2021-2022学年浙教版数学七下1.3平行线的判定同步练习
一、单选题
1．（2021七上·龙凤期中）如图，直线 被直线 所截下列条件能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·平阳期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠2＋∠5＝∠6 ；④∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
3．（2021八上·铜仁月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2021八上·青羊开学考）如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同平行于一条直线的两直线平行
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5
C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
6．（2021七下·巴南期末）如图，直线AC、DC、BE相交于点C，连接AB，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠A=∠ACB B．∠B=∠ACD
C．∠B+∠DCE=180° D．∠A=∠ACD
7．（2021七下·梁园期末）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交.（3）相等的两个角是对顶角.（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.其中正确的有（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（2021七下·祥符期末）如图， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2021七下·渝北期末）如图，给出下列条件：① ；② ；③ 且 ；其中能推出 的条件个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．（2021七下·宁德期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·梁山月考）“过点P作直线b，使b∥a"，小明的作图痕迹如图所示，他的作法的依据是
12．（2021·桂林）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ∠2时，a//b.（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
13．（2021·兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 .
14．（2021八上·北京开学考）如图，不添加辅助线，请添加一个能判定 的条件： ．
15．（2021七下·召陵期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°.能判断AB∥CD的有 个.
16．（2021七下·椒江期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度.
17．（2021七下·涵江期末）如图，要使AD//BF，则需要添加的条件是 （写一个即可）.
18．（2021七下·延庆期末）如图，在三角形ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，请你添加一个条件 ，使得DEAB．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
三、综合题
19．（2021八上·梁河月考）小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题：
已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC．
（1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数；
（2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由．
20．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
21．（2021·迁安模拟）下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ 直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ▲ ＝
▲ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ▲ ＝
▲ ，
∴PQl（ ▲ ）（填推理的依据）．
22．（2021七下·三门峡期中）如图，射线 平外 ，且 .求证： .
23．（2021七下·深圳月考）如图，AC//EF，∠1+∠3=180 ．
（1）AF与CD是否平行？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠4=78 ，求∠BCD的度数．
24．（2021八上·秦都期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分 ，过E点作 ，G为射线EC上一点，连接BG，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
25．（2021七下·洪山期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）.由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律（rfectionlaw）.
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4.在这样的条件下，求证：AB∥CD.
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
2．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行)，正确；
②∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行)，但无法判断AD∥BC，错误；
③∵∠BCO+∠2＝∠6，∠2＋∠5=∠6，∴∠BCO=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行)，正确；
④∠DAB＋∠2＋∠3＝∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行)，正确；
综上，正确的是①③④ .
故答案为：A.
【分析】平行线的判定定理有，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；据此分别判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不一定能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AC∥BD，故本选项错误；
C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、∠1、∠2是四边形中的对角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】如果两条直线被第三条直线所截，解出的同位角相等或内错角相等，那么被截的这两条直线平行，据此一一判断得出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理进行解答.
5．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
【解答】A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选C.
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、由∠A=∠ACB，不是同位角、内错角，不可以判断平行；
B、由∠B=∠ACD，不是同位角、内错角，不可以判断平行；
C、由∠B+∠DCE=180°，不是同旁内角，不可以判断平行；
D、由∠A=∠ACD，根据内错角相等两直线平行，即可判断AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定定理，结合图形进行判断，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）同位角不一定相等，原选项错误，不符合题意.
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，符合题意.
（3）相等的两个角不一定是对顶角，比如，角平分线分得的两个角，原选项错误，不符合题意.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相交线和平行线的性质进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理即可求解.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：（1）∵
∴
所以此条件不能推断出 .
（2）∵
∴
所以，这个条件可以推断出 .
（3）∵
∴
又∵
∴
∴
所以，可以推断出
综上，条件②和条件③可以判断出
故答案为：C.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断.
10．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，故本选项正确，符合题意；
B、 ， ，故本选项错误，不符合题意；
C、由 ，无法得到 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ， ，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断.
11．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由作图知：依据是内错角相等，两直线平行.
【分析】根据尺规作图-作一个角等于已知角得出这两个角是内错角，即可得出答案.
12．【答案】=
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，
∴当∠1 =∠2，a//b.
故答案为=.
【分析】根据同位角相等两直线平行即可解答.
13．【答案】BC；DE；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：一副三角板如图摆放，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案为： BC，DE ；内错角相等，两直线平行.
【分析】由学具的性质及内错角相等两直线平行可求解.
14．【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，添加一个条件：∠ADE=∠B，即能判定 .
故答案是∠ADE=∠B
【分析】根据平行线的判定方法即可得出答案。
15．【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确.
即正确的有（2）（3）（4）.
故答案为3.
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.
16．【答案】5
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC.
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′=∠A=70°.
∴∠DOD′=∠BOD-∠BOD′=75°-70°=5°.
∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度.
故答案为：5.
【分析】利用平行线的性质可求出∠A的度数，再根据∠DOD′=∠BOD-∠BOD′，可求出∠DOD′的度数，即可求解.
17．【答案】∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°或∠A=∠EBF或∠D=∠DCF（任意写一个即可，不必写全）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠ADC=∠DCF时，由内错角相等两直线平行可以得出AD//BF；
当 ∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°时，由同旁内角互补两直线平行可以得出AD//BF；
当 ∠A=∠EBF 时，由同位角相等两直线平行可以得出AD//BF.
故答案为： ∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°或∠A=∠EBF或∠ADC=∠DCF.
【分析】平行线的判定定理：①由内错角相等两直线平行；②同旁内角互补两直线平行；③由同位角相等两直线平行，利用平行线的判定定理，可得答案.
18．【答案】∠ABC=∠DEC（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①同位角相等，两直线平行
， ；②内错角相等，两直线平行
；③同旁内角互补，两直线平行
， ；
故答案为：∠ABC=∠DEC（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定鱼性质进行判定即可得出答案。
19．【答案】（1）解：∵∠D=∠B=100°，∠AED=∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED=∠B+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠DAE=∠ECB，
∵∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，
∴∠DAG=∠GAF=∠ECF=∠FCB，
∵∠B=100°，
∴∠FCB+∠CFB=80°，
∵∠CFB=∠AFG，
∴∠AFG+∠FAG=80°，
∵∠AFG+∠GAF+∠G=180°
∴∠G=100°；
（2）解：CF∥AM．
理由：∵∠D=∠B=90°，∠AED=∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED=∠B+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠DAE=∠ECB，
设∠DAE=∠ECB=x，
∴∠DAG=∠EAG= x，
∴∠EGA=90°+ x，
∵∠BCN=180°-x，CF平分∠BCN，
∴∠FCB= （180° x）＝90° x，
∴∠FCE=∠BCE+∠FCB=x+90°- x=90°+ x，
∴∠FCE=∠EGA，
∴CF∥AM．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理得出∠DAE=∠ECB，结合角平分线的定义求得∠AFG+∠FAG=80°，进而求解；
（2）由三角形的内角和定理得出∠DAE=∠ECB，设∠DAE=∠ECB=x，结合角分线的定义得出∠EGA=90°+ x，由平角的定义得出∠FCE=∠BCE+∠FCB=x+90°- x=90°+ x，即可得出∠FCE=∠EGA，进而证明结论。
20．【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
21．【答案】（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）作出线段AB的垂直平分线，分别交于两条平行线于点B、Q， 则直线PQ为所求作的直线 ；
（2） 根据线段垂直平分线的性质，可得PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，可证△POQ≌△AOB，
可得∠QPO＝∠BAO ，根据平行线的判定即证.
22．【答案】证明：∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∵ （对顶角相等）
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义易得 ，根据对顶角的性质可得 ，根据等量代换易得 ，由平行线的判定可得结果.
23．【答案】（1）解：∵AC//EF，
∴∠1+∠2=180 ，
∵∠1+∠3=180 ，
∴∠3=∠2，
∴AF//CD，
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2=∠CAD=∠3，
∵∠4是△ADC的外角，
∴∠4=∠CAD+∠3=2∠3=78°，
∴∠3=∠CAD=39°，
∵AC⊥EB，
∴∠3+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°-∠3=90°-39°=51°．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由AC//EF，可得∠1+∠2=180 ，可证∠3=∠2即可；
（2）由AC平分∠FAB，可得∠2=∠CAD=∠3，由∠4是△ADC的外角，可求∠3=∠CAD=39°，由AC⊥EB，可得∠3+∠BCD=90°，求出∠BCD即可．
24．【答案】（1）∵ ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）∵ 平分 ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）由题意根据同角的余角相等可得∠DEF=∠EBG；
（2）由角平分线定义可得∠AEF=∠DEF，结合已知可得∠A=∠AEF，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解
25．【答案】（1）180°﹣2α
（2）β＝2a
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如图2，在△OBC中，∵∠COB＝55°，
∴∠2+∠3＝125°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a.
故答案为：β＝2a.
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠2+∠3的值；再表示出∠DCB，∠ABC，利用三角形的内角和定理可得到∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD，代入可表示出∠BEC的度数.
（2）利用已知易证∠1＝∠2，∠3＝∠4，可证得∠BCD＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2；再根据∠D＝∠ABC﹣∠BCD，代入可得到∠D=∠β；然后根据∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，由此可得到α与β之间满足的等量关系.
1 / 12021-2022学年浙教版数学七下1.3平行线的判定同步练习
一、单选题
1．（2021七上·龙凤期中）如图，直线 被直线 所截下列条件能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
2．（2021七上·平阳期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2； ②∠3＝∠4； ③∠2＋∠5＝∠6 ；④∠DAB＋∠2＋∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解： ①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行)，正确；
②∵∠3＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行)，但无法判断AD∥BC，错误；
③∵∠BCO+∠2＝∠6，∠2＋∠5=∠6，∴∠BCO=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行)，正确；
④∠DAB＋∠2＋∠3＝∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行)，正确；
综上，正确的是①③④ .
故答案为：A.
【分析】平行线的判定定理有，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；据此分别判断即可.
3．（2021八上·铜仁月考）下列图形中，由∠1＝∠2，能得到AB∥CD的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1、∠2是同旁内角，由∠1=∠2不一定能判定AB∥CD，故本选项错误；
B、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AC∥BD，故本选项错误；
C、∠1、∠2是内错角，由∠1=∠2能判定AB∥CD，故本选项正确；
D、∠1、∠2是四边形中的对角，由∠1=∠2不能判定AB∥CD，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】如果两条直线被第三条直线所截，解出的同位角相等或内错角相等，那么被截的这两条直线平行，据此一一判断得出答案.
4．（2021八上·青羊开学考）如图，图中给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．同旁内角互补，两直线平行
C．内错角相等，两直线平行
D．同平行于一条直线的两直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行.
故答案为：A.
【分析】根据平行线的判定定理进行解答.
5．如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠1=∠5
C．∠1+∠3=180° D．∠3=∠5
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
【解答】A、根据∠1=∠2不能推出l1∥l2，故A选项错误；
B、∵∠5=∠3，∠1=∠5，
∴∠1=∠3，
即根据∠1=∠5不能推出l1∥l2，故B选项错误；
C、∵∠1+∠3=180°，
∴l1∥l2，故C选项正确；
D、根据∠3=∠5不能推出l1∥l2，故D选项错误；
故选C.
【点评】本题考查了平行线的判定的应用，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。
6．（2021七下·巴南期末）如图，直线AC、DC、BE相交于点C，连接AB，能判定AB∥CD的条件是（ ）
A．∠A=∠ACB B．∠B=∠ACD
C．∠B+∠DCE=180° D．∠A=∠ACD
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、由∠A=∠ACB，不是同位角、内错角，不可以判断平行；
B、由∠B=∠ACD，不是同位角、内错角，不可以判断平行；
C、由∠B+∠DCE=180°，不是同旁内角，不可以判断平行；
D、由∠A=∠ACD，根据内错角相等两直线平行，即可判断AB∥CD.
故答案为：D.
【分析】利用平行线的判定定理，结合图形进行判断，可得答案.
7．（2021七下·梁园期末）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交.（3）相等的两个角是对顶角.（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离.其中正确的有（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；平行线的判定；相交线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）同位角不一定相等，原选项错误，不符合题意.
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，正确，符合题意.
（3）相等的两个角不一定是对顶角，比如，角平分线分得的两个角，原选项错误，不符合题意.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原选项错误，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据相交线和平行线的性质进行判断即可.
8．（2021七下·祥符期末）如图， ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理即可求解.
9．（2021七下·渝北期末）如图，给出下列条件：① ；② ；③ 且 ；其中能推出 的条件个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】证明：（1）∵
∴
所以此条件不能推断出 .
（2）∵
∴
所以，这个条件可以推断出 .
（3）∵
∴
又∵
∴
∴
所以，可以推断出
综上，条件②和条件③可以判断出
故答案为：C.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断.
10．（2021七下·宁德期末）如图，由两个完全相同的三角板拼成一个四边形，则下列条件能直接判断 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、 ， ，故本选项正确，符合题意；
B、 ， ，故本选项错误，不符合题意；
C、由 ，无法得到 ，故本选项错误，不符合题意；
D、 ， ，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】直接根据平行线的判定定理进行判断.
二、填空题
11．（2021八上·梁山月考）“过点P作直线b，使b∥a"，小明的作图痕迹如图所示，他的作法的依据是
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：由作图知：依据是内错角相等，两直线平行.
【分析】根据尺规作图-作一个角等于已知角得出这两个角是内错角，即可得出答案.
12．（2021·桂林）如图，直线a，b被直线c所截，当∠1 ∠2时，a//b.（用“＞”，“＜”或“＝”填空）
【答案】=
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是同位角，
∴当∠1 =∠2，a//b.
故答案为=.
【分析】根据同位角相等两直线平行即可解答.
13．（2021·兰州）将一副三角板如图摆放，则 ∥ ，理由是 .
【答案】BC；DE；内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：一副三角板如图摆放，
∴ ，
∴ （内错角相等，两直线平行），
故答案为： BC，DE ；内错角相等，两直线平行.
【分析】由学具的性质及内错角相等两直线平行可求解.
14．（2021八上·北京开学考）如图，不添加辅助线，请添加一个能判定 的条件： ．
【答案】∠ADE=∠B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，添加一个条件：∠ADE=∠B，即能判定 .
故答案是∠ADE=∠B
【分析】根据平行线的判定方法即可得出答案。
15．（2021七下·召陵期末）如图，点E在AC的延长线上，对于给出的四个条件：（1）∠3=∠4；（2）∠1=∠2；（3）∠A=∠DCE；（4）∠D+∠ABD=180°.能判断AB∥CD的有 个.
【答案】3
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如果∠3=∠4，那么AC∥BD，故（1）错误；
（2）∠1=∠2，那么AB∥CD；内错角相等，两直线平行，故（2）正确；
（3）∠A=∠DCE，那么AB∥CD；同位角相等，两直线平行，故（3）正确；
（4）∠D+∠ABD=180°，那么AB∥CD；同旁内角互补，两直线平行，故（4）正确.
即正确的有（2）（3）（4）.
故答案为3.
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可.
16．（2021七下·椒江期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度.
【答案】5
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：若OD旋转到OD′时，则OD′∥AC.
∵OD′∥AC，
∴∠BOD′=∠A=70°.
∴∠DOD′=∠BOD-∠BOD′=75°-70°=5°.
∴要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转5度.
故答案为：5.
【分析】利用平行线的性质可求出∠A的度数，再根据∠DOD′=∠BOD-∠BOD′，可求出∠DOD′的度数，即可求解.
17．（2021七下·涵江期末）如图，要使AD//BF，则需要添加的条件是 （写一个即可）.
【答案】∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°或∠A=∠EBF或∠D=∠DCF（任意写一个即可，不必写全）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：当∠ADC=∠DCF时，由内错角相等两直线平行可以得出AD//BF；
当 ∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°时，由同旁内角互补两直线平行可以得出AD//BF；
当 ∠A=∠EBF 时，由同位角相等两直线平行可以得出AD//BF.
故答案为： ∠A+∠ABC=180°或∠D+∠DCB=180°或∠A=∠EBF或∠ADC=∠DCF.
【分析】平行线的判定定理：①由内错角相等两直线平行；②同旁内角互补两直线平行；③由同位角相等两直线平行，利用平行线的判定定理，可得答案.
18．（2021七下·延庆期末）如图，在三角形ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，请你添加一个条件 ，使得DEAB．（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）
【答案】∠ABC=∠DEC（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】①同位角相等，两直线平行
， ；②内错角相等，两直线平行
；③同旁内角互补，两直线平行
， ；
故答案为：∠ABC=∠DEC（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定鱼性质进行判定即可得出答案。
三、综合题
19．（2021八上·梁河月考）小明在学习三角形的知识时，发现如下数学问题：
已知线段AB，CD交于点E，连结AD，BC．
（1）如图①，若∠D＝∠B＝100°，∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，求∠G的度数；
（2）如图②，若∠D＝∠B＝90°，AM平分∠DAB，CF平分∠BCN，请判断CF与AM的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵∠D=∠B=100°，∠AED=∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED=∠B+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠DAE=∠ECB，
∵∠DAB的平分线与∠BCE的平分线交于点G，
∴∠DAG=∠GAF=∠ECF=∠FCB，
∵∠B=100°，
∴∠FCB+∠CFB=80°，
∵∠CFB=∠AFG，
∴∠AFG+∠FAG=80°，
∵∠AFG+∠GAF+∠G=180°
∴∠G=100°；
（2）解：CF∥AM．
理由：∵∠D=∠B=90°，∠AED=∠CEB，∠D+∠DAE+∠AED=∠B+∠ECB+∠CEB=180°，
∴∠DAE=∠ECB，
设∠DAE=∠ECB=x，
∴∠DAG=∠EAG= x，
∴∠EGA=90°+ x，
∵∠BCN=180°-x，CF平分∠BCN，
∴∠FCB= （180° x）＝90° x，
∴∠FCE=∠BCE+∠FCB=x+90°- x=90°+ x，
∴∠FCE=∠EGA，
∴CF∥AM．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由三角形的内角和定理得出∠DAE=∠ECB，结合角平分线的定义求得∠AFG+∠FAG=80°，进而求解；
（2）由三角形的内角和定理得出∠DAE=∠ECB，设∠DAE=∠ECB=x，结合角分线的定义得出∠EGA=90°+ x，由平角的定义得出∠FCE=∠BCE+∠FCB=x+90°- x=90°+ x，即可得出∠FCE=∠EGA，进而证明结论。
20．（2021七下·娄星期末）（问题情境）：如图 // ， ， ，求 的度数.
小明的思路是：过 作 // ，通过平行线性质来求 .
（1）按小明的思路，求 的度数；
（2）（问题迁移）：如图2，AB//CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）（问题应用）：在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系.
【答案】（1）解：过P点作PE//AB，因为AB//CD，所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
同理 ，
所以 ；
（2）解：过P点作PE//AB，
因为AB//CD，
所以PE//CD.
因为PE//AB，
所以∠APE=∠PAB= ，
又因为PE//CD，
所以 ，
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α＋β；
（3）解：当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PAB= ，
∴ β-α；
当P点在射线DM上运动时，设AP与CD交于点F，
∵AB∥CD，
∴ ，
∵ ，∠PCD＝β，
∴ α-β，
当P点在线段OB上运动时， β-α.
当P点在射线DM上运动时， α-β.
【知识点】角的运算；平行线的判定
【解析】【分析】（1）过P点作PE//AB，则PE//CD，由平行线的性质可得∠BAP+∠APE=180°，∠EPC+∠PCD=180°，结合已知条件可得∠APE、∠EPC的度数，最后根据角的和差关系进行求解；
（2）过P点作PE//AB，由平行线的性质可得∠APE=∠PAB=α ，∠CPE=∠PCD=β，最后根据角的和差关系进行求解；
（3）当P点在线段OB上运动时，设AB与PC交于点N，由平行线的性质可得∠BNP=∠PCD=β，由三角形外角的性质可得∠BNP=∠PAB+∠APC=β可推出∠APC=β-α，同理可求出当P点在射线DM上运动时∠APC与α、β的关系.
21．（2021·迁安模拟）下面是嘉琪同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l和直线l外一点P．
求作：直线PQ，使直线PQ 直线l．
作法：如图，
①在直线l上取一点A，连接PA；
②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l，线段PA于点B，O；
③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；
④作直线PQ，所以直线PQ为所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题：
（1）用直尺和圆规，补全图中的图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴ ▲ ＝
▲ ，∠POQ＝∠AOB＝90°．
∴△POQ≌△AOB．
∴ ▲ ＝
▲ ，
∴PQl（ ▲ ）（填推理的依据）．
【答案】（1）补全图形如下：
（2）∵直线MN是PA的垂直平分线，
∴PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，
∵OQ＝OB，
∴△POQ≌△AOB，
∴∠QPO＝∠BAO ，
∴PQ∥l（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】（1）作出线段AB的垂直平分线，分别交于两条平行线于点B、Q， 则直线PQ为所求作的直线 ；
（2） 根据线段垂直平分线的性质，可得PO＝AO，∠POQ＝∠AOB＝90°，可证△POQ≌△AOB，
可得∠QPO＝∠BAO ，根据平行线的判定即证.
22．（2021七下·三门峡期中）如图，射线 平外 ，且 .求证： .
【答案】证明：∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∵ （对顶角相等）
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据角平分线的定义易得 ，根据对顶角的性质可得 ，根据等量代换易得 ，由平行线的判定可得结果.
23．（2021七下·深圳月考）如图，AC//EF，∠1+∠3=180 ．
（1）AF与CD是否平行？请说明理由；
（2）若AC平分∠FAB，AC⊥EB于点C，∠4=78 ，求∠BCD的度数．
【答案】（1）解：∵AC//EF，
∴∠1+∠2=180 ，
∵∠1+∠3=180 ，
∴∠3=∠2，
∴AF//CD，
（2）解：∵AC平分∠FAB，
∴∠2=∠CAD=∠3，
∵∠4是△ADC的外角，
∴∠4=∠CAD+∠3=2∠3=78°，
∴∠3=∠CAD=39°，
∵AC⊥EB，
∴∠3+∠BCD=90°，
∴∠BCD=90°-∠3=90°-39°=51°．
【知识点】角的运算；平行线的判定；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由AC//EF，可得∠1+∠2=180 ，可证∠3=∠2即可；
（2）由AC平分∠FAB，可得∠2=∠CAD=∠3，由∠4是△ADC的外角，可求∠3=∠CAD=39°，由AC⊥EB，可得∠3+∠BCD=90°，求出∠BCD即可．
24．（2021八上·秦都期末）如图，已知点E在直线DC上，射线EF平分 ，过E点作 ，G为射线EC上一点，连接BG，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）∵ ，
∴ ，
∴ .
又∵ ，
∴ .
（2）∵ 平分 ，
∴ .
∵ ， ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的判定
【解析】【分析】（1）由题意根据同角的余角相等可得∠DEF=∠EBG；
（2）由角平分线定义可得∠AEF=∠DEF，结合已知可得∠A=∠AEF，然后根据平行线的判定“内错角相等两直线平行”可求解
25．（2021七下·洪山期中）【学科融合】
物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角i叫做入射角，反射光线与法线的夹角r叫做反射角（如图①）.由此可以归纳出如下的规律：
在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角.这就是光的反射定律（rfectionlaw）.
【数学推理】如图1，有两块平面镜OM，ON，且OM⊥ON，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：∠1＝∠2，∠3＝∠4.在这样的条件下，求证：AB∥CD.
【尝试探究】两块平面镜OM，ON，且∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD.
（1）如图2，光线AB与CD相交于点E，则∠BEC＝ ；
（2）如图3，光线AB与CD所在的直线相交于点E，CBED＝β，则α与β之间满足的等量关系是 .
【答案】（1）180°﹣2α
（2）β＝2a
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的判定
【解析】【解答】解：（1）如图2，在△OBC中，∵∠COB＝55°，
∴∠2+∠3＝125°，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠DCB＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2，
∴∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD
＝180°﹣（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣a）﹣180°
＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
（2）如图4，B＝2a，
理由如下：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠ABC＝180°﹣2∠2，
∠BCD＝180°﹣2∠3，
∴∠D＝∠ABC﹣∠BCD
＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）
＝2（∠3﹣∠2）＝∠β，
∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，
∴β＝2a.
故答案为：β＝2a.
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出∠2+∠3的值；再表示出∠DCB，∠ABC，利用三角形的内角和定理可得到∠BEC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCD，代入可表示出∠BEC的度数.
（2）利用已知易证∠1＝∠2，∠3＝∠4，可证得∠BCD＝180°﹣2∠3，∠ABC＝180°﹣2∠2；再根据∠D＝∠ABC﹣∠BCD，代入可得到∠D=∠β；然后根据∠BOC＝∠3﹣∠2＝a，由此可得到α与β之间满足的等量关系.
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