2021-2022学年浙教版数学七下2.4 二元一次方程组的应用同步练习
一、单选题
1．（2021八上·榆林期末）在全国足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，已知某足球队连续10场保持不败，共得22分，根据比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，求该足球队胜了多少场？平了多少场？设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得
.
故答案为：B.
【分析】设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，表示出胜的得分以及平的得分，根据总场数为10、共得分22分就可列出方程组.
2．（2021七上·长春期末）某班有x人，分y组活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有3人．求全班人数，下列方程组中正确的是（ )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】若每组7人，分为y组，共有7y人，还余下3人，则共有7y+3人，可得7y+3=x，即7y-x=-3，若每组8人，分为y组，共有8y人，最后一组只有3人，说明少了5人，可得8y-5=x，即8y-x=5，所以可得方程组.
故答案为：C
【分析】此题不变的是全班的人数x人，等量关系有：每组7人，则余下3人；每组8人，则最后一组只有3人，即最后一组差5人不到8人。
3．（2021七上·江油期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得，
解得，
∴S阴影部分=S长方形ABCD-5S小长方形=7×11-5×2×5=27cm2.
故答案为：D.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，再利用S阴影部分=S长方形ABCD-5S小长方形列出算式进行计算，即可得出答案.
4．（2021八上·枣庄月考）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，依题意得：
，
故答案为：D．
【分析】设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，即可列出方程组。
5．（2021七上·利辛月考）某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解： 设该队胜的场数为x，负的场数为y，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据等量关系：胜的场数+负的场数=8，积分=胜场得的分数-胜场得的分数，列出方程组即可.
6．（2021八上·长清期中）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分，设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设该班胜x场，负y场，
依题意得： ．
故答案为：A．
【分析】设该班胜x场，负y场，根据题意列出方程组。
7．（2021九上·云阳月考）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？共意思为：现有七捆上等稻子和两捆下够稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子.问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：C.
【分析】根据今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗可得方程7x+2y-1=10；根据下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗可得方程2x+8y+1=10，联立可得方程组.
8．（2021九上·重庆月考）《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之适等.交易其一，金轻十三两.问：金、银各一枚各重几何？”译文：“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等，若把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两.问：每枚黄金、白银的重量各多少两？”设每枚黄金 两，每枚白银 两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等；把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两，据此列出方程组即可.
9．（2021·南通）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
依题意得 ，
故答案为：D.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，根据“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，列出方程组即可.
10．（2021·荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据：绳长=木条+4.5；绳长=木条-1，列出方程组即可.
二、填空题
11．（2021八上·枣庄月考）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是 岁．
【答案】15
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设此时弟弟岁，哥哥岁，
由题意：，
解得：，
∴此时哥哥的年龄是15岁，
故答案为：15．
【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意列出方程组求解即可。
12．（2021八上·枣庄月考）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为 cm．
【答案】2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，
根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，
则，
大长方形的长可以表示为，
则，
，解得．
故答案是：2．
【分析】设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，再根据图形列出方程组求解即可。
13．（2021八上·奉贤期中）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．
【答案】22.5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，
由题意得， ，
解得： ，
答：该三角形的最小内角等于22.5°，
故答案为：22.5．
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
14．（2021九上·西安期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为 ，则图2所表示的方程组的解为 ．
【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
解得：
故答案为：.
【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10或5，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式.
15．（2021八下·重庆期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园.假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的.由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％.假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和.开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％.请问从早上9点开始，经过 小时植物园游客数量达到饱和.
【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的总设计承载人数为a人.
根据题意，得，
解得，
∴
故答案为：
【分析】设每个入口1小时进入x个人，每个出口1小时外出y个人，植物园的总设计承载人数为a个
人，由题意可得若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%，据此列出方程组求解，结合开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％即可解答.
16．（2021九上·沙坪坝月考）某运输公司有核定载重量之比为 的甲、乙、丙三种货车，该运输公司接到为某灾区免费运输物资任务，迅速按照各车型核定载重量将物资运往灾区，承担本次运输的三种货车数量相同，当这批物资送达灾区后，发现还需要一部分物资才能满足当地灾区的需要，于是该运输公司又安排部分甲、乙丙三种货车进行第二次运输，其中乙型车第二次送输的物资量是还需要运输的物资量的 ，丙型车两次运输的物资总量是两次运往灾区物资总量的 ，甲型车两次运输的物资总量与乙型车两次运输的物总量之比为 ，则甲型车第一次与甲型车第二次运输的物资量之比是 .
【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设第一次甲种货车运输的总重量为3x，乙种货车运输的总重量为4x，丙种货车运输的总重量为5x，第二次三种货车运输的总重量为y，根据题意得，
第二次乙种货车运输的总重量为 y，
第二次甲种货车运输的总重量为 （4x+ y）-3x= ，
第二次丙种货车运输的总重量为 ，
于是有： y + + =y，
∴y= x，
∴甲型车第一次与第二次运输的物资量之比：3x：（ ）= .
故答案为： .
【分析】设第一次甲种、乙种、丙种货车运输的总重量分别为3x、4x、5x，第二次三种货车运输的总重量为y，根据题意分别表示出第二次甲种、乙种、丙种货车分别运输的总重量，列出关于x、y的二元一次方程，然后表示出y，进而求出甲型车第一次与第二次运输的物资量之比.
三、综合题
17．（2021八上·鄞州开学考）某厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B，两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？
（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：甲： ，
乙： ，根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数 表示的意义：甲： 表示 ， 表示 ；乙： 表示 ， 表示 .
（2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个
【答案】（1）A型纸盒个数；B型纸盒个数；A型纸盒中正方形纸板个数；B型纸盒中正方形纸板的个数
（2）解：设做成的A型盒子 个，做成的B型盒子 个
，
A型盒有60个，B型盒有40个。
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）甲： 表示A型纸盒个数， 表示B型纸盒个数；乙： 表示A型纸盒中正方形纸板个数， 表示B型纸盒中正方形纸板的个数；
故答案为：A型纸盒个数，B型纸盒个数；A型纸盒中正方形纸板个数，B型纸盒中正方形纸板的个数；
【分析】（1）根据无盖纸盒的长方形木板和正方形木板的关系可以求解；
（2）求解两个同学所列的两个方程中的一个即可求得盒子的个数．
18．（2021·贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过 时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 时，超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量为 ，缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家，用水量为 ，缴纳水费51.4元.
（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【答案】（1）解：设该市一级水费的单价为 元/ ，二级水费的单价为 元/ ，
依题意得 ，解得 ，
答：该市一级水费的单价为3.2元/ ，二级水费的单价为6.5元/ .
（2）解：当水费为64.4元，则用水量超过 ，
设用水量为 ，得， ，
解得： .
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该市一级水费的单价为 元/ ，二级水费的单价为 元/ ，根据“李阿姨家五月份用水量为 ，缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家，用水量为 ，缴纳水费51.4元”
列出方程组，求解即可；
（2）当水费为64.4元，则用水量超过 ，设用水量为 ，根据第一级水费+第二级的水费=64.4，列出方程，求解即可.
19．（2021七下·萧山期末）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问：
（1）马牛各价几何？
（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？
【答案】（1）解：设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意可得：
解得：
∴马每匹6两，牛每头4两；
（2）解：结合（1）的结论，得马一十三匹、牛十头共价：13×6＋10×4＝118两.
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：马四匹、牛六头，共价四十八两马三匹、牛五头，共价三十八两，利用这两个等量关系，设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）将x，y的值代入13x+10y，进行计算可求出结果.
20．（2021七下·拱墅期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）.设小长方形的长和宽分别为a和b（a＞b）.
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积.
【答案】（1）3a=5b
（2）解：由图2可知， ，与（1）中 联立方程组：
，
解得： ，
所以小长方形的面积为60；
（3）解：设小正方形的边长为x，
由图2可知： ，
则： ，
∵
∴ ，代入 ，
得： ，
所以小正方形的面积为： .
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）由题可知：3a=5b；
【分析】（1）由长方形的对边相等可得3a=5b；
（2）由图2可知 ，联立3a=5b，求出a、b的值，利用长方形的面积公式求解即可；
（3）设小正方形的边长为x，由图2可知 ，联立3a=5b，求出x=b，利用正方形的面积公式计算即可.
21．（2020七下·上城期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形.
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？
【答案】（1）解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；
（2）解：∵每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，
∴图中阴影部分面积为18×（12+2）-8×2×10=92（平方厘米）.
答：图中阴影部分面积为92平方厘米.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，利用长方形ABCD的长为18，宽为12，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
（2）利用（1）中的数据，可求出阴影部分的面积.
22．（2021七下·滨江期末）甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h.
（1）若小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，来回走平路分别都用了 小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用方程组的方法解）.
（2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km.若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同，求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）.
【答案】（1）解：设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，根据题意可得：
，
解得： ，
小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km
（2）解： 小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为vkm/h，上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km，
从甲地到乙地的平路路程为 km，
设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得：
，
解得： .
经检验 是原方程的解，且符合题意，
小明从乙地到甲地平路上走的平均速度为 km/h.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）此题关键已知条件：小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，据此设未知数，列方程组；然后求出方程组的解即可.
（2）利用已知求出从甲地到乙地的平路路程，设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
23．（2021七下·大冶期末）已知，关于 ， 的方程组 的解满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）化简 .
【答案】（1）解：解方程组得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ 的取值范围是
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
则原式 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意解方程组可将x、y用含a的代数式表示出来，再根据x＞y＞0可得关于a的不等式组，解不等式组可求解；
（2）由（1）中a的取值范围可得a-3＞0，2-a＜0，再由绝对值的非负性可去绝对值，合并同类项即可求解.
24．（2021七下·防城港期末）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知在某商店购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需680元，购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需540元
（1）求A，B两种品牌的足球的单价；
（2）“五一”期间，该商店对足球进行打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，学校打算购买15个A品牌的足球和4个B品牌的足球，问学校购买这批打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？
【答案】（1）解：A种品牌的足球的单价为 元/个，B种品牌的足球的单价为 元/个，
根据题意有
解得
答：A，B两种品牌的足球的单价分别为120元/个和100元/个
（2）解：15
答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了400元
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A种品牌的足球的单价为 元/个，B种品牌的足球的单价为 元/个， 根据题意列出一个二元一次方程组，解出x、y即可；
（2）结合题意根据（1-折扣）×原价=节省的钱即可求解.
25．（2021八上·汕头开学考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）.
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含x，y的代数式表示）
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
【答案】（1）360-x-y
（2）解：如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE= ∠ADC，∠CBF= ∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）解：①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF= （x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，
得∠FBD+∠FDB=180°-y+ （x+y）=180°- y+ x，
∴∠DFB= y- x=30°，
解方程组： ，
解得： ；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在
【知识点】角的运算；二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∠ABC+∠ADC=360-x-y；
故答案为360-x-y；
【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算即可得到答案；
（2）利用角平分线的性质结合三角形三角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB= y- x=30°，解方程组可得出x、y的值；②当x=y时，可得∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在。
26．（2021七下·曾都期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）.
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元.
（1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
【答案】（1）解：由题意得， ，
解得 ；
（2）解： （元）
答：小红家七月份应缴水费64.25元.
（3）解：设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 .
∵ ，
∴ ，即四月份的用水量低于10m.
①当 时，缴费总量为：
，
解得 不合题意，舍去.
②当 时，缴费总量为：
，
解得 ，此时 ，符合题意.
答：小聪家四月份的用水量为 ，五月份的用水量为 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元列出方程组，解之即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算即可；
（3）设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 ，分两种情况：①当 时，②当 时， 据此分别列出一元一次方程，求解即可.
1 / 12021-2022学年浙教版数学七下2.4 二元一次方程组的应用同步练习
一、单选题
1．（2021八上·榆林期末）在全国足球联赛中，每场比赛都要分出胜负，已知某足球队连续10场保持不败，共得22分，根据比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，求该足球队胜了多少场？平了多少场？设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021七上·长春期末）某班有x人，分y组活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则最后一组只有3人．求全班人数，下列方程组中正确的是（ )
A． B．
C． D．
3．（2021七上·江油期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，BC＝11cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
4．（2021八上·枣庄月考）有一个两位数和一个一位数，它们的和为39，若将两位数放在一位数的前面，得到的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数大27，求这两个数．若设两位数是x，一位数是y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021七上·利辛月考）某市举办中学生足球赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得3分，负一场扣1分，菁英队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021八上·长清期中）某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．八年级一班在16场比赛中得26分，设该班胜x场，负y场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·云阳月考）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载：今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗.问上、下禾实一秉各几何？共意思为：现有七捆上等稻子和两捆下够稻子打成谷子，再减去一斗谷子，最后得到十斗谷子；八捆下等稻子和两捆上等稻子打成谷子，再加上一斗谷子，最后得到十斗谷子.问一捆上等稻子和一捆下等稻子各打谷子多少斗？设一捆上等稻子和一捆下等稻子分别打成谷子x斗，y斗，则可建立方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2021九上·重庆月考）《九章算术》中记载：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之适等.交易其一，金轻十三两.问：金、银各一枚各重几何？”译文：“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等，若把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两.问：每枚黄金、白银的重量各多少两？”设每枚黄金 两，每枚白银 两，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·南通）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2021·荆门）我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021八上·枣庄月考）弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”则哥哥的年龄是 岁．
12．（2021八上·枣庄月考）在长方形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽CE为 cm．
13．（2021八上·奉贤期中）如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于 度．
14．（2021九上·西安期中）在《九章算术》的“方程”一章中，一次方程组是由算筹布置而成的，若图1所示的算筹图表示的方程组为 ，则图2所表示的方程组的解为 ．
15．（2021八下·重庆期末）今年4月23号，位于重庆两江新区的光环购物公园隆重开业。该购物公园最具吸引力的就是建跨7层，拥有42米立体垂直景观的“沐光森林”植物园.假设该植物园拥有6个出入口，每个出入口都是单向的且在单位时间内每个入口和出口经过的游客数量是一定的；并且植物园的最大承载游客数量也是固定的.由于疫情防控和现场安全的原因，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90％.假设植物园每天早上九点开始接待游客，若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱和.开业当天由于人流量激增，为了安全起见仅开放了2个入口，4个出口，且开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％.请问从早上9点开始，经过 小时植物园游客数量达到饱和.
16．（2021九上·沙坪坝月考）某运输公司有核定载重量之比为 的甲、乙、丙三种货车，该运输公司接到为某灾区免费运输物资任务，迅速按照各车型核定载重量将物资运往灾区，承担本次运输的三种货车数量相同，当这批物资送达灾区后，发现还需要一部分物资才能满足当地灾区的需要，于是该运输公司又安排部分甲、乙丙三种货车进行第二次运输，其中乙型车第二次送输的物资量是还需要运输的物资量的 ，丙型车两次运输的物资总量是两次运往灾区物资总量的 ，甲型车两次运输的物资总量与乙型车两次运输的物总量之比为 ，则甲型车第一次与甲型车第二次运输的物资量之比是 .
三、综合题
17．（2021八上·鄞州开学考）某厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板做成如图乙所示的A，B，两种长方体形状的无盖纸盒.现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？
（1）根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：甲： ，
乙： ，根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数 表示的意义：甲： 表示 ， 表示 ；乙： 表示 ， 表示 .
（2）求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个
18．（2021·贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过 时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过 时，超过部分按二级单价收费.已知李阿姨家五月份用水量为 ，缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家，用水量为 ，缴纳水费51.4元.
（1）问该市一级水费，二级大费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
19．（2021七下·萧山期末）（我国古代算题）马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问：
（1）马牛各价几何？
（2）马一十三匹、牛十头，共价几何？
20．（2021七下·拱墅期末）用8个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图1所示的大长方形；若用这8个小长方形拼成如图2所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形（阴影部分）.设小长方形的长和宽分别为a和b（a＞b）.
（1）由图1，可知a，b满足的等量关系是 ；
（2）若图2中小正方形的边长为2，求小长方形的面积；
（3）用含b的代数式表示图2中小正方形的面积.
21．（2020七下·上城期末）如图，在长方形ABCD中，放入8个完全相同的小长方形.
（1）每个小长方形的长和宽分别是多少厘米？
（2）图中阴影部分面积为多少平方厘米？
22．（2021七下·滨江期末）甲地到乙地全程5.5km，小明从甲地走路去乙地，其中有一段上坡路、一段平路和一段下坡路.如果上坡路的平均速度为2km/h，下坡路的平均速度为5km/h.
（1）若小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，来回走平路分别都用了 小时，求出小明从甲地到乙地的上坡路和下坡路的路程（请用方程组的方法解）.
（2）若小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为v（km/h），上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km.若小明从乙地到甲地所用的时间与从甲地到乙地的时间相同，求小明从乙地到甲地平路上走的平均速度（用含v的代数式表示）.
23．（2021七下·大冶期末）已知，关于 ， 的方程组 的解满足 .
（1）求 的取值范围；
（2）化简 .
24．（2021七下·防城港期末）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知在某商店购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需680元，购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需540元
（1）求A，B两种品牌的足球的单价；
（2）“五一”期间，该商店对足球进行打折促销，其中A品牌打八折，B品牌打九折，学校打算购买15个A品牌的足球和4个B品牌的足球，问学校购买这批打折后的足球所花的费用比打折前节省了多少钱？
25．（2021八上·汕头开学考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）.
（1）∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含x，y的代数式表示）
（2）如图1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分与∠ABC相邻的外角，请写出DE与BF的位置关系，并说明理由．
（3）如图2，∠DFB为四边形ABCD的∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线构成的锐角，
①当x＜y时，若x+y=140°，∠DFB=30°，试求x、y．
②小明在作图时，发现∠DFB不一定存在，请直接指出x、y满足什么条件时，∠DFB不存在．
26．（2021七下·曾都期末）水是生命之源，“节约用水，人人有责”.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息（注：水费按月份结算，m3表示立方米）
每户每月用水量（m3） 自来水销售价格（元/m3） 污水处理价格（元/m3）
不超出6m3部分 1.10
超出6m3不超出10m3的部分 1.10
超出10m3的部分 7.00 1.10
（注：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）.
已知2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元.
（1）请你根据以上信息，求表中 ， 的值；
（2）由于七月份正值夏天，小红家预计用水12.5吨，求小红家七月份预计应缴水费多少元？
（3）若小聪家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共缴水费89元，则小聪家四、五月份的用水量各是多少？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，根据题意可得
.
故答案为：B.
【分析】设该足球队胜的场数是x，平的场数是y，表示出胜的得分以及平的得分，根据总场数为10、共得分22分就可列出方程组.
2．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】若每组7人，分为y组，共有7y人，还余下3人，则共有7y+3人，可得7y+3=x，即7y-x=-3，若每组8人，分为y组，共有8y人，最后一组只有3人，说明少了5人，可得8y-5=x，即8y-x=5，所以可得方程组.
故答案为：C
【分析】此题不变的是全班的人数x人，等量关系有：每组7人，则余下3人；每组8人，则最后一组只有3人，即最后一组差5人不到8人。
3．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，
根据题意得，
解得，
∴S阴影部分=S长方形ABCD-5S小长方形=7×11-5×2×5=27cm2.
故答案为：D.
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，再利用S阴影部分=S长方形ABCD-5S小长方形列出算式进行计算，即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，依题意得：
，
故答案为：D．
【分析】设两位数是x，一位数是y，则两位数放在一位数的前面，得到的三位数为10x+y，将一位数放在两位数的前面得到的三位数为100y+x，即可列出方程组。
5．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解： 设该队胜的场数为x，负的场数为y，
根据题意得：.
故答案为：D.
【分析】设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据等量关系：胜的场数+负的场数=8，积分=胜场得的分数-胜场得的分数，列出方程组即可.
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设该班胜x场，负y场，
依题意得： ．
故答案为：A．
【分析】设该班胜x场，负y场，根据题意列出方程组。
7．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：C.
【分析】根据今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾两秉，而实一十斗可得方程7x+2y-1=10；根据下禾八秉，益实一斗，于上禾二秉，而实一十斗可得方程2x+8y+1=10，联立可得方程组.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：依题意得： .
故答案为：A.
【分析】抓住已知条件：“9枚黄金和11枚白银的重量恰好相等；把一枚黄金和一枚白银交换位置，则原来放黄金那边的重量就要轻13两，据此列出方程组即可.
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木长x尺，绳长y尺，
依题意得 ，
故答案为：D.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，根据“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，列出方程组即可.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：
，
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据：绳长=木条+4.5；绳长=木条-1，列出方程组即可.
11．【答案】15
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】设此时弟弟岁，哥哥岁，
由题意：，
解得：，
∴此时哥哥的年龄是15岁，
故答案为：15．
【分析】设此时弟弟岁，哥哥岁，根据题意列出方程组求解即可。
12．【答案】2
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，
根据图形，大长方形的宽可以表示为，或者，
则，
大长方形的长可以表示为，
则，
，解得．
故答案是：2．
【分析】设小长方形的宽CE为，小长方形的长是，再根据图形列出方程组求解即可。
13．【答案】22.5
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】设直角三角形的最小内角为x，另一个内角为y，
由题意得， ，
解得： ，
答：该三角形的最小内角等于22.5°，
故答案为：22.5．
【分析】先求出，再求出，最后作答即可。
14．【答案】
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组为
解得：
故答案为：.
【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10或5，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设每个入口1小时进入x人，每个出口1小时外出y人，植物园的总设计承载人数为a人.
根据题意，得，
解得，
∴
故答案为：
【分析】设每个入口1小时进入x个人，每个出口1小时外出y个人，植物园的总设计承载人数为a个
人，由题意可得若开放5个入口，1个出口，2个小时游客数量就将饱和；若开放3个入口，3个出口，4个小时游客数量将达到饱，目前植物园对外开放最大可承载游客量为设计数量的90%，据此列出方程组求解，结合开业当天游客最大承载量定为总设计可承载人数的84％即可解答.
16．【答案】
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设第一次甲种货车运输的总重量为3x，乙种货车运输的总重量为4x，丙种货车运输的总重量为5x，第二次三种货车运输的总重量为y，根据题意得，
第二次乙种货车运输的总重量为 y，
第二次甲种货车运输的总重量为 （4x+ y）-3x= ，
第二次丙种货车运输的总重量为 ，
于是有： y + + =y，
∴y= x，
∴甲型车第一次与第二次运输的物资量之比：3x：（ ）= .
故答案为： .
【分析】设第一次甲种、乙种、丙种货车运输的总重量分别为3x、4x、5x，第二次三种货车运输的总重量为y，根据题意分别表示出第二次甲种、乙种、丙种货车分别运输的总重量，列出关于x、y的二元一次方程，然后表示出y，进而求出甲型车第一次与第二次运输的物资量之比.
17．【答案】（1）A型纸盒个数；B型纸盒个数；A型纸盒中正方形纸板个数；B型纸盒中正方形纸板的个数
（2）解：设做成的A型盒子 个，做成的B型盒子 个
，
A型盒有60个，B型盒有40个。
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）甲： 表示A型纸盒个数， 表示B型纸盒个数；乙： 表示A型纸盒中正方形纸板个数， 表示B型纸盒中正方形纸板的个数；
故答案为：A型纸盒个数，B型纸盒个数；A型纸盒中正方形纸板个数，B型纸盒中正方形纸板的个数；
【分析】（1）根据无盖纸盒的长方形木板和正方形木板的关系可以求解；
（2）求解两个同学所列的两个方程中的一个即可求得盒子的个数．
18．【答案】（1）解：设该市一级水费的单价为 元/ ，二级水费的单价为 元/ ，
依题意得 ，解得 ，
答：该市一级水费的单价为3.2元/ ，二级水费的单价为6.5元/ .
（2）解：当水费为64.4元，则用水量超过 ，
设用水量为 ，得， ，
解得： .
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为 .
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设该市一级水费的单价为 元/ ，二级水费的单价为 元/ ，根据“李阿姨家五月份用水量为 ，缴纳水费32元.七月份因孩子放假在家，用水量为 ，缴纳水费51.4元”
列出方程组，求解即可；
（2）当水费为64.4元，则用水量超过 ，设用水量为 ，根据第一级水费+第二级的水费=64.4，列出方程，求解即可.
19．【答案】（1）解：设马每匹x两，牛每头y两，
根据题意可得：
解得：
∴马每匹6两，牛每头4两；
（2）解：结合（1）的结论，得马一十三匹、牛十头共价：13×6＋10×4＝118两.
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【分析】（1）抓住关键已知条件：马四匹、牛六头，共价四十八两马三匹、牛五头，共价三十八两，利用这两个等量关系，设未知数，列方程组，然后求出方程组的解.
（2）将x，y的值代入13x+10y，进行计算可求出结果.
20．【答案】（1）3a=5b
（2）解：由图2可知， ，与（1）中 联立方程组：
，
解得： ，
所以小长方形的面积为60；
（3）解：设小正方形的边长为x，
由图2可知： ，
则： ，
∵
∴ ，代入 ，
得： ，
所以小正方形的面积为： .
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】（1）由题可知：3a=5b；
【分析】（1）由长方形的对边相等可得3a=5b；
（2）由图2可知 ，联立3a=5b，求出a、b的值，利用长方形的面积公式求解即可；
（3）设小正方形的边长为x，由图2可知 ，联立3a=5b，求出x=b，利用正方形的面积公式计算即可.
21．【答案】（1）解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得： ，
解得： ，
答：每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米；
（2）解：∵每个小长方形的长和宽分别是10厘米，2厘米，
∴图中阴影部分面积为18×（12+2）-8×2×10=92（平方厘米）.
答：图中阴影部分面积为92平方厘米.
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，利用长方形ABCD的长为18，宽为12，可建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
（2）利用（1）中的数据，可求出阴影部分的面积.
22．【答案】（1）解：设从甲地到乙地上坡路长xkm，下坡路长ykm，根据题意可得：
，
解得： ，
小明从甲地到乙地的上坡路路程为2km，下坡路的路程为2.5km
（2）解： 小明从甲地到乙地，平路上的平均速度为vkm/h，上坡和下坡走的路程分别为1.5km和2km，
从甲地到乙地的平路路程为 km，
设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得：
，
解得： .
经检验 是原方程的解，且符合题意，
小明从乙地到甲地平路上走的平均速度为 km/h.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）此题关键已知条件：小明走路从甲地到乙地需 小时，从乙地走路到甲地需 小时，据此设未知数，列方程组；然后求出方程组的解即可.
（2）利用已知求出从甲地到乙地的平路路程，设从乙地到甲地平路上走的平均速度为akm/h，根据题意可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
23．【答案】（1）解：解方程组得 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
∴ 的取值范围是
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
则原式 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）由题意解方程组可将x、y用含a的代数式表示出来，再根据x＞y＞0可得关于a的不等式组，解不等式组可求解；
（2）由（1）中a的取值范围可得a-3＞0，2-a＜0，再由绝对值的非负性可去绝对值，合并同类项即可求解.
24．【答案】（1）解：A种品牌的足球的单价为 元/个，B种品牌的足球的单价为 元/个，
根据题意有
解得
答：A，B两种品牌的足球的单价分别为120元/个和100元/个
（2）解：15
答：学校购买打折后的足球所花的费用比打折前节省了400元
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设A种品牌的足球的单价为 元/个，B种品牌的足球的单价为 元/个， 根据题意列出一个二元一次方程组，解出x、y即可；
（2）结合题意根据（1-折扣）×原价=节省的钱即可求解.
25．【答案】（1）360-x-y
（2）解：如图1，延长DE交BF于G
∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，
∴∠CDE= ∠ADC，∠CBF= ∠CBM，
又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，
∴∠CDE=∠CBF，
又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，
∴∠BGE=∠C=90°，
∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；
（3）解：①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，
∵BF、DF分别平分∠CBM、∠CDN，
∴∠CDF+∠CBF= （x+y），
如图2，连接DB，则∠CBD+∠CDB=180°-y，
得∠FBD+∠FDB=180°-y+ （x+y）=180°- y+ x，
∴∠DFB= y- x=30°，
解方程组： ，
解得： ；
②当x=y时，∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在
【知识点】角的运算；二元一次方程组的应用-几何问题；角平分线的定义
【解析】【解答】（1）∠ABC+∠ADC=360-x-y；
故答案为360-x-y；
【分析】（1）利用四边形内角和定理进行计算即可得到答案；
（2）利用角平分线的性质结合三角形三角的性质得出DE与BF的位置关系即可；
（3）①利用角平分线的性质以及三角形内角和定理，得出∠DFB= y- x=30°，解方程组可得出x、y的值；②当x=y时，可得∠ABC、∠ADC相邻的外角平分线所在直线互相平行，此时∠DFB不存在。
26．【答案】（1）解：由题意得， ，
解得 ；
（2）解： （元）
答：小红家七月份应缴水费64.25元.
（3）解：设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 .
∵ ，
∴ ，即四月份的用水量低于10m.
①当 时，缴费总量为：
，
解得 不合题意，舍去.
②当 时，缴费总量为：
，
解得 ，此时 ，符合题意.
答：小聪家四月份的用水量为 ，五月份的用水量为 .
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）根据2021年三月份，小红家用水7m3，交水费27.2元，小聪家用水9m3，交水费38.4元列出方程组，解之即可；
（2）根据阶梯计费价格表和a、b的值进行计算即可；
（3）设小聪家四月份的用水量为x，则五月份的用水量为 ，分两种情况：①当 时，②当 时， 据此分别列出一元一次方程，求解即可.
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