2021-2022学年浙教版数学七下1.4平行线的性质同步练习
一、单选题
1．（2021七上·南关期末）如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
2．（2021七上·农安期末）如图，已知AD//BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．64° B．66° C．74° D．86°
3．（2021七上·宽城期末）直线、、、如图所示．若∠1=∠2，则下列结论错误的是（ ）
A．ABCD B．∠EFB=∠3 C．∠4=∠5 D．∠3=∠5
4．（2021八上·长春月考）如图， ，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E，F，再分别以点E、F为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若 ，则 的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
5．（2021八上·冠县期中）如图， 是 的平分线， 交 于点E。若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九上·长沙期中）如图，直线 ，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021七上·平阳期中）如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且 ；④ 且 ；其中能推出 的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
8．（2021八上·温岭竞赛）如图所示，a//b，则下列式子中，值为180°的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021八上·汽开区期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
C．同旁内角互补
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
10．（2021八上·巨野月考）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
二、填空题
11．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，，，则 ．
12．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数 ．
13．（2021七上·岱岳期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD= cm．
14．（2021九上·长沙期中）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1=130°，则∠2为 度．
15．（2021八上·太和月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则 的度数为 。
16．（2021八上·固阳月考）如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝
三、综合题
17．（2020八上·青岛期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
18．（2021七上·长春期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）直接写出与的数量关系： ；
（3）直接写出与的数量关系： ；
（4）如图2，当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出角度所有可能的值 ▲ ．
19．（2021七上·德惠期末）已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
20．（2021七上·虎林期末）如图（1）所示，，说明：
（1）；
（2）当点在直线BF的右侧时，如图所示，若，则与，的关系如何？请说明理由
21．（2021七上·长春期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
22．（2021七上·双阳期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．
证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（ ）
∵MN∥AB，
∴∠A＝（ ）（ ）
∵MN∥CD，
∴∠D＝ ▲ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．
23．（2021七上·农安期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
24．（2021七上·朝阳月考）（感知）如图①， ， ，．求的度数．
（提示：过点P作直线）
（1）当点P在线段AB上运动时，，，之间的数量关系为 ．
（2）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为 ．
25．（2021八上·寿县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴∠BAC=45°
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，
∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，
∴∠1=75°，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线先求出∠BAC=45°，再求出∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，最后计算求解即可。
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠B=32°，
∴∠ADB=∠B=40°，∠DEC=∠ADE
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=64°
∴∠DEC=∠ADE=64°
故答案为：A
【分析】先求出∠ADB=∠B=40°，∠DEC=∠ADE，再求出∠ADE=2∠ADB=64°，最后计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】角的大小比较；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故A不符合题意；
∴∠4=∠5，故C不符合题意；
∵∠EFB与∠3是对顶角，
∴∠EFB=∠3，故B符合题意，
无法判断∠3=∠5，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据∠1=∠2，可得AB//CD，再利用平行线的性质分别判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知：BG是∠ABD的角平分线
∴∠ABH=∠DBH
∵
∴∠ABH=∠DHB
∴∠DHB=∠DBH
∵
∴∠DHB=（180°-116°）÷2=32°
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABH=∠DBH，再求出∠DHB=∠DBH，最后计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠1＝50°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠FAC＝25°，
∵EF∥AC，
∴∠2=∠FAC＝25°．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出 的度数。
6．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念求出∠3的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
7．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①∵ ，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），错误；
②∵ （内错角相等，两直线平行） ，∴BC∥AD，正确；
③∵ ，∴∠ADC+∠BAD=180°，又∵ ，∴∠B+∠BAD=180°，∴BC∥AD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
④ ，∴∠ADE=∠BAD，又∵ ，∴∠ADE=∠BCD，∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），正确；
综上，正确的是②③④ .
故答案为：D.
【分析】平行线的判定定理有内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据条件进行分别分析判断，即可解答.
8．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AG∥b，
∵a∥b，
∴AG∥b∥a，
∴∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，
∴∠1=∠α-∠γ，
∴∠β+∠α-∠γ=180°.
故答案为：A.
【分析】 过点A作AG∥b，利用在同一平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AG∥b∥a，利用平行线的性质可得到∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，可得到∠β+∠α-∠γ的值，即可得到答案.
9．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：等腰直角三角形的两个底角，故此项假命题；
B、在同一平面内，若a∥b，b∥c、则a∥c，故此项真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此项假命题；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此项假命题；
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定与性质逐一判断即可.
10．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBE，∵EF∥BC，∴∠DBC=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，同理可得，CF=DF，∴△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，∵BC=6，∴△ABC的周长=9+6=15．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到BE=DE，DF=FC，所以△AEF的周长=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，再结合BC=6，即可得到△ABC的周长。
11．【答案】95°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【分析】先求出∠BEF=60°，再求出∠FEC=∠DCE，最后计算求解即可。
12．【答案】110°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【分析】先求出∠ABE+∠CDE=220°，再利用角平分线的定义计算求解即可。
13．【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： CD//OB， ∠C=∠COB，
OC平分∠AOB
CD=OD=3
故答案为：3．
【分析】先求出∠C=∠COB，再求出∠AOC=∠C，最后求解即可。
14．【答案】50
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵如图，取∠3，
∵∠3=∠1=130°，
∵a∥b，
∴∴∠2=180°-130°=50°.
故答案为：50.
【分析】取∠3，根据对顶角的性质求出∠3，再根据平行线的性质求∠2即可.
15．【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=50°，a//b，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠1=50°，利用平角的定义求出∠2即可.
16．【答案】90°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
【分析】先求出BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，再求出∠ABC+∠BCD=180°，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：AC∥EF．理由：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE．
∴∠2＝∠4．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°．
∴EF∥AC．
（2）解：∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2．
∵∠1＝72°，
∴∠2＝36°．
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠E＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2
＝54°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 ∠1＝∠BCE， 得出直线AD与EC平行，得出 ∠2＝∠4． 再由 ∠2+∠3＝180°， 判断出AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得出 ∠BAC 的度数，再由平行线及角平分线的性质得出 ∠2 的度数，利用角的和差关系即可得出答案。
18．【答案】（1）65°
（2）∠1=∠3
（3）∠ACB+∠2=180°
（4）解：存在一组边互相平行；30°或45°或120°或135°或165°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）得：
，
∴，
由图可知：，
∴，
故答案为：；
（4）①如图所示：当时，
，
由（2）可知：；
②如图所示：当时，
；
③如图所示：当时，
，
∴；
④如图所示：当时，
，
∴；
⑤如图所示：当时，延长AC交BE于点F，
∴，
∵，
∴，
∴；
综合可得：的度数为：30°或45°或120°或135°或165°，
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）先求出，再根据计算求解即可；
（2）根据垂直求出，，再求解即可；
（3）先求出，再求出，最后求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
19．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1；∠2；∠AEC＝∠BAE+∠DCE
（2）解：①过F作FG∥AB，
由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
＝∠BAE+∠DCE，
=（∠BAE+∠DCE），
＝∠AEC，
＝×74°，
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴2∠AFC+∠AFC＝126°
∴3∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF=90-∠AFC=48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）①根据平行线的性质求出 ∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC， 再求出 ∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE， 最后求解即可；
②先求出 ∠CGF＝90°， 再求出 ∠GCE＝∠ECD， 最后求解即可。
20．【答案】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，
∴∠B+∠F=∠BCF．
（2）解：∠B+∠F+∠BCF=360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD=180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD=180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥AB，可得CD∥AB∥EF，由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，从而得出∠B+∠F=∠BCF．
（2） ∠B+∠F+∠BCF=360°，理由是：过C作CD∥AB， 可得CD∥EF∥AB， 由平行线的性质可得 ∠B+∠BCD=180°，∠F+∠FCD=180°，从而得出∠B+∠F+∠BCF=360°．
21．【答案】（1）解：如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°
（2）解：当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；
如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【分析】（1）先求出 ∠APG=∠PAC=15°， 再求出 PG∥l2， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
22．【答案】（1）解：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
（2）解：如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
（3）解：∠DGA=42°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：应用拓展：（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，
∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，
∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，
∵AH平分∠BAG，
∴∠BAG=2∠BAH=108°，
∴∠AGM=108°，
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 MN∥CD， 再求出 ∠D＝∠DGM， 最后求解即可；
（3）先求出∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再求出∠AGM=108°，最后计算∠AGD的度数即可。
23．【答案】（1）解：∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°
（3）解：设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
【分析】（1）先求出 ∠A=∠APQ=50°， 再求出 ∠DPQ=30°， 最后计算求解即可；
（2）先求出PQ∥CD，再求出∠DPQ=180°-∠CDP，最后求解即可；
（3）利用角平分线求出 ∠ODN=∠PDC， 再计算求解即可。
24．【答案】（1）
（2）或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）探究（1）．
如图②：作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
（2）或．
如图③：当P在AM上时，作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
当P在OB上时，同理：．
综上所述，或．
【分析】（1）根据平行线的性质和角的运算求解即可；
（2）根据平行线的性质和角的运算求解即可。
25．【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
这两个角的度数为30°，30°或70°和110°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①如图1
∵
∴
如图2，
故答案为： ，
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②求出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补即可作答；
（2）先求出 x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 再求出 x=30°或x=70°， 即可作答。
1 / 12021-2022学年浙教版数学七下1.4平行线的性质同步练习
一、单选题
1．（2021七上·南关期末）如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经过60°角的顶点．则∠1的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AC平分∠BAD，∠BAD=90°，
∴∠BAC=45°
∵BD∥AC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，
∵∠CBD=∠ABD+∠ABC=45°+60°=105°，
∴∠1=75°，
故答案为：D．
【分析】根据角平分线先求出∠BAC=45°，再求出∠ABD=∠BAC=45°，∠1+∠CBD=180°，最后计算求解即可。
2．（2021七上·农安期末）如图，已知AD//BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=（ ）
A．64° B．66° C．74° D．86°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠B=32°，
∴∠ADB=∠B=40°，∠DEC=∠ADE
∵DB平分∠ADE，
∴∠ADE=2∠ADB=64°
∴∠DEC=∠ADE=64°
故答案为：A
【分析】先求出∠ADB=∠B=40°，∠DEC=∠ADE，再求出∠ADE=2∠ADB=64°，最后计算求解即可。
3．（2021七上·宽城期末）直线、、、如图所示．若∠1=∠2，则下列结论错误的是（ ）
A．ABCD B．∠EFB=∠3 C．∠4=∠5 D．∠3=∠5
【答案】D
【知识点】角的大小比较；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故A不符合题意；
∴∠4=∠5，故C不符合题意；
∵∠EFB与∠3是对顶角，
∴∠EFB=∠3，故B符合题意，
无法判断∠3=∠5，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】先根据∠1=∠2，可得AB//CD，再利用平行线的性质分别判断即可。
4．（2021八上·长春月考）如图， ，以点B为圆心，小于DB长为半径作圆弧，分别交BA、BD于点E，F，再分别以点E、F为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点G，作射线BG交CD于点H．若 ，则 的大小为（ ）度．
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：由题意可知：BG是∠ABD的角平分线
∴∠ABH=∠DBH
∵
∴∠ABH=∠DHB
∴∠DHB=∠DBH
∵
∴∠DHB=（180°-116°）÷2=32°
故答案为：C．
【分析】先求出∠ABH=∠DBH，再求出∠DHB=∠DBH，最后计算求解即可。
5．（2021八上·冠县期中）如图， 是 的平分线， 交 于点E。若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠1＝50°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠FAC＝25°，
∵EF∥AC，
∴∠2=∠FAC＝25°．
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质即可得出 的度数。
6．（2021九上·长沙期中）如图，直线 ，将三角尺的直角顶点放在直线b上，若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
故答案为：B.
【分析】对图形进行角标注，根据平角的概念求出∠3的度数，然后根据平行线的性质进行解答.
7．（2021七上·平阳期中）如图，给出下列条件：① ；② ；③ ，且 ；④ 且 ；其中能推出 的条件为（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．②③④
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解： ①∵ ，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），错误；
②∵ （内错角相等，两直线平行） ，∴BC∥AD，正确；
③∵ ，∴∠ADC+∠BAD=180°，又∵ ，∴∠B+∠BAD=180°，∴BC∥AD（同旁内角互补，两直线平行），正确；
④ ，∴∠ADE=∠BAD，又∵ ，∴∠ADE=∠BCD，∴BC∥AD（同位角相等，两直线平行），正确；
综上，正确的是②③④ .
故答案为：D.
【分析】平行线的判定定理有内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；根据条件进行分别分析判断，即可解答.
8．（2021八上·温岭竞赛）如图所示，a//b，则下列式子中，值为180°的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点A作AG∥b，
∵a∥b，
∴AG∥b∥a，
∴∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，
∴∠1=∠α-∠γ，
∴∠β+∠α-∠γ=180°.
故答案为：A.
【分析】 过点A作AG∥b，利用在同一平面内，同平行于一条直线的两直线平行，可证得AG∥b∥a，利用平行线的性质可得到∠α=∠γ+∠1，∠β+∠1=180°，可得到∠β+∠α-∠γ的值，即可得到答案.
9．（2021八上·汽开区期中）下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的两个角是对顶角
B．在同一平面内，若a∥b，b∥c，则a∥c
C．同旁内角互补
D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】A、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，如：等腰直角三角形的两个底角，故此项假命题；
B、在同一平面内，若a∥b，b∥c、则a∥c，故此项真命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故此项假命题；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故此项假命题；
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质、平行线的判定与性质逐一判断即可.
10．（2021八上·巨野月考）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=6，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．17 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠DBE，∵EF∥BC，∴∠DBC=∠BDE，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，同理可得，CF=DF，∴△AEF的周长=AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，∵BC=6，∴△ABC的周长=9+6=15．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到BE=DE，DF=FC，所以△AEF的周长=AE+BE+AF+CF=AB+AC=9，再结合BC=6，即可得到△ABC的周长。
二、填空题
11．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，，，则 ．
【答案】95°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【分析】先求出∠BEF=60°，再求出∠FEC=∠DCE，最后计算求解即可。
12．（2021七上·龙凤期末）如图，已知ABCD，和的平分线相交于，，求的度数 ．
【答案】110°
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：过点E作EH∥AB，如图所示，
∵AB∥CD，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠ABE=∠BEH，∠CDE=∠DEH，
∵∠BEH+∠DEH+∠BED=360°，∠BED=140°，
∴∠BEH+∠DEH=220°，
∴∠ABE+∠CDE=220°，
∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，
∴∠EBF+∠EDF=（∠ABE+∠CDE）=110°，
∵∠BFD+∠BED+∠EBF+∠EDF=360°，
∴∠BFD=110°．
故答案为：110°．
【分析】先求出∠ABE+∠CDE=220°，再利用角平分线的定义计算求解即可。
13．（2021七上·岱岳期中）如图，已知OC平分∠AOB，CD//OB，若OD=3cm，则CD= cm．
【答案】3
【知识点】平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解： CD//OB， ∠C=∠COB，
OC平分∠AOB
CD=OD=3
故答案为：3．
【分析】先求出∠C=∠COB，再求出∠AOC=∠C，最后求解即可。
14．（2021九上·长沙期中）如图，直线a，b被直线c所截，已知a∥b，∠1=130°，则∠2为 度．
【答案】50
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵如图，取∠3，
∵∠3=∠1=130°，
∵a∥b，
∴∴∠2=180°-130°=50°.
故答案为：50.
【分析】取∠3，根据对顶角的性质求出∠3，再根据平行线的性质求∠2即可.
15．（2021八上·太和月考）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则 的度数为 。
【答案】40°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠1=50°，a//b，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°-50°=40°．
故答案为：40°．
【分析】根据两直线平行同位角相等可得∠3=∠1=50°，利用平角的定义求出∠2即可.
16．（2021八上·固阳月考）如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝
【答案】90°
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，根据平行线的性质可得：∠ABC+∠BCD=180°，则∠PBC+∠PCB=90°，则∠P=90°．
【分析】先求出BP平分∠ABC，CP平分∠BCD，再求出∠ABC+∠BCD=180°，最后计算求解即可。
三、综合题
17．（2020八上·青岛期末）如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．
【答案】（1）解：AC∥EF．理由：
∵∠1＝∠BCE，
∴AD∥CE．
∴∠2＝∠4．
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠4+∠3＝180°．
∴EF∥AC．
（2）解：∵AD∥EC，CA平分∠BCE，
∴∠ACD＝∠4＝∠2．
∵∠1＝72°，
∴∠2＝36°．
∵EF∥AC，EF⊥AB于F，
∴∠BAC＝∠E＝90°．
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2
＝54°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）由 ∠1＝∠BCE， 得出直线AD与EC平行，得出 ∠2＝∠4． 再由 ∠2+∠3＝180°， 判断出AC与EF的位置关系；
（2）由（1）的结论及垂直可得出 ∠BAC 的度数，再由平行线及角平分线的性质得出 ∠2 的度数，利用角的和差关系即可得出答案。
18．（2021七上·长春期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，．
（1）若，则的度数为 ；
（2）直接写出与的数量关系： ；
（3）直接写出与的数量关系： ；
（4）如图2，当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出角度所有可能的值 ▲ ．
【答案】（1）65°
（2）∠1=∠3
（3）∠ACB+∠2=180°
（4）解：存在一组边互相平行；30°或45°或120°或135°或165°．
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）∵，，
∴，，
即，，
∴，
故答案为：；
（3）由（2）得：
，
∴，
由图可知：，
∴，
故答案为：；
（4）①如图所示：当时，
，
由（2）可知：；
②如图所示：当时，
；
③如图所示：当时，
，
∴；
④如图所示：当时，
，
∴；
⑤如图所示：当时，延长AC交BE于点F，
∴，
∵，
∴，
∴；
综合可得：的度数为：30°或45°或120°或135°或165°，
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【分析】（1）先求出，再根据计算求解即可；
（2）根据垂直求出，，再求解即可；
（3）先求出，再求出，最后求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行线的性质计算求解即可。
19．（2021七上·德惠期末）已知AB∥CD，点是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ ），
∴∠BAE+∠DCE＝ + （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；∠1；∠2；∠AEC＝∠BAE+∠DCE
（2）解：①过F作FG∥AB，
由（1）得：∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∵AB∥CD，FG∥AB，
∴CD∥FG，
∴∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC，
∴∠AFC=∠AFG+∠GFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
＝∠BAE+∠DCE，
=（∠BAE+∠DCE），
＝∠AEC，
＝×74°，
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴2∠AFC+∠AFC＝126°
∴3∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝84°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF=90-∠AFC=48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，两直线平行，内错角相等，∠1，∠2，∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）①根据平行线的性质求出 ∠BAF=∠AFG，∠DCF=∠GFC， 再求出 ∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE， 最后求解即可；
②先求出 ∠CGF＝90°， 再求出 ∠GCE＝∠ECD， 最后求解即可。
20．（2021七上·虎林期末）如图（1）所示，，说明：
（1）；
（2）当点在直线BF的右侧时，如图所示，若，则与，的关系如何？请说明理由
【答案】（1）证明：过C作CD∥AB，
∵AB∥EF，
∴CD∥AB∥EF，
∴∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，
∴∠B+∠F=∠BCF．
（2）解：∠B+∠F+∠BCF=360°，
理由是：过C作CD∥AB，
则∠B+∠BCD=180°，
又∵AB∥EF，AB∥CD，
∴CD∥EF∥AB，
∴∠F+∠FCD=180°，
∴∠B+∠F+∠BCF=360°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）过C作CD∥AB，可得CD∥AB∥EF，由平行线的性质可得∠B=∠BCD，∠F=∠FCD，从而得出∠B+∠F=∠BCF．
（2） ∠B+∠F+∠BCF=360°，理由是：过C作CD∥AB， 可得CD∥EF∥AB， 由平行线的性质可得 ∠B+∠BCD=180°，∠F+∠FCD=180°，从而得出∠B+∠F+∠BCF=360°．
21．（2021七上·长春期末）小明同学遇到这样一个问题：
如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．
求证：∠BED＝∠B+∠D．
小亮帮助小明给出了该问的证明．
证明：
过点E作EF∥AB
则有∠BEF＝∠B
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠FED＝∠D
∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D
请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：
（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．
（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图所示，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC=15°，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°
（2）解：当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；
如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；
如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，
∴∠APG=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PG∥l2，
∴∠BPG=∠PBD=40°，
∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；
∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．
【分析】（1）先求出 ∠APG=∠PAC=15°， 再求出 PG∥l2， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形，计算求解即可。
22．（2021七上·双阳期末）已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．
（1）（基础问题）如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．
证明：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（ ）
∵MN∥AB，
∴∠A＝（ ）（ ）
∵MN∥CD，
∴∠D＝ ▲ （ ）
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
（2）（类比探究）如图2，当点G在线段EF延长线上时，直接写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．
（3）（应用拓展）如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，直接写出∠DGA的度数．
【答案】（1）解：过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），
∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．
（2）解：如图所示，过点G作直线MN∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵MN∥AB，
∴∠A＝∠AGM，
∵MN∥CD，
∴∠D＝∠DGM，
∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．
（3）解：∠DGA=42°
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：应用拓展：（3）如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD，PQ∥CD
∵MN∥AB，PQ∥AB，
∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，
∵MN∥CD，PQ∥CD，
∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，
∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，
∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，
∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，
∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，
∵AH平分∠BAG，
∴∠BAG=2∠BAH=108°，
∴∠AGM=108°，
∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．
【分析】（1）利用平行线的判定与性质求解即可；
（2）先求出 MN∥CD， 再求出 ∠D＝∠DGM， 最后求解即可；
（3）先求出∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再求出∠AGM=108°，最后计算∠AGD的度数即可。
23．（2021七上·农安期末）已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
（2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 ．
（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【答案】（1）解：∵∠A=50°，∠D=150°，
过点P作PQ∥AB，
∴∠A=∠APQ=50°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，
∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°
（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°
（3）解：设PD交AN于O，如图，
∵AP⊥PD，
∴∠APO=90°，
由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，
又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，
∴∠POA=∠PAB，
∵∠POA=∠NOD，
∴∠NOD=∠PAB，
∵DN平分∠PDC，
∴∠ODN=∠PDC，
∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，
由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，
∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)
=180°-(180°+∠APD)
=180°-(180°+90°)
=45°，
即∠AND=45°．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，
如图，作PQ∥AB，
∴∠PAB=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，
∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，
∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；
∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；
【分析】（1）先求出 ∠A=∠APQ=50°， 再求出 ∠DPQ=30°， 最后计算求解即可；
（2）先求出PQ∥CD，再求出∠DPQ=180°-∠CDP，最后求解即可；
（3）利用角平分线求出 ∠ODN=∠PDC， 再计算求解即可。
24．（2021七上·朝阳月考）（感知）如图①， ， ，．求的度数．
（提示：过点P作直线）
（1）当点P在线段AB上运动时，，，之间的数量关系为 ．
（2）当点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），直接写出，， 之间的数量关系为 ．
【答案】（1）
（2）或
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）探究（1）．
如图②：作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
（2）或．
如图③：当P在AM上时，作，
∵，
∴，
∴∠DPQ=∠，∠CPQ=∠ ，
∴；
当P在OB上时，同理：．
综上所述，或．
【分析】（1）根据平行线的性质和角的运算求解即可；
（2）根据平行线的性质和角的运算求解即可。
25．（2021八上·寿县期中）探究问题：已知∠ABC，画一个角∠DEF，使DEAB，EFBC，且DE交BC于点P，∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系？
（1）我们发现∠ABC与∠DEF有两种位置关系，如图1与图2所示．
①图1中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；图2中∠ABC与∠DEF数量关系为 ；
②由①得出一个真命题（用文字叙述） ．
（2）应用②中的真命题，解决以下问题：
若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，请求出这两个角的度数．
【答案】（1）；；如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补
（2）解：设两个角分别为x和2x-30°，
由题意x=2x-30°或x+2x-30°=180°，
解得x=30°或x=70°，
这两个角的度数为30°，30°或70°和110°
【知识点】平行线的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）①如图1
∵
∴
如图2，
故答案为： ，
②结论：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
故答案为：如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补．
【分析】（1）①先求出，再求出，最后计算求解即可；
②求出如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等或互补即可作答；
（2）先求出 x=2x-30°或x+2x-30°=180°， 再求出 x=30°或x=70°， 即可作答。
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