·七年级期末）已知的解是，求的解为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的有（ ）个2·1·c·n·j·y
①当时，方程组的解是；
②当x，y的值互为相反数时，
③不存在一个实数a使得；
④若，则．A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2021·浙江·七年级期末）若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．6 B．0 C． D．
6．（2021·浙江·杭州市采荷中学七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是（ ）21·世纪*教育网
A． B． C． D．
7．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）www-2-1-cnjy-com
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么实数，的值始终不变；
④若用x表示y，则；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2021·浙江省余姚市实验学校七年级期中）若关于，的方程组，则的值为（ ）21cnjy.com
A．3 B．14 C．2 D．1
9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是：①当a＝0时方程组的解是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当xy＝1，则a的值为3或﹣3；④不论a取什么实数3x﹣y的值始终不变．（ ）2-1-c-n-j-y
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )21*cnjy*com
①当＝5时，方程组的解是；
②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18；
④不存在一个实数使得＝．A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
二、填空题
11．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
12．（2021·浙江杭州·七年级期末）已知关于的方程组，为常数，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取何值，和的值都不可能互为相反数．其中正确的是_______．（填序号）【来源：21cnj*y.co*m】
13．（2021·浙江奉化·七年级期末）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．【版权所有：21教育】
14．（2021·浙江拱墅·七年级期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．21*cnjy*com
15．（2021·浙江·淳安县教育发展研究中心七年级期末）若是方程组的解，则a与c的关系是________．
16．（2021·浙江·七年级期末）已知x，y满足方程组．给出下列结论：①若方程组的解也是的解，则；②若方程组的解满足，则；③无论k为何值，；④若，则．正确的是________．（填序号）
17．（2021·浙江南浔·七年级期末）定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为______．
18．（2021·浙江江干·七年级期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①；②当k＝时，x，y的值互为相反数；③2x÷8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝0．其中正确的是___．（填写正确结论的序号）
19．（2021·浙江萧山·七年级期中）已知的解是，求的解为_____．
20．（2021·浙江越城·七年级期末）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为__________________21教育名师原创作品
三、解答题
21．（2021·浙江·七年级月考）阅读探索：
解：设，原方程组变为
解得，即
此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解方程组
（2）能力运用，已知关于的方程组的解为
求关于的方程组的解．
22．（2021·浙江杭州·七年级期中）关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
23．（2021·浙江·七年级期中）解方程组：
（1）； （2）．
24．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级期中）已知关于，的方程组，其中是实数．
（1）若，求的值；
（2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
（3）求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．
25．（2021·浙江·七年级期末）如果关于x、y的二元一次方程组解是求关于x、y的方程组的解,21·cn·jy·com
（1）；
（2）
26．（2021·浙江萧山·七年级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
27．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c抄错了，误解为 ，求2a+b-c的平方根．
28．（2021·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．【出处：21教育名师】
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
29．（2021·浙江·杭州江南实验学校八年级期中）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围“有如下解法，
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y＋2＞1，即y＞﹣1．
又y＜0，∴﹣1＜y＜0…①
同理，得：1＜x＜2…②
由①＋②，得﹣1＋1＜y＋x＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围．
（2）已知2a﹣b＝﹣1，求a＋b的取值范围．
（3）已知a﹣b＝m，若，且b≤1，求a＋b的取值范围（用含m的代数式表示）．
30．（2021·浙江温岭·七年级期末）【发现问题】已知，求的值．
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．
方法二：将①②，求出的值．
【提出问题】怎样才能得到方法二呢？
【分析问题】
为了得到方法二，可以将①②，可得．
令等式左边，比较系数可得，求得．
【解决问题】
（1）请你选择一种方法，求的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；
【迁移应用】
（3）已知，求的范围．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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思路设计：重在培优训练，分选择、 ( http: / / www.21cnjy.com )填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21教育名师原创作品
专题01 运算思维之解二元一次方程组难点专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程．无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，则这个公共解是（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不影响方程，即含a的项的系数相加为0．
【详解详析】
解：方程整理为ax﹣2x＋ay＋y＋8﹣a＝0，
∴a（x＋y﹣1）﹣2x＋y＋8＝0．
∵无论a取什么值时，方程都有一个公共的解，
∴，
解得：．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的解，利用方程的解与a无关得出方程组是解题关键．
2．（2021·浙江·七年级期中）已知关于的二元一次方程组给出下列结论：当时，此方程组无解；若此方程组的解也是方程的解，则；无论整数k取何值，此方程组一定无整数解（均为整数），其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【标准答案】D
【思路指引】
①将代入，得到方程组，求解即可做出判断；②解方程组得：，把，代入，即可做出判断；③解方程组得：，根据为整数即可作出判断．
【详解详析】
解：当时，方程组为，此时方程组无解；故①正确；
解方程组得：，
把，代入，方程左右两边相等，故②正确；
解方程组得：，
又为整数，若是整数，则，，2，，1，此时不是整数，
、不能均为整数，故③正确．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
3．（2021·浙江·七年级期末）已知的解是，求的解为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
把x=3，y=4代入第一个方程组，可得关于a1，b1方程组，两方程同时乘5可得出，再结合第二个方程组即可得出结论．
【详解详析】
解：把代入方程组得：，
方程同时×5，得：，
∴方程组的解为，
故选B．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的解，发现两方程组之间互相联系是解题的关键．
4．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的有（ ）个
①当时，方程组的解是；
②当x，y的值互为相反数时，
③不存在一个实数a使得；
④若，则．
A．1 B．2 C．3 D．4
【标准答案】B
【思路指引】
①把a＝5代入方程组求出解，即可作出判断；
②由题意得x+y＝0，变形后代入方程组求出a的值，即可作出判断；
③若x＝y，代入方程组，变形得关于a的方程，即可作出判断；
④根据题中等式得2a﹣3y＝7，代入方程组求出a的值，即可作出判断．
【详解详析】
解：①把a＝5代入方程组得：
，
由（2）得x＝2y，
将x＝2y代入（1）得：y＝10，
将y＝10代入x＝2y得：x＝20，
解得：，故①错误；
②当x，y的值互为相反数时，x+y＝0，
即：y＝﹣x
代入方程组得：，
整理，得，
由（3）得：，
将代入（4），得：，
解得：a＝20，故②正确；
③若x＝y，则有，
可得：a＝a﹣5，矛盾，
∴不存在一个实数a使得x＝y，故③正确；
④，
（5）－（6）×3，得：，
将代入（6），得：，
∴原方程组的解为，
∵，
∴2a﹣3y＝7，
把y＝15﹣a代入得：
2a﹣45+3a＝7，
解得：a＝，故④错误；
∴正确的选项有②③两个．
故选：B．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．本题属于基础题型，难度不大．
5．（2021·浙江·七年级期末）若是整数，关于的二元一次方程组的解是整数，则满足条件的所有的值的和为（ ）
A．6 B．0 C． D．
【标准答案】D
【思路指引】
把m看做已知求得x=，由方程组的解为整数，确定出m的值即可．
【详解详析】
解：，
两式相加得（m+3）x=10，解得x=，
∵m+3能被10整除，
∴整数m=-13，-8，-5，-4，-2，-1，2，7，
当m=-13，-5，-1，7时，y不是整数，
则满足条件的所有m的值的和为-8-4-2+2=-12．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
6．（2021·浙江·杭州市采荷中学七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】A
【思路指引】
先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案．
【详解详析】
解：关于，的二元一次方程组的解是，
，
，
，
，
关于，的二元一次方程组是，
，
，
，
，
，
，
关于，的二元一次方程组的解为：．
故选：A．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组，本题的解题关键是先求出m，n的值，再代入新的二元一次方程组即可得出答案．21*cnjy*com
7．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（ ）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②当时，方程组的解也是方程的解；
③无论a取什么实数，的值始终不变；
④若用x表示y，则；
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【标准答案】C
【思路指引】
根据方程组的解法可以得到x+y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )2+a，①令x+y＝0，即可求出a的值，验证即可，②由①得x+y＝0，而x+y＝4+2a，求出a的值，再与a＝1比较得出答案，③解方程组可求出方程组的解，再代入x+2y求值即可，④用含有x、y的代数式表示a，进而得出x、y的关系，
【详解详析】
解：关于x，y的二元一次方程组，
①+②得，2x+2y＝4+2a，
即：x+y＝2+a，
（1）①当方程组的解x，y的值互为相反数时，即x+y＝0时，即2+a＝0，
∴a＝﹣2，故①正确，
（2）②原方程组的解满足x+y＝2+a，
当a＝1时，x+y＝3，
而方程x+y＝4+2a的解满足x+y＝6，
因此②不正确，
（3）方程组，解得，，
∴x+2y＝2a+1+2-2a＝3，
因此③是正确的，
（4）方程组，
由方程①得，a＝4﹣x﹣3y代入方程②得，
x-y＝3（4-x-3y），
即；，
因此④是正确的，
故选：C．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解法和应用，正确的解出方程组的解是解决问题的关键．
8．（2021·浙江省余姚市实验学校七年级期中）若关于，的方程组，则的值为（ ）
A．3 B．14 C．2 D．1
【标准答案】D
【思路指引】
方程组两方程分别相加，求出的值即可．
【详解详析】
解：，
①+②得：4（a+b）=4，
则a+b=1．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减法是解本题的关键．
9．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）七年级期中）已知关于x，y的方程组，则下列结论中正确的是：①当a＝0时方程组的解是方程x+y＝1的解；②当x＝y时，a＝﹣；③当xy＝1，则a的值为3或﹣3；④不论a取什么实数3x﹣y的值始终不变．（ ）21cnjy.com
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【标准答案】B
【思路指引】
①把a看做已知数表示出方程组的解， ( http: / / www.21cnjy.com )把a＝0代入求出x与y的值，代入方程检验即可；②令x＝y求出a的值，即可作出判断；③把x与y代入3x﹣y中计算得到结果，判断即可；④令2x＝3y求出a的值，判断即可．www.21-cn-jy.com
【详解详析】
解：，
据题意得：3x＝3a﹣6，
解得：x＝a﹣2，
把x＝a﹣2代入方程x+y＝1+4a得：y＝3a+3，
当a＝0时，x＝﹣2，y＝3，
把x＝﹣2，y＝3代入x+y＝1得：左边＝﹣2+3＝1，右边＝1，是方程的解，故①正确；
当x＝y时，a﹣2＝3a+3，即a＝﹣，故②正确；
当xy＝1时，（a﹣2）3a+3＝1，即a＝﹣1，或 或 故③错误
3x﹣y＝3a﹣6﹣3a﹣3＝﹣9，无论a为什么实数，3x﹣y的值始终不变为﹣9，故④正确．
∴正确的结论是：①②④，
故选：B．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21教育网
10．（2021·浙江越城·七年级期末）已知关于，的方程组，则下列结论中正确的是( )
①当＝5时，方程组的解是；
②当，的值互为相反数时，＝20；
③当＝16时，＝18；
④不存在一个实数使得＝．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．②③
【标准答案】C
【思路指引】
①把a＝5代入方程组求出解，即可做出判断；
②根据题意得到x+y＝0，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x，代入方程组求出a的值，即可做出判断；
④假如x＝y，得到a无解，本选项正确；．
【详解详析】
解：①把a＝5代入方程组得：，
解得：，本选项错误；
②由x与y互为相反数，得到x+y＝0，即y＝﹣x，
代入方程组得：，
解得：a＝20，本选项正确；
③当＝16时，得到x+y=4，即y=4﹣x
代入方程组得：，
解得：a＝18，本选项正确；
④若x＝y，则有，可得a＝a﹣5，矛盾，
故不存在一个实数a使得x＝y，本选项正确；
故选：C．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
二、填空题
11．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法：正确的是_____________（填写序号）．
【标准答案】①②
【思路指引】
将代入原方程组，求出m和n的值，可判断①；将代入原方程组，可判断②；根据原方程组的解为，可得新方程组满足，求出x和y的值，可判断③；将代入原方程组，求出x和y的值，再找到当方程组的解为非负整数时n的部分值，可判断④．【来源：21cnj*y.co*m】
【详解详析】
解：①将代入中，
得：，
解得：，
则，故①正确；
②当时，有，
则，故②正确；
③当方程组的解是时，
则，
∵新方程组为，
整理，得，
∴，
解得：，故③错误；
④当时，方程组为，
（1）×3－（2），得：，
解得：，
将代入（1）得：，
∴原方程组的解为，
∵x，y都是非负整数，
∴当n＝2时，；
当n＝时，；
当n＝时，；
故④错误，
故答案为：①②．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题的关键是理解题意，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
12．（2021·浙江杭州·七年级期末）已知关于的方程组，为常数，给出下列结论：①是方程组的解；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取何值，和的值都不可能互为相反数．其中正确的是_______．（填序号）
【标准答案】②③
【思路指引】
①将m=6，n=-1代入检验即可 ( http: / / www.21cnjy.com )做出判断；②将a=2代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；③将m和n分别用a表示出来，然后求出m+n=3来判断．
【详解详析】
解：①将，代入方程组得：，
由①得，由②得，故①不正确．
②将代入方程组得：，
解此方程得：，
将，代入方程，方程左边右边，是方程的解，故②正确．
③解方程
①②得：
解得：
将的值代入①得：所以，故无论取何值，、的值都不可能互为相反数故③正确．
则正确的选项有②③．
故答案为：②③．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
13．（2021·浙江奉化·七年级期末）对，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__________；当时，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是__________．
【标准答案】
【思路指引】
根据定义的新运算F，将，代入，得到关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，代回原式即可求得；由列出关系式，整理后即可确定出m、n的关系式．
【详解详析】
解：①根据题意得，，
，
整理得：，解得：，
则
，
②由得
，
整理得：，
当时，对任意有理数，都成立，
即；
故答案为：；．
【名师指路】
本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用等知识点，弄清题中的新定义是解本题的关键．
14．（2021·浙江拱墅·七年级期末）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）．2-1-c-n-j-y
【标准答案】
【思路指引】
将待求方程组整理为，由原方程组的解将看作整体可得关于x、y的方程组，解之可得．
【详解详析】
解：将方程组整理，得：
，
根据题意，得：
解得：，
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是由原方程组的解将将看作整体可得关于x、y的新方程组．
15．（2021·浙江·淳安县教育发展研究中心七年级期末）若是方程组的解，则a与c的关系是________．21·cn·jy·com
【标准答案】9a－4c＝23
【思路指引】
把解代入方程组中，得关于a、b、c的方程组，消去b即得a与c的关系式．
【详解详析】
把代入方程组中，得：
，得：9a－4c＝23
故答案为：9a－4c＝23
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的解以及消元法的应用，关键是应用消元法消去b．
16．（2021·浙江·七年级期末）已知x，y满足方程组．给出下列结论：①若方程组的解也是的解，则；②若方程组的解满足，则；③无论k为何值，；④若，则．正确的是________．（填序号）
【标准答案】②③
【思路指引】
利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解，进而分别分析得出答案．
【详解详析】
解：，
①×3-②得，
∵方程组的解也是x+2y=3的解，
∴，解得：，
∴k=3，故①错误；
∵方程组的解满足，
∴，
∴，故②正确；
∵由①可得：，
∴，故③正确；
∵，
∴x+y=0或x-y=0，
∴y=-x或x=y，
则或，
解得：或，故④错误；
故答案为：②③．
【名师指路】
本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的方法和二元一次方程的解的定义．
17．（2021·浙江南浔·七年级期末）定义一种新的运算：，例如：．若，且关于x，y的二元一次方程，当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为______．
【标准答案】
【思路指引】
根据公式求得，将方程转化得到，由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，得到，解方程组即可．
【详解详析】
解：∵，
∴，
∴，
则方程可转化为，
∴，
∵当a，b取不同值时，方程都有一个公共解，
∴，
解得，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查解二元一次方程组，正确理解由当a，b取不同值时，方程都有一个公共解是解题的关键．
18．（2021·浙江江干·七年级期末）已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①；②当k＝时，x，y的值互为相反数；③2x÷8y＝2z，则z＝1；④若方程组的解也是方程x+y＝2﹣k的解，则k＝0．其中正确的是___．（填写正确结论的序号）
【标准答案】①②③④
【思路指引】
直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【详解详析】
解：①把代入得：，
解两方程得：k=2，故①结论正确；
②当k＝时，原方程组变为，
解得：，
故x，y的值互为相反数，故②结论正确；
③∵2x÷8y=2z，
∴2x÷23y=2z，
则x-3y=z，
∵，解得：，
∴3k-2-3(k-1)=z，
解得：z=1，故此③结论正确；
④若方程组的解也是方程x+y=2-k的解，
解方程组，
得，
∵x+y＝2﹣k
∴3k-2+k-1=2-k，
解得：k=1，故④结论正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故答案为：①②③④．
【名师指路】
本题主要考查了同底数幂的除法，幂的乘方，以及解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程解的定义是解答本题的关键．2·1·c·n·j·y
19．（2021·浙江萧山·七年级期中）已知的解是，求的解为_____．
【标准答案】
【思路指引】
首先将代入，方程同时×5，与方程相比较，即可得出方程组的解．
【详解详析】
把代入方程组得：
，
方程同时×5，
得：，
∴方程组的解为
．
故答案为：．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解以及特殊解法，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的含义．
20．（2021·浙江越城·七年级期末）若方程组 的解是 ，则方程组 的解为__________________21*cnjy*com
【标准答案】x=5.3，y=0.3
【思路指引】
通过观察两个方程组之间的关系，可得到，即可求解．
【详解详析】
方程组 的解是 ，
中，，
解得，
方程组的解为，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出是解题的关键．
三、解答题
21．（2021·浙江·七年级月考）阅读探索：
解：设，原方程组变为
解得，即
此种解方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高：运用上述方法解方程组
（2）能力运用，已知关于的方程组的解为
求关于的方程组的解．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）设，，根据（1）中的结论确定出关于与方程组，求出解得到与的值，即可求出与的值；【出处：21教育名师】
（2）设，根据已知方程组的解确定出与的值即可．
【详解详析】
解：（1）设，，
方程组变形得：，
解得：，即，
解得：；
（2）设，
可得，
解得：．
【名师指路】
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2021·浙江杭州·七年级期中）关于的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值．
【标准答案】 4，0，2
【思路指引】
表示出方程组的解，由方程组的解为正整数确定出整数k的值即可．
【详解详析】
解：方程组，
①×2 ②得：（4 k）y＝8，
解得：y＝，
把y＝代入①得：x＝，
由方程组的解为正整数，得到4 k＝1，2，4，8，
解得：k＝3，2，0， 4，
代入x＝，检验得：k＝2， 4，0，
则整数k的值为 4，0，2．
【名师指路】
此题考查了解二元一次方程组及方程组的特殊解，表示出方程组的解是本题的关键．
23．（2021·浙江·七年级期中）解方程组：
（1）； （2）．
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【详解详析】
解：（1），
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则原方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①②得：，
解得：，
①②得：，
解得：，
则方程组的解为．
【名师指路】
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
24．（2021·浙江·杭州市公益中学七年级期中）已知关于，的方程组，其中是实数．
（1）若，求的值；
（2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
（3）求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值．
【标准答案】（1）；（2）-1；（3）k=6；定值为25．
【思路指引】
（1）把a看做已知数，利用加减消元法求出解即可；
（2）把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值；
（3）将代数式x2-kxy+9y2的配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解．21世纪教育网版权所有
【详解详析】
解：（1）方程组，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为，
令，
解得；
（2）把方程组代入方程得：，
解得：，
则；
（3）
，
且代数式的值与的取值无关，
当时，代数式的值与的取值无关，定值为25．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25．（2021·浙江·七年级期末）如果关于x、y的二元一次方程组解是求关于x、y的方程组的解,
（1）；
（2）
【标准答案】（1）；（2）
【思路指引】
（1）仿照已知方程组的解，列出关于、的方程组，求出方程组的解即可得到、的值即可；
（2）仿照已知方程组的解，列出关于、的方程组，求出方程组的解即可得到、的值即可．
【详解详析】
解：关于、的二元一次方程组的解是，
（1）由可得：，
解得；
（2）由可得：，
解得．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．
26．（2021·浙江萧山·七年级期中）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【标准答案】（1）；（2）．
【思路指引】
（1）利用加减消元法求解即可；
（2）先对原方程进行化简，再利用加减消元法求解即可；
【详解详析】
解：（1），
①×2+②得，7a＝21，
解得a＝3，
将a＝3代入①，得
b＝﹣2，
故原方程组的解是；
（2）
化简①得，3x+2y＝7③，
②×2﹣③得，﹣x＝1，
解得，x＝﹣1，
将x＝3代入②得，y＝5，
故原方程组的解是．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组的步骤是解题的关键．
27．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学七年级开学考试）解关于x，y的方程组 时，甲正确地解出 ，乙因为把c抄错了，误解为 ，求2a+b-c的平方根．
【标准答案】2a+b-c的平方根是±2．
【思路指引】
把代入方程求出c的值，把，分别代入方程求出a和b的值，然后可求出求2a+b-c的平方根．
【详解详析】
把代入方程，得：
，
解得：．
把，分别代入方程，得：
，
解得，
∴，
∴2a+b-c=4，
∴2a+b-c的平方根是±2．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的解，以及二 ( http: / / www.21cnjy.com )元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
28．（2021·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．www-2-1-cnjy-com
（1）求，的值；
（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．
【标准答案】（1）a=1，b=-3；（2）
【思路指引】
（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；
（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有个整数解，确定出k的范围即可．
【详解详析】
解：（1）∵，，
∴，
解得：；
（2）∵a=1，b=-3，
∴，
∴可变形为，
化简得：，
解得：，
∵不等式组恰好只有个整数解，
∴，
解得：．
【名师指路】
此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
29．（2021·浙江·杭州江南实验学校八年级期中）阅读下列材料：
解答“已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x＋y的取值范围“有如下解法，
解：∵x﹣y＝2，又∵x＞1，∴y＋2＞1，即y＞﹣1．
又y＜0，∴﹣1＜y＜0…①
同理，得：1＜x＜2…②
由①＋②，得﹣1＋1＜y＋x＜0＋2，∴x＋y的取值范围是0＜x＋y＜2．
请按照上述方法，完成下列问题：
已知关于x、y的方程组的解都为非负数．
（1）求a的取值范围．
（2）已知2a﹣b＝﹣1，求a＋b的取值范围．
（3）已知a﹣b＝m，若，且b≤1，求a＋b的取值范围（用含m的代数式表示）．
【标准答案】（1）；（2）≤a＋b≤7；（3）3﹣m≤a＋b≤4﹣m
【思路指引】
（1）先把a当作已知求出x、y的值，再根据x、y的取值范围得到关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围即可；
（2）根据阅读材料所给的解题过程，分别求得a、b的取值范围，然后再来求a＋b的取值范围；
（3）根据（1）的解题过程求得a、b取值范围，结合限制性条件得出结论即可．
【详解详析】
解：（1）解方程组得，
∵方程组的解都为非负数，
∴，
解得；
（2）∵2a﹣b＝﹣1，
∴a＝，
∴，
解得4≤b≤5，
∴≤a＋b≤7；
（3）∵a﹣b＝m，≤a≤2，
∴≤m＋b≤2，即﹣m≤b≤2﹣m，
∴3﹣m≤a＋b≤4﹣m．
【名师指路】
本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
30．（2021·浙江温岭·七年级期末）（发现问题）已知，求的值．
方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值．
方法二：将①②，求出的值．
（提出问题）怎样才能得到方法二呢？
（分析问题）
为了得到方法二，可以将①②，可得．
令等式左边，比较系数可得，求得．
（解决问题）
（1）请你选择一种方法，求的值；
（2）对于方程组利用方法二的思路，求的值；
（迁移应用）
（3）已知，求的范围．
【标准答案】（1）2；（2）26；（3）
【思路指引】
（1）利用方法二来求的值；由题意可知；
（2）先根据方法二的基本步骤求出，即可得；
（3）通过方法二得出，再利用不等式的性质进行求解．
【详解详析】
解：（1）利用方法二来求的值；
由题意可知：，
即；
（2）对于方程组，
由①②可得：，
则，
由③④可得：，
，
将代入④可得，
，
则；
（3）已知，
通过方法二计算得：
，
又，
．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．21·世纪*教育网
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