2022年初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021七下·平顶山期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
2．（2021七上·沈丘期末）如图所示，BE平分∠CBA，DE//BC，∠ADE=50°，则∠DEB的度数为（ ）
A．10° B．25° C．15° D．20°
3．（2021七下·丽水期中）如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
4．（2021七下·丽水期中）如图，AB∥EF∥CD，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中与∠EOD相等的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．（2021八上·巨野月考）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
二、填空题
6．（2021七下·曲阳期中）如图，直线 ，则 ．
7．（2021七下·毕节期中）若 与 的两边分别平行，且 °， °，则∠α的余角度数为 ．
8．（2021七下·松原期中）如图,已知AD∥BE,点C是直线FG上的动点,若在点C的移动过程中,存在某时刻使得∠ACB=45°,
∠DAC=22°,则∠EBC的度数为 .
9．（2021七下·鄞州期末）将一副三角板按如图摆放，已知直线 ，则 的度数为 .
10．（2021七下·福田期中）如图所示的网格式正方形网格，A、B、P是网格线交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
三、综合题
11．（2021八上·寿县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．
12．（2021八上·阜新期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝B，
（1）证明：EF∥AB.
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由.
13．（2020七上·大庆期末）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=60°，∠FEG=90°，
∴∠3=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°.
故答案为：D.
【分析】先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数。
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE=50°，∠DEB=∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DEB=∠EBC= ∠ABC=25°.
故答案为：25.
【分析】先由二直线平行，同位角相等得出∠ABC的度数，再由角平分线的性质得出∠EBC，最后根据二直线平行，内错角相等即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED∥CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB∥ED，ED∥CF，
∴AB∥CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°，
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴β＝2α ，
故答案为：B.
【分析】作CF∥ED，由AB∥ED，利用两直线平行同旁内角相等，∠D+∠DCF=180°，再由AB∥ED∥CF，再利用两直线平行同旁内角相等，分别∠D+∠DCF=180°，∠B+∠BCF=180°，两式相加即得∠B+∠C+∠D =360°，从而得出结论.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠EOD=∠BOF（对顶角相等），
∵EF∥CD，
∴∠BOF=∠BDC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴BD平分∠ADC，
∴∠BDC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∴∠EOD=∠BOF=∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD，
共有5个角和∠EOD相等，
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质得角相等，然后结合平行线的性质定理和角平分线的定义最终推得∠EOD=∠BOF=∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD即可解答.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBE，∵EF∥BC，∴∠DBC=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，同理可得，CF=DF，∴△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，∵BC=6，∴△ABC的周长=9+6=15．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到BE=DE，DF=FC，所以△AEF的周长=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，再结合BC=6，即可得到△ABC的周长。
6．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点C作CD∥a，
∵直线 ，
∴CD∥b，
∴∠ACD=30°，∠DCB=50°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB =30°+50°=80°，
故答案为：80°．
【分析】过点C作CD∥a，直线 ，得出CD∥b，∠ACD=30°，∠DCB=50°，即可得出∠ACB的度数。
7．【答案】20°或4°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 的两边分别平行，
∴∠α+∠β=180°或∠α=∠β，
∴2x+10=3x-20或2x+10+3x-20=180°
解之：x=30°或38°.
∴∠α=2×30°+10°=70°或∠α=2×38°+10°=86°；
∴∠α的余角度数为90°-70°=20°或90°-86°=4°.
故答案为：20°或4°.
【分析】利用 与 的两边分别平行，可得到这两个角相等或互补，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠α的度数；再利用余角的定义可求出∠α的余角.
8．【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE, ∴AD∥BE∥PC,
∵AD∥PC, ∴∠ACP=∠DAC,
同理可得：∠BCP=∠EBC,
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC, ∠ACB=45°, ∠DAC=22°,
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，由AD∥BE，得出AD∥BE∥PC,同理可得：∠BCP=∠EBC,由∠ACB=∠ACP+∠EBC, ∠ACB=45°, ∠DAC=22°,得出∠EBC的度数。
9．【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵m∥n，即DE∥AB，
∴∠EDA+∠DAB=180°，
即∠1+∠CDA+∠DAC+∠CAB=180°，
∵∠CDA=90°，∠DAC=45°，∠CAB=30°，
∴∠1=180° 90° 45° 30°=15°.
故答案为：15°.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠EDA+∠DAB=180°，即可得到∠1+∠CDA+∠DAC+∠CAB=180°，将相关角的度数代入，可求出∠1的度数.
10．【答案】45
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵PB∥AC，
∴∠B＝∠BAC，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠BAC＝∠PAC＝45°，
故答案为：45．
【分析】作PB∥AC，再利用平行线的性质得到∠B＝∠BAC，最后利用角的运算求解即可。
11．【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
这两个角的度数为30°，30°或70°和110°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①如图1
∵
∴
如图2，
故答案为： ，
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②求出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补即可作答；
（2）先求出 x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 再求出 x=30°或x=70°， 即可作答。
12．【答案】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∠AED与∠C相等.
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等，可得∠2＝∠DFE，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）∠AED与∠C相等. 理由： 根据两直线平行，内错角相等，可得∠3＝∠ADE，由等量代换，可得∠B＝∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可得DE∥BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠AED＝∠C.
13．【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥B′F，∴∠MEA′＝∠MFB′，
∴∠MEA′－∠MEB＝∠MFB′－∠MFD，即∠1＝∠2；
（2）解：由折叠知，∠B′FN＝ ＝70°，
∵A′E∥B′F，∴∠A′EN＝∠B′FN＝70°，
∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°＋40°＝110°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠MEB＝∠MFD ，再求出 ∠MEA′＝∠MFB′， 进行求解即可；
（2）根据折叠求出 ∠B′FN＝ 70°，再根据平行线的性质进行求解即可。
1 / 12022年初中数学浙教版七年级下册1.4平行线的性质 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021七下·平顶山期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1=60°，则∠2的度数为（ ）
A．60° B．45° C．50° D．30°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=60°，∠FEG=90°，
∴∠3=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°.
故答案为：D.
【分析】先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数。
2．（2021七上·沈丘期末）如图所示，BE平分∠CBA，DE//BC，∠ADE=50°，则∠DEB的度数为（ ）
A．10° B．25° C．15° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ABC=∠ADE=50°，∠DEB=∠EBC，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠DEB=∠EBC= ∠ABC=25°.
故答案为：25.
【分析】先由二直线平行，同位角相等得出∠ABC的度数，再由角平分线的性质得出∠EBC，最后根据二直线平行，内错角相等即可得出答案.
3．（2021七下·丽水期中）如图，AB∥ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（ ）
A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，作CF∥ED，
∵AB∥ED，
∴∠A+∠E=180°= α ，
∵ED∥CF，
∴∠D+∠DCF=180°，
∵AB∥ED，ED∥CF，
∴AB∥CF，
∴∠B+∠BCF=180°，
∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°，
即 ∠B+∠C+∠D =360°= β ，
∴β＝2α ，
故答案为：B.
【分析】作CF∥ED，由AB∥ED，利用两直线平行同旁内角相等，∠D+∠DCF=180°，再由AB∥ED∥CF，再利用两直线平行同旁内角相等，分别∠D+∠DCF=180°，∠B+∠BCF=180°，两式相加即得∠B+∠C+∠D =360°，从而得出结论.
4．（2021七下·丽水期中）如图，AB∥EF∥CD，AD∥BC，BD平分∠ABC，则图中与∠EOD相等的角有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠EOD=∠BOF（对顶角相等），
∵EF∥CD，
∴∠BOF=∠BDC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴BD平分∠ADC，
∴∠BDC=∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∴∠EOD=∠BOF=∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD，
共有5个角和∠EOD相等，
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的性质得角相等，然后结合平行线的性质定理和角平分线的定义最终推得∠EOD=∠BOF=∠CDB=∠ADB=∠ABD=∠CBD即可解答.
5．（2021八上·巨野月考）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBE，∵EF∥BC，∴∠DBC=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，同理可得，CF=DF，∴△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，∵BC=6，∴△ABC的周长=9+6=15．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到BE=DE，DF=FC，所以△AEF的周长=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，再结合BC=6，即可得到△ABC的周长。
二、填空题
6．（2021七下·曲阳期中）如图，直线 ，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图，过点C作CD∥a，
∵直线 ，
∴CD∥b，
∴∠ACD=30°，∠DCB=50°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB =30°+50°=80°，
故答案为：80°．
【分析】过点C作CD∥a，直线 ，得出CD∥b，∠ACD=30°，∠DCB=50°，即可得出∠ACB的度数。
7．（2021七下·毕节期中）若 与 的两边分别平行，且 °， °，则∠α的余角度数为 ．
【答案】20°或4°
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ 与 的两边分别平行，
∴∠α+∠β=180°或∠α=∠β，
∴2x+10=3x-20或2x+10+3x-20=180°
解之：x=30°或38°.
∴∠α=2×30°+10°=70°或∠α=2×38°+10°=86°；
∴∠α的余角度数为90°-70°=20°或90°-86°=4°.
故答案为：20°或4°.
【分析】利用 与 的两边分别平行，可得到这两个角相等或互补，可建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到∠α的度数；再利用余角的定义可求出∠α的余角.
8．（2021七下·松原期中）如图,已知AD∥BE,点C是直线FG上的动点,若在点C的移动过程中,存在某时刻使得∠ACB=45°,
∠DAC=22°,则∠EBC的度数为 .
【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作直线AD的平行线CP，
∵AD∥BE, ∴AD∥BE∥PC,
∵AD∥PC, ∴∠ACP=∠DAC,
同理可得：∠BCP=∠EBC,
∵∠ACB=∠ACP+∠EBC, ∠ACB=45°, ∠DAC=22°,
∴∠EBC=∠ACB-∠DAC =45°-22°=23°.
【分析】过C作直线AD的平行线CP，由AD∥BE，得出AD∥BE∥PC,同理可得：∠BCP=∠EBC,由∠ACB=∠ACP+∠EBC, ∠ACB=45°, ∠DAC=22°,得出∠EBC的度数。
9．（2021七下·鄞州期末）将一副三角板按如图摆放，已知直线 ，则 的度数为 .
【答案】15°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵m∥n，即DE∥AB，
∴∠EDA+∠DAB=180°，
即∠1+∠CDA+∠DAC+∠CAB=180°，
∵∠CDA=90°，∠DAC=45°，∠CAB=30°，
∴∠1=180° 90° 45° 30°=15°.
故答案为：15°.
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，可证得∠EDA+∠DAB=180°，即可得到∠1+∠CDA+∠DAC+∠CAB=180°，将相关角的度数代入，可求出∠1的度数.
10．（2021七下·福田期中）如图所示的网格式正方形网格，A、B、P是网格线交点，则∠PAB+∠PBA＝ °．
【答案】45
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵PB∥AC，
∴∠B＝∠BAC，
∴∠PAB+∠PBA＝∠PAB+∠BAC＝∠PAC＝45°，
故答案为：45．
【分析】作PB∥AC，再利用平行线的性质得到∠B＝∠BAC，最后利用角的运算求解即可。
三、综合题
11．（2021八上·寿县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．
【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
这两个角的度数为30°，30°或70°和110°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①如图1
∵
∴
如图2，
故答案为： ，
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②求出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补即可作答；
（2）先求出 x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 再求出 x=30°或x=70°， 即可作答。
12．（2021八上·阜新期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝B，
（1）证明：EF∥AB.
（2）试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明你的理由.
【答案】（1）证明：∵∠1+∠DFE＝180°（平角定义），∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠DFE，
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∠AED与∠C相等.
∵EF∥AB，
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠AED＝∠C（两直线平行，同位角相等）.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据同角的补角相等，可得∠2＝∠DFE，根据内错角相等，两直线平行即证结论；
（2）∠AED与∠C相等. 理由： 根据两直线平行，内错角相等，可得∠3＝∠ADE，由等量代换，可得∠B＝∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可得DE∥BC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠AED＝∠C.
13．（2020七上·大庆期末）如图，将一张上、下两边平行（即AB∥CD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
（1）试说明∠1＝∠2；
（2）已知∠2＝40°，求∠BEF的度数．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴∠MEB＝∠MFD，
∵A′E∥B′F，∴∠MEA′＝∠MFB′，
∴∠MEA′－∠MEB＝∠MFB′－∠MFD，即∠1＝∠2；
（2）解：由折叠知，∠B′FN＝ ＝70°，
∵A′E∥B′F，∴∠A′EN＝∠B′FN＝70°，
∵∠1＝∠2，∴∠BEF＝70°＋40°＝110°.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠MEB＝∠MFD ，再求出 ∠MEA′＝∠MFB′， 进行求解即可；
（2）根据折叠求出 ∠B′FN＝ 70°，再根据平行线的性质进行求解即可。
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