2022年初中数学浙教版七年级下册1.3平行线的判定 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021七下·柯桥月考）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
2．（2021七下·萧山期末）如图，下列条件中①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠2＋∠5＝∠6 ；④∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．（2021七下·松原期中）如图，下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021七下·梁园期末）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交.（3）相等的两个角是对顶角.（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.其中正确的有（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．（2021七下·和平期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
二、填空题
6．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对．
7．（2021七下·黄山期末）如图，添加一个条件 ，使AB∥CD．
8．（2021七下·召陵期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°.能判断AB∥CD的有 个.
9．（2021七上·越城期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4.试说明DF∥AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整.
证明：∵ （ ）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（ ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）.
10．（2020七下·丰台期末）如图，木工师傅可以用角尺画平行线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
三、综合题
11．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
12．（2021七下·大兴期中）如图，点
在直线
上，
，
与
互余，
是
上一点，连接 OE．
（1）求证：
．
（2）若
平分
，
，求
的度数．
13．（2021七上·伊川期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
（1）请说明AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行，为什么？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、第一次向左拐30°，第二次向右拐30°，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 正确；
B、第一次向右拐50°，第二次向左拐130°，两次拐弯后相当于向左拐了90°，与原来的方向垂直，错误；
C、第一次向右拐50°，第二次向右拐130°, 两次拐弯后相当于向右拐了180°，与原来的方向相反，错误；
D、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°，两次拐弯后相当于向左拐了180°，与原来的方向相反，错误；
故答案为：A.
【分析】分别按步骤求出两次拐弯后汽车行驶的方向，再和原来的方向比较即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴AD//BC；
②∵∠3=∠4，
∴AB//CD；
③∵∠2+∠5=∠6，∠1+∠5=∠6，
∴∠1=∠2，
∴AD//BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD//BC；
可以判断AD//BC的有①③④.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定定理，可得到能判断AD∥BC的个数，由此可得答案.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. ∵ 不是直线 形成的内错角与同位角，
∴ 故不能判断 ；
B. ∵ 是直线 形成的内错角，
∴ 可判断 ，故不能判断 ；
C.∵ 直线 形成的同旁内角，
∴ ，
∴ ，
故可判定 ；
D. ∵ 是直线 形成的同位角，
∴ 可判断 ，故不能判断 ；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可。
4．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）同位角不一定相等，原选项错误，不符合题意.
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，符合题意.
（3）相等的两个角不一定是对顶角，比如，角平分线分得的两个角，原选项错误，不符合题意.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相交线和平行线的性质进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析求解即可。
6．【答案】2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFA=∠CDA=90°，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠EDC，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BC，
即图中互相平行的直线有2对，
故答案为：2．
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可．
7．【答案】∠1＝∠2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1＝∠2时，可得到AB∥CD；
当∠A+∠ADC＝180°时，可得到AB∥CD；
当∠ABC+∠C＝180°时，可得到AB∥CD．
故答案为：∠1＝∠2（不唯一）．
【分析】根据两直线平行的判定方法求解即可。
8．【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确.
即正确的有（2）（3）（4）.
故答案为3.
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.
9．【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：如图：
∵ CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° （ 垂直定义 ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 （ 等角的余角相等 ），
∴DF∥AE （ 内错角相等，两直线平行 ）.
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行.
【分析】先利用垂直定义得出∠CDA=90°，∠DAB=90° ，再利用等角的余角相等得出∠2=∠3 ，最后利用内错角相等，两直线平行证明结论.
10．【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
或∵∠ACD=∠AEF=90°，
∴CD//EF（同位角相等两直线平行），
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
11．【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
12．【答案】（1）解：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵∠1+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠1+∠BOD=90°，
∵∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ 平分 ，∠COD=90°，
∴∠FOD=45°
∵ ，∠D+∠OFD+∠FOD=180°，
∴∠D=65°
∵∠1+∠D=90°，
∴∠1=25°．
【知识点】平行线的判定；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知证得 ∠AOD+∠D=180°，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FOD=45° ，由平行线的性质得到
，进而得出答案。
13．【答案】（1）解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
（2）解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义).
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】 (1) 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 即可说明AB∥CD.
(2)根据同位角相等，两直线平行 可以判断出BM与DN平行.
1 / 12022年初中数学浙教版七年级下册1.3平行线的判定 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021七下·柯桥月考）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C．第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
D．第一次向左拐50°，第二次向左拐130°
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、第一次向左拐30°，第二次向右拐30°，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 正确；
B、第一次向右拐50°，第二次向左拐130°，两次拐弯后相当于向左拐了90°，与原来的方向垂直，错误；
C、第一次向右拐50°，第二次向右拐130°, 两次拐弯后相当于向右拐了180°，与原来的方向相反，错误；
D、第一次向左拐50°，第二次向左拐130°，两次拐弯后相当于向左拐了180°，与原来的方向相反，错误；
故答案为：A.
【分析】分别按步骤求出两次拐弯后汽车行驶的方向，再和原来的方向比较即可得出答案.
2．（2021七下·萧山期末）如图，下列条件中①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠2＋∠5＝∠6 ；④∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①∵∠1=∠2，
∴AD//BC；
②∵∠3=∠4，
∴AB//CD；
③∵∠2+∠5=∠6，∠1+∠5=∠6，
∴∠1=∠2，
∴AD//BC；
④∵∠DAB+∠2+∠3=180°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴AD//BC；
可以判断AD//BC的有①③④.
故答案为：A.
【分析】利用平行线的判定定理，可得到能判断AD∥BC的个数，由此可得答案.
3．（2021七下·松原期中）如图，下列条件中能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A. ∵ 不是直线 形成的内错角与同位角，
∴ 故不能判断 ；
B. ∵ 是直线 形成的内错角，
∴ 可判断 ，故不能判断 ；
C.∵ 直线 形成的同旁内角，
∴ ，
∴ ，
故可判定 ；
D. ∵ 是直线 形成的同位角，
∴ 可判断 ，故不能判断 ；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定方法逐一判断即可。
4．（2021七下·梁园期末）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交.（3）相等的两个角是对顶角.（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.其中正确的有（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）同位角不一定相等，原选项错误，不符合题意.
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，符合题意.
（3）相等的两个角不一定是对顶角，比如，角平分线分得的两个角，原选项错误，不符合题意.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相交线和平行线的性质进行判断即可.
5．（2021七下·和平期中）在如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）
A．如图1，展开后测得∠1＝∠2
B．如图2，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4
C．如图3，测得∠1＝∠2
D．在图4中，展开后测得∠1+∠2＝180°
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、当∠1＝∠2时，a∥b；
B、由∠1＝∠2且∠3＝∠4可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b；
C、∠1＝∠2不能判定a，b互相平行；
D、由∠1+∠2＝180°可知a∥b；
故答案为：C．
【分析】根据平行线的判定定理，进行分析求解即可。
二、填空题
6．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线有 对．
【答案】2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴∠EFA=∠CDA=90°，
∴EF∥CD，
∴∠1=∠EDC，
∵∠1=∠2，
∴∠EDC=∠2，
∴DE∥BC，
即图中互相平行的直线有2对，
故答案为：2．
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行）推出即可．
7．（2021七下·黄山期末）如图，添加一个条件 ，使AB∥CD．
【答案】∠1＝∠2
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠1＝∠2时，可得到AB∥CD；
当∠A+∠ADC＝180°时，可得到AB∥CD；
当∠ABC+∠C＝180°时，可得到AB∥CD．
故答案为：∠1＝∠2（不唯一）．
【分析】根据两直线平行的判定方法求解即可。
8．（2021七下·召陵期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°.能判断AB∥CD的有 个.
【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确.
即正确的有（2）（3）（4）.
故答案为3.
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.
9．（2021七上·越城期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4.试说明DF∥AE.请你完成下列填空，把证明过程补充完整.
证明：∵ （ ）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（ ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴ （ ），
∴DF∥AE（ ）.
【答案】CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：如图：
∵ CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° （ 垂直定义 ）.
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°.
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 （ 等角的余角相等 ），
∴DF∥AE （ 内错角相等，两直线平行 ）.
故答案为：CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行.
【分析】先利用垂直定义得出∠CDA=90°，∠DAB=90° ，再利用等角的余角相等得出∠2=∠3 ，最后利用内错角相等，两直线平行证明结论.
10．（2020七下·丰台期末）如图，木工师傅可以用角尺画平行线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
【答案】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD//EF（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）
或∵∠ACD=∠AEF=90°，
∴CD//EF（同位角相等两直线平行），
故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行或根据同位角相等两直线平行．
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
三、综合题
11．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
12．（2021七下·大兴期中）如图，点
在直线
上，
，
与
互余，
是
上一点，连接 OE．
（1）求证：
．
（2）若
平分
，
，求
的度数．
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠COD=90°，
∵∠1+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠1+∠BOD=90°，
∵∠1+∠D=90°，
∴∠D=∠BOD，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ 平分 ，∠COD=90°，
∴∠FOD=45°
∵ ，∠D+∠OFD+∠FOD=180°，
∴∠D=65°
∵∠1+∠D=90°，
∴∠1=25°．
【知识点】平行线的判定；线段的计算；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知证得 ∠AOD+∠D=180°，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠FOD=45° ，由平行线的性质得到
，进而得出答案。
13．（2021七上·伊川期末）如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1＝∠2.
（1）请说明AB∥CD；
（2）试判断BM与DN是否平行，为什么？
【答案】（1）解：∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴AB∥CD(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行)
（2）解：BM∥DN.理由如下：
∵AB⊥EF，CD⊥EF，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°(垂直的定义).
∵∠1＝∠2，
∴∠ABE－∠1＝∠CDE－∠2，
即∠MBE＝∠NDE.
∴BM∥DN(同位角相等，两直线平行)
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】 (1) 根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 即可说明AB∥CD.
(2)根据同位角相等，两直线平行 可以判断出BM与DN平行.
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