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编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分选择、填空 ( http: / / www.21cnjy.com )、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21·cn·jy·com
第2章 二元一次方程组单元综合提优专练（解析版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（ ）21cnjy.com
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
【标准答案】D
【思路指引】
①将x＝5，y＝﹣1代入检验即可做出判断；
②将x和y分别用a表示出来，然后求出x+y＝3来判断；
③将a＝1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；
④有x+y＝3得到x、y都为自然数的解有4对．
【详解详析】
解：①将x＝5，y＝﹣1代入方程组得：，
由①得a＝2，由②得a＝，故①不正确．
②解方程
①﹣②得：8y＝4﹣4a
解得：y＝，
将y的值代入①得：x＝，
所以x+y＝3，故无论a取何值，x、y的值都不可能互为相反数，故②正确．
③将a＝1代入方程组得：，
解此方程得：，
将x＝3，y＝0代入方程x+y＝3，方程左边＝3＝右边，是方程的解，故③正确．
④因为x+y＝3，所以x、y都为自然数的解有，，，．故④正确．
则正确的选项有②③④．
故选：D．
【名师指路】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
2．（2021·浙江柯桥·七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
【标准答案】B
【思路指引】
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ( http: / / www.21cnjy.com )，一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
【详解详析】
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为，
又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
，
两式相加，得，
则x+y=2400，
∴安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶2400千米．
故选：B．
【名师指路】
本题考查了应用类问题．解题关键是要读懂题 ( http: / / www.21cnjy.com )目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
3．（2021·浙江·七年级期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b的值为（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
【标准答案】B
【思路指引】
将代入方程组，然后利用加减消元法解方程组，从而求解．
【详解详析】
解：∵是关于x，y的二元一次方程组的解
∴，解得：
∴a＋b=-1
故选：B．
【名师指路】
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解方程组的步骤和计算法则，正确计算是解题关键．
4．（2021·浙江·新昌县拔茅中学七年级期中）关于x，y的二元一次方程ax+y=b(a，b是常数，且)，甲、乙、丙、丁四位同学给出了下列四组解，其中只有一组是错误的，则错误的一组是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
将所给的四组解分别代入ax+y= ( http: / / www.21cnjy.com )b，由A得-6a+8=b，代入BCD中的二元一次方程，得出a的值，如果BCD中a的值只有一个不同，则此项为错误项；若BCD中a的值均不相同，则A为错误项．
【详解详析】
解：将所给的四组解分别代入ax+y=b得：
-6a+8=b①
-4a+6=b②
-a+2=b③
5a-3=b④
由①得b=8-6a，
代入②得，a=1
代入③得，a=
代入④得，a=1
∴C项为错误的解
故选：C．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的解，本题也可画图象来解答．
5．如图，把一个长为，宽为的长方形分成五块，其中两个大长方形和两个大正方形分别相同，则中间小正方形的边长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
可以设大正方形的边长为xcm，设小正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )的边长为ycm，根据大长方形的长为26cm，宽为14cm可以得到一个方程组，解得y，即可得小正方形的边长．21*cnjy*com
【详解详析】
解：设大正方形的边长为xcm，设小正方形的边长为ycm，根据题意得：
，
解得：，
故小正方形的边长为6cm．
故选：C．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
6．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】C
【思路指引】
利用换元的思想把变成，然后根据的解释，即可得到求解即可.
【详解详析】
解：∵
∴变形得：
∵方程组的解为
∴利用整体思想可知
解得：
故选C.
【名师指路】
本题主要考查了整体代入的思想解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题目所给的方程进行变形，然后整体代入求解.
7．（2021·浙江杭州·七年级期中）若方程组，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．6
【标准答案】D
【思路指引】
利用加减消元法解二元一次方程组解得a、b值，再代入求解即可．
【详解详析】
解：方程组，
①﹣②×2得：，
将代入②中，得：，
解得：，
∴方程组的解为，
∴，
故选：D．
【名师指路】
本题考查代数式求值、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法步骤是解答的关键．
8．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论a取何值，的值始终不变；
④若不论取何值，的值都为常数，则该常数为．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
【标准答案】B
【思路指引】
先利用加减消元法求出方程组的解，再代入方程即可判断①；根据可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②；将的值代入即可判断③；将的值代入即可判断④．
【详解详析】
解：，
两个方程相加得：，解得，
将代入得：，解得，
则方程组的解为，
当时，方程组的解为，
则，
即当时，方程组的解不是方程的解，结论①错误；
当时，则，
解得，即结论②正确；
将代入得：，
即不论取何值，的值始终不变，结论③正确；
将代入得：
，
则结论④错误；
综上，正确的是②③，
故选：B．
【名师指路】
本题考查了解二元一次方程组、一元一次方程等知识点，熟练掌握方程组的解法是解题关键．
9．（2021·浙江·七年级期末）下列四组值是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【标准答案】B
【思路指引】
把各选项中x、y的值分别代入方程，使方程左右相等的解才是方程的解．
【详解详析】
A.当x=1，y=-1时，3x+4y=-1≠10，故不是方程的解，不符合题意，
B.当x=2，y=1时，3x+4y=10，故是方程的解，符合题意，
C.当x=4，y=5时，3x+4y=32≠10，故不是方程的解，不符合题意，
D.当x=-1，y=0时，3x+4y=-3≠10，故不是方程的解，不符合题意，
故选：B．
【名师指路】
本题考查二元一次方程的解的定义，使方程左右两边等式成立的未知数的值叫做方程的解；会把x，y的值代入原方程验证二元一次方程的解是解题关键．2·1·c·n·j·y
10．（2021·浙江南浔·七年级期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【标准答案】A
【思路指引】
把代入二元一次方程组并解方程组，再把a,b代入．
【详解详析】
把代入二元一次方程组，得
解得
所以＝-2
故选：A
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的解，以及二元 ( http: / / www.21cnjy.com )一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
二、填空题
11．（2021·浙江·七年级期中）小玉只带2元和5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付42元，则付款的方式共有______种．
【标准答案】5
【思路指引】
设2元人民币的数量为x张， 5元人民币的数量为y张，根据题意列二元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
设2元人民币的数量为x张， 5元人民币的数量为y张
根据题意，得
∵x和y均为非负整数
∴当时，
当时，，故舍去
当时，
当时，，故舍去
当时，
当时，，故舍去
当时，
当时，，故舍去
当时，
当时，，故舍去
∴付款的方式共有5种
故答案为：5．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的性质，从而完成求解．
12．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组的解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法，正确的是___________（填写序号）
【标准答案】②③
【思路指引】
①将代入，求出m，n值即可判断；②将m=-3代入，即可得到x-y的值；③根据的形式得到，解之即可；④将m=1代入，求出x和y值，根据结果找到负整数解即可判断．
【详解详析】
解：①当方程组的解是时，代入，
得，解得：，
∴m-n=1，故①错误；
当时，，
∴x-y=，故②正确；
∵的解为，
则由得：，
解得：，故③正确；
当时，，解得：，
当n=2时，，则非负整数解只有，故④错误；
故答案为：②③．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解；理解二元一次方程组的解与方程组的关系，熟练掌握加减消元或代入消元法解方程组是解题的关键．2-1-c-n-j-y
13．（2021·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组的下列说法中，正确的有_______．
①当时，方程的两根互为相反数；②当且仅当时，解得x与y相等；③不论a为何值，x，y满足关系式；④若，则．
【标准答案】①②④
【思路指引】
用代入消元法先求出方程组的解，①根据互为相反数的两个数的和为0，列出方程，求出即可判断；②根据列出方程，求出即可判断；③在原方程中，我们消去，即可得到，的关系；④把底数统一化成，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到，的方程，把方程组的解代入求出．
【详解详析】
解：，
由①得：③，
把③代入②中，得：④，
把④代入③中，得：，
原方程组的解为．
①方程的两根互为相反数，
，
即，
解得：，
①正确；
②当与相等时，，
即，
解得：，
②正确；
③在原方程中，我们消去，得到，的关系，
，
②①得：，
③错误；
④，
，
，
，
，
将方程组的解代入得：，
解得：，
④正确．
综上所述，①②④都正确．
故答案为：①②④．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解法，考核学生的计算能力，解方程组的关键是消元，消元的常用方法是代入消元法和加减消元法．
14．（2021·浙江·七年级期中）设，，其中，是正整数且，若与互补，则________．
【标准答案】
【思路指引】
与互补，得到关于a、b的二元一次方程，找到方程的正整数解，即可求得.
【详解详析】
由题意得：+=，
即+=，
，
，
、是正整数且，
，
，
故答案为：
【名师指路】
此题考查了二元一次方程的特殊解，由两角互补得到二元一次方程是解答此题的关键.
15．（2021·浙江杭州·七年级期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是________．
【标准答案】
【思路指引】
对比两个方程组，可得a+b就是第一个方程组中的x，即a+b=1，同理：a-b=2，可得方程组解出即可．
【详解详析】
解：∵二元一次方程组的解是，
∴关于x．y的二元一次方程组满足，
解得，
故关于a．b的二元一次方程组的解是，
故答案为：．
【名师指路】
此题考查了解二元一次方程组，利用了整体换元的思想解决问题，注意第一个和第二个方程组中的右边要统一．
16．（2021·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____．21·世纪*教育网
【标准答案】4
【思路指引】
由新定义的运算，及，，构造方程组，不难得到参数，，之间的关系．又由有一个非零实数，使得对于任意实数，都有，可以得到一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的的值．
【详解详析】
解：，
由，，即，
，．
又由对于任意实数恒成立，
，
为非零实数，
，
．
．
．
．
故答案为：4．
【名师指路】
本题属于新定义的题目，根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算是关键，同时考查了学生合情推理的能力，属于中档题．
17．（2021·浙江镇海·七年级期中）已知是方程的一个解，则______．
【标准答案】
【思路指引】
结合题意，根据二元一次方程的性质，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案．
【详解详析】
∵是方程的一个解
∴
∴
故答案为：．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程的性质，从而完成求解．
18．（2021·浙江·台州市书生中学七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则方程组的解是____
【标准答案】
【思路指引】
根据题意可得，再将所求方程组变形为：，可得到关于 、 的方程组，解出即可．
【详解详析】
解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是，
∴，
将方程组变形为：
，
∴ ，
解得： ，
∴方程组的解是．
故答案为：．
【名师指路】
本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解即为是方程组中两个方程都成立的未知数的值是解题的关键．
19．（2021·浙江慈溪·七年级期末）学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的，则报甲、乙两个项目的人数之比为______．
【标准答案】．
【思路指引】
设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，根据题意即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，然后进一步化简即可得出答案；
【详解详析】
解：设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，
依题意得：
由①得：
将③代入②得：
化简得：
∴x：y=1：2．
故答案为：1：2．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
20．（2021·浙江·杭州外国语学校七年 ( http: / / www.21cnjy.com )级期末）有一片开心农场，蔬菜每天都在匀速生长，如果每天有20名游客摘菜，6天就能摘完；如果每天有17名游客摘菜，9天就能摘完（规定每名游客每天摘菜量相同），那么每天有14名游客摘菜，___天就能摘完．www-2-1-cnjy-com
【标准答案】18
【思路指引】
首先设原有蔬菜量为a，每天生长的蔬菜量为b，每名游客每天摘菜量为c，有14名游客摘菜x天就能摘完．根据“原蔬菜量＋每天生长的蔬菜量×采摘天数＝每名游客每天摘菜量×人数×天数”列出方程组，可解得x的值即为所求．
【详解详析】
解：首先设原有蔬菜量为a，每天生长的蔬菜量为b，每名游客每天摘菜量为c，有14名游客摘菜x天就能摘完，
依题意得 ，
由②﹣①得：
由③﹣②得：
将④代入⑤得：，
解得：
故答案是：18.
【名师指路】
本题考查方程组的应用，有些应用题，它所涉 ( http: / / www.21cnjy.com )及到的量比较多，量与量之间的关系也不明显，需增设一些表知数辅助建立方程，辅助表知数的引入，在已知条件与所求结论之间架起了一座“桥梁”，对这种辅助未知量，并不能或不需求出，可以在解题中相消或相约，这就是我们常说的“设而不求.”
三、解答题
21．（2021·浙江省余姚市实验学校七年级期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里
注：代驾费由里程费，时长费 ( http: / / www.21cnjy.com )，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元．
小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同．
（1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时间 ( http: / / www.21cnjy.com )比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间．
【标准答案】（1）这两辆车的实际行车时间相差10分钟；（2）小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟．
【思路指引】
（1）设小王的实际车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，根据两人所付代驾费相同列方程求解即可；
（2）根据“等候另一人的时间 ( http: / / www.21cnjy.com )是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟”列二元一次方程，将其与（1）中的二元一次方程联立即可求解．
【详解详析】
解：（1）设小王的实际行车时间为x分钟，小张的实际行车时间为y分钟，由题意得：
2×6+0.5x=2×8+0.5y+1×（8-7），
∴0.5（x-y）=5，
∴x-y=10，
∴这两辆车的实际行车时间相差10分钟；
（2）由（1）及题意得：
，解得
∴小王的实际乘车时间为23分钟，小张的实际乘车时间为13分钟．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程和二元一次方程组在实际问题中的应用，根据等量关系列方程或方程组是解题的关键．
22．（2021·浙江·诸暨牌头中学九年级）某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．
【标准答案】42分
【思路指引】
设、、分别表示答对题、题、题的人数，根据“答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为25，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20”，即可得出关于、、的三元一次方程组，解之即可得出、、的值，由、、的值结合a、b、c三题的分值可求出全班总得分，由、、的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全班总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论．
【详解详析】
解：设、、分别表示答对题、题、题的人数，
由题意可得：①
②
③
①+②+③得：④
④-①得：，同理，，
∴答对一题的人数为，全班人数为，
∴平均成绩为（分）．
答：这个班的平均成绩是42分．
【名师指路】
本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
23．（2021·浙江省衢州市衢 ( http: / / www.21cnjy.com )江区实验中学七年级期末）垃圾对环境的影响日益严重，垃圾危机的警钟被再次拉响．我区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃圾分类投放．若购买A型12只、B型8只，共需4400元；若购买A型6只、B型14只，共需4700元．
（1）求A型、B型垃圾分类回收箱的单价．
（2）现计划用5000元去购买两种不同型号的垃圾分类回收箱，且恰好用完，问共有哪几种购买方案？
【标准答案】（1）A型垃圾分类回收箱的单价为200元，B型垃圾分类回收箱的单价为250元；（2）共有4种购买方案，见解析
【思路指引】
(1)设A型垃圾分类回收箱的单价为x元，B型垃圾分类回收箱的单价为y元，条件即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买A型垃圾分类回收箱m个 ( http: / / www.21cnjy.com )，B型垃圾分类回收箱n个，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解详析】
(1)设A型垃圾分类回收箱的单价为x元，B型垃圾分类回收箱的单价为y元，
依题意得：
，
解得：，
答：A型垃圾分类回收箱的单价为200元，B型垃圾分类回收箱的单价为250元；
(2)设购买A型垃圾分类回收箱m个，B型垃圾分类回收箱n个，
依题意得：200m+ 250n= 5000，
，
又m，n均为正整数，
或 或 或，
共有4种购买方案，
方案1：购买A型垃圾分类回收箱20个，B型垃圾分类回收箱4个；
方案2：购买A型垃圾分类回收箱15个，B型垃圾分类回收箱8个；
方案3：购买A型垃圾分类回收箱10个，B型垃圾分类回收箱12个；
方案4：购买A型垃圾分类回收箱5个，B型垃圾分类回收箱16个．
【名师指路】
本题考查了二元一次方程组的 ( http: / / www.21cnjy.com )应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24．（2021·浙江·台州市书生中学七 ( http: / / www.21cnjy.com )年级期中）水果商贩老徐到“农港城”进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．现购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元．
（1）问草莓、苹果各购买了多少箱？
（2）现有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓和苹果，甲店分别获利15元和20元，乙店分别获利12元和16元设老徐将购进的60箱水果分配给甲店草莓a箱，苹果b箱，其余均分配给乙店由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果．
①若老徐在甲店获利600元，则他在乙店获利多少元？
②若老徐希望获得总利润为1000元，则= （直接写出答案）
【标准答案】（1）草莓35箱，苹果25箱；（2）①340元；②52或53
【思路指引】
（1）设草莓买了x箱，则苹果买了（60－x）箱，利用“总价=单价×数量”即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）①利用“总利润=每 ( http: / / www.21cnjy.com )箱的利润×销售数量”即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得出3a+4b＝120，再结合“总利润=每箱的利润×销售数量”可求出他在乙店获得的利润；②利用“总利润=每箱的利润×销售数量”即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可求出a，b的值，再将其代入即可求出结论．
【详解详析】
解：（1）设草莓买了x箱，则苹果买了（60－x）箱，
依题意得：60x+40(60－x)=3100，
解得：x=35，
∴苹果：60－35=25（箱），
答：草莓买了35箱，苹果买了25箱；
（2）①老徐在甲店获利600元，
∴15a+20b=600，
∴3a+4b=120，
他在乙店获得的利润为：12(35－a)+16(25－b)=420－12a +400－16b=820－4(3a+4b)，
∴乙店获利为：820－4×120=340（元），
答：他在乙店获利340元；
②由题意得：15a+20b+12(35－a)+16(25－b)=1000，
化简得：3a+4b=180，
∵a，b为正整数，且，，
∴或，
∴a+b=52或53．
故答案为：52或53．
【名师指路】
本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键，注意实际问题取值时要考虑实际意义．【出处：21教育名师】
25．（2021·浙江·七年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )末）某校准备组织七年级学生参加夏令营，已知：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．【版权所有：21教育】
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）请你帮学校设计出所有的租车方案；
（3）若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．
【标准答案】（1）1辆小客车 ( http: / / www.21cnjy.com )和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生（2）租车方案有3种，①小客车20辆，大客车0辆；②小客车11辆，大客车4辆；③小客车2辆，大客车8辆（3）租小客车2辆，大客车8辆最省钱【来源：21cnj*y.co*m】
【思路指引】
（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大 ( http: / / www.21cnjy.com )客车都坐满后一次可送y名学生，根据题意可得等量关系：①用3辆小客车拉的人数+1辆大客车拉的人数=运送学生105人；②用1辆小客车拉的人数+2辆大客车拉的人数=运送学生110人，根据等量关系列出方程组，再解即可；
（2）设租小客车a辆，大客车b辆，由题意得：20×小客车的数量+45×大客车的数量=400人，根据等量关系列出方程，求出非负整数解即可；
（3）分别计算出每种租车方案的钱数，进行比较即可．
【详解详析】
（1）设1辆小客车一次可送学生x人，1辆大客车都坐满后一次可送y名学生，
由题意得：，
解得：，
所以x+y=65，
答：1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送65名学生；
（2）设租小客车a辆，大客车b辆，由题意得：
20a+45b=400，可变形为，
∵每辆汽车恰好都坐满，
∴a、b的值均为非负整数，
∴a、b可取，，，
∴租车方案有3种，①小客车20辆，大客车0辆；②小客车11辆，大客车4辆；③小客车2辆，大客车8辆；
（3）各种租车费用：①20×200=4000（元）；②11×200+4×380=3720（元）；③2×200+8×380=3440（元）；
∵3440＜3720＜4000，
∴租小客车2辆，大客车8辆最省钱
26．（2021·浙江杭州·七年级期中）我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：）
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）列出方程（组），求出图中与的值．
（2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．
①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张；
②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格：
礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个）
型（张）
型（张） ________
③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【标准答案】（1）a=60、b=40；（2）①84，48；②见解析；③2张
【思路指引】
（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解．
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数；
②同样由图示完成表格；
③根据A型板材恰好用完，得到4x+3y=84，求出整数解，再比较计算即可．
【详解详析】
解：（1）由题意得：
，
解得：，
答：图甲中a与b的值分别为：60、40．
（2）①由图示裁法一产生A型板材为：2×40=80，裁法二产生A型板材为：1×4=4，所以两种裁法共产生A型板材为80+4=84（张），21教育网
由图示裁法一产生B型板材为：1×40=40，裁法二产生A型板材为，2×4=8，所以两种裁法共产生B型板材为40+8=48（张），www.21-cn-jy.com
故答案为：84，48．
②由已知和图示得：横式无盖礼品盒的y个，每个礼品盒用2张B型板材，所以用B型板材2y张．
礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个）
型（张）
型（张） 2y
③由上表可知横式无盖款式共5y个面，用A型3y张，则B型需要2y张．
则做两款盒子共需要A型（4x+3y）张，B型（x+2y）张．
要使A型板材恰好用完，
则4x+3y=84，
∴x=21-y，
当y=20时，x=6，则x+2y=46，
当y=24时，x=3，则x+2y=51＞48，
当y=16时，x=9，则x+2y=41，
∴48-46=2张，
∴B型板材最少剩2张．
【名师指路】
本题考查的知识点是二元一次方程（组）的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再根据图示解答．21教育名师原创作品
27．（2021·浙江·七年级期中）台州汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自射线顺时针旋转至射线便立即回转，灯B射线自射线顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求a，b的值；
（2）若两灯同时转动，经过40秒，两灯射出的光束交于C，求此时的度数；
（3）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（直接写出答案）
【标准答案】（1）a=4，b=1；（2）60°；（3）t=或t=70或t=或t=142
【思路指引】
（1）a-3b-1=0，且a+b-4=0，即可a与b；
（2）t=40时，∠PBC=40°，∠MAC=160°，由PQ∥MN，可得∠ACB=60°；
（3）①当0＜t＜45时，4t=10+7 ( http: / / www.21cnjy.com )，②当45＜t＜90时，360-4t=10+t，③当90＜t＜135时，4t-360=10+t，④当135＜t＜170时，720-4t=10+t．
【详解详析】
解：（1）∵a、b满足|a-3b-1|+（a+b-5）2=0，
∴a-3b-1=0，且a+b-5=0，
∴a=4，b=1；
（2）若两灯同时转动，t=40时，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则∠PBC=40°，∠MAC=160°，
∴∠NAC=180°-160°=20°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCE=40°，∠ACE=20°，
∴∠ACB=∠BCE+∠ACE=60°；
（3）①当0＜t＜45时，
∴4t=10+t，
解得t=，
②当45＜t＜90时，
∴360-4t=10+t，
解得t=70；
③当90＜t＜135时，
∴4t-360=10+t，
解得t=，
④当135＜t＜170时，
∴720-4t=10+t，
解得t=142；
综上所述：t=或t=70或t=或t=142．
【名师指路】
本题考查二元一次方程组的解法，平行线的性质；掌握平行线平行时角的关系是解题的关键．
28．（2021·浙江杭州·七年级期中）阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数x、y我们定义一种新运算，（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则_______，_______；
（2）已知，，若正格线性数（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．21世纪教育网版权所有
【标准答案】（1）11，3；（2）有，x=2，y=6
【思路指引】
（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据题中的新定义化简已知等式，由x，y都为正整数，k为整数，确定出所求即可．
【详解详析】
解：（1）根据题中的新定义得：L（2，3）=2+3×3=2+9=11，
；
（2）根据题中的新定义化简=2，得：，
解得：b=2，
化简L（x，kx）=18，得：3x+2kx=18，
依题意，x，y都为正整数，k是整数，
∴3+2k是奇数，
∴3+2k=1，3，9，
解得：k=-1，0，3，
当k=-1时，x=18，kx=-18，舍去；
当k=0时，x=6，kx=0，舍去；
当k=3时，x=2，kx=6，
综上，k=3时，存在正格数对x=2，y=6满足条件．
【名师指路】
此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
29．（2021·浙江上虞·七年级期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且， 满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）__________，__________．
（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？21*cnjy*com
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
【标准答案】（1）4；1；（2）或67.2或128；（3）不变，
【思路指引】
（1）根据平方的非负性即可求出a，b；
（2）设A灯转动x秒，两灯的光束互相平行，分三种情况进行讨论，分别求得t的值即可；
（3）设灯A射线转动时间为x秒，根据，=，可得∠BAC与∠BCD的数量关系．
【详解详析】
解：（1）∵
∴
解得
故答案为：4；1.
（2）设灯光射线转动秒时，两灯的光射线互相平行．
①当灯光射线转第1轮时，
有，则．
②当灯光射线转第2轮时，
有，则．
③当灯光射线转第3轮时，
有，则．
综上：或67.2或128秒时，两灯的光射线互相平行．
（3）设灯转动秒，
∵∠CAN=
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【名师指路】
本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以 ( http: / / www.21cnjy.com )及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均为0．
30．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
【标准答案】（1）， （2）m=（3）（4）
【思路指引】
（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；
（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程x-2y+mx+5=0即可求m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程组，解方程组即可；
（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.
【详解详析】
（1）
（2） 解得
把代入，解得m=
（3）
（4）
①+②得：
解得，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1,
解得
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
编者学科君小注：
本专辑专为2022年初中浙教版数学第二学期研发，供中等及以上学生使用。
思路设计：重在培优训练，分 ( http: / / www.21cnjy.com )选择、填空、解答三种类型题，知识难度层层递进，由中等到压轴，基础差的学生选做每种类型题的前4题；基础中等的学生必做前4题、选做5-8题；尖子生全部题型必做，冲刺压轴题。21cnjy.com
第2章 二元一次方程组单元综合提优专练（原卷版）
错误率：___________易错题号：___________
一、单选题
1．已知关于x、y的方程组给出下列结论：①是方程组的解；②无论a取何值，x，y的值都不可能互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y的值都为自然数的解有4对，其中正确的有（ ）2·1·c·n·j·y
A．①③ B．②③ C．③④ D．②③④
2．（2021·浙江柯桥·七年级 ( http: / / www.21cnjy.com )期末）自行车的轮胎安装在前轮上行驶3000千米后报废，安装在后轮上，只能行驶2000千米，为了行驶尽可能多的路程，采取在自行车行驶一定路程后，用前后轮调换使用的方法，那么安装在自行车上的这对轮胎最多可行驶多少千米？（ ）21*cnjy*com
A．2300千米 B．2400千米 C．2500千米 D．2600千米
3．（2021·浙江·七年级期末）已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则a＋b的值为（ ）【版权所有：21教育】
A．﹣5 B．﹣1 C．3 D．7
4．（2021·浙江·新昌县拔茅中学七年级期中）关于x，y的二元一次方程ax+y=b(a，b是常数，且)，甲、乙、丙、丁四位同学给出了下列四组解，其中只有一组是错误的，则错误的一组是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把一个长为，宽为的长方形分成五块，其中两个大长方形和两个大正方形分别相同，则中间小正方形的边长为（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
6．（2021·浙江杭州·七年级期中）已知方程组的解是，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·浙江杭州·七年级期中）若方程组，则的值为（ ）
A． B．12 C． D．6
8．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x、y的方程组，则下列结论中正确的是（ ）
①当时，方程组的解也是方程的解；
②当时，；
③不论a取何值，的值始终不变；
④若不论取何值，的值都为常数，则该常数为．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
9．（2021·浙江·七年级期末）下列四组值是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江南浔·七年级期末）已知是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
二、填空题
11．（2021·浙江·七年级期中）小玉只带2元和5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付42元，则付款的方式共有______种．21教育名师原创作品
12．（2021·浙江·七年级期中）已知关于x，y的二元一次方程组，
①当方程组的解是时，m，n的值满足；
②当时，无论n取何值，的值始终不变；
③当方程组的解是时，方程组的解为；
④当时，满足x，y都是非负整数的解最多有2组．
以上说法，正确的是___________（填写序号）
13．（2021·浙江杭州·七年级期中）在关于x，y的二元一次方程组的下列说法中，正确的有_______．【来源：21cnj*y.co*m】
①当时，方程的两根互为相反数；②当且仅当时，解得x与y相等；③不论a为何值，x，y满足关系式；④若，则．21*cnjy*com
14．（2021·浙江·七年级期中）设，，其中，是正整数且，若与互补，则________．21·cn·jy·com
15．（2021·浙江杭州·七年级期中）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的二元一次方程组的解是________．
16．（2021·浙江·七年级期末）对于实数x，y定义新运算其中a，b，c为常数，若，且有一个非零常数d，使得对于任意的x，恒有，则d的值是____．
17．（2021·浙江镇海·七年级期中）已知是方程的一个解，则______．
18．（2021·浙江·台州市书生中学七年级期中）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则方程组的解是____
19．（2021·浙江慈溪·七年级期末）学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的；同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的，同时兼报乙、丙两项目的人数占报乙项目的人数的；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目人数的，则报甲、乙两个项目的人数之比为______．
20．（2021·浙江·杭州外国 ( http: / / www.21cnjy.com )语学校七年级期末）有一片开心农场，蔬菜每天都在匀速生长，如果每天有20名游客摘菜，6天就能摘完；如果每天有17名游客摘菜，9天就能摘完（规定每名游客每天摘菜量相同），那么每天有14名游客摘菜，___天就能摘完．
三、解答题
21．（2021·浙江省余姚市实验学校七年级期中）代驾已成为人们酒后出行的常见方式，其计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里
注：代驾费由里程费，时长费 ( http: / / www.21cnjy.com )，远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式：行车里程7公里以内（含7公里）不收取远途费，超过7公里的，超出部分每公里收取1元．
小王和小张由于酒后出行，各自雇佣代驾，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的行车里程分别是6公里和8公里，两人所付代驾费相同．21教育网
（1）求这两辆车的实际行车时间相差多少分钟；
（2）实际乘车时间较少的人，由于出发时 ( http: / / www.21cnjy.com )间比另一个人早，所以提前到达约定地点在大厅等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的3倍，且比另一人的实际乘车时间多16分钟，计算两人各自的实际乘车时间．
22．（2021·浙江·诸暨牌头中学九年级）某班参加一次智力竞赛，共，，三道题，每题或者得满分或者得0分．其中题满分20分，、题满分都为25分，竞赛结果：每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题的人数与答对题的人数之和为29；答对题的人数与答对题的人数之和为25；答对题的人数与答对题的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少．
23．（2021·浙江省衢州市衢江区实验 ( http: / / www.21cnjy.com )中学七年级期末）垃圾对环境的影响日益严重，垃圾危机的警钟被再次拉响．我区某中学积极响应国家号召，落实垃圾“分类回收，科学处理”的政策，准备购买A、B两种型号的垃圾分类回收箱，放在校园各个合适位置，以方便师生进行垃圾分类投放．若购买A型12只、B型8只，共需4400元；若购买A型6只、B型14只，共需4700元．
（1）求A型、B型垃圾分类回收箱的单价．
（2）现计划用5000元去购买两种不同型号的垃圾分类回收箱，且恰好用完，问共有哪几种购买方案？
24．（2021·浙江·台州市书生中 ( http: / / www.21cnjy.com )学七年级期中）水果商贩老徐到“农港城”进货，他了解到草莓的批发价格是每箱60元，苹果的批发价格是每箱40元．现购得草莓和苹果共60箱，刚好花费3100元．
（1）问草莓、苹果各购买了多少箱？
（2）现有甲、乙两家店铺，每售出一箱草莓和苹果，甲店分别获利15元和20元，乙店分别获利12元和16元设老徐将购进的60箱水果分配给甲店草莓a箱，苹果b箱，其余均分配给乙店由于他口碑良好，两家店都很快卖完了这批水果．
①若老徐在甲店获利600元，则他在乙店获利多少元？
②若老徐希望获得总利润为1000元，则= （直接写出答案）
25．（2021·浙江·七年级期末）某校准 ( http: / / www.21cnjy.com )备组织七年级学生参加夏令营，已知：用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人；用一辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人，现有学生400人，计划租用小客车a辆，大客车b辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满．
（1）1辆小客车和1辆大客车都坐满后一次可送多少名学生？
（2）请你帮学校设计出所有的租车方案；
（3）若小客车每辆需租金200元，大客车每辆需租金380元，请选出最省钱的方案，并求出最省租金．
26．（2021·浙江杭州·七年级期中）我市某包装生产企业承接了一批大型会议的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材，如图1所示，（单位：）21世纪教育网版权所有
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（1）列出方程（组），求出图中与的值．
（2）在试生产阶段，若将40张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒．【出处：21教育名师】
①两种裁法共产生型板材________张，型板材________张；
②设做成的竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，根据题意完成表格：
礼品盒板材 竖式无盖纸盒（个） 横式无盖纸盒（个）
型（张）
型（张） ________
③若做成图2所示的竖式与横式两种无盖礼品盒将裁得的型板材恰好用完，求裁得的型板材最少剩几张？
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27．（2021·浙江·七年级期中）台州汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况，如图，灯A射线自射线顺时针旋转至射线便立即回转，灯B射线自射线顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是a度/秒，灯B转动的速度是b度/秒，且a，b满足．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即，且．www.21-cn-jy.com
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（1）求a，b的值；
（2）若两灯同时转动，经过40秒，两灯射出的光束交于C，求此时的度数；
（3）若灯B射线先转动10秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（直接写出答案）21·世纪*教育网
28．（2021·浙江杭州·七年级期中）阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数x、y我们定义一种新运算，（其中a、b均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中x、y叫做线性数的一个数对，若实数x、y都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的x、y叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则_______，_______；
（2）已知，，若正格线性数（其中k为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．2-1-c-n-j-y
29．（2021·浙江上虞·七年级期末）我区防汛指挥部在一河道的危险地带两岸各安置一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环灯光射线自顺时针旋转至便立即逆时针旋转至，如此循环．两灯交叉照射且不间断巡视．若灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒，且， 满足．若这一带江水两岸河堤相互平行，即，且．根据相关信息，解答下列问题．
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（1）__________，__________．
（2）若灯的光射线先转动24秒，灯的光射线才开始转动，在灯的光射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光射线互相平行？www-2-1-cnjy-com
（3）如图2，若两灯同时开始转动照射，在灯的光射线到达之前，若两灯射出的光射线交于点，过点作交于点，则在转动的过程中，与间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出这两角间的数量关系；若改变，请求出各角的取值范围．
30．（2021·浙江·七年级期末）已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．
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