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2021-2022学年浙江七年级数学下册第二章《二元一次方程组》能力提升卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2017 台儿庄区校级自主招生）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．± B． C．±2 D．2
【分析】把代入二元一次方程组得到关于m，n的二元一次方程组，解之，代入，计算求值，再求的算术平方根即可．
【解答】解：把代入二元一次方程组得：
，
解得：，
则＝＝2，
2的算术平方根为，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和算术平方根，正确掌握解二元一次方程组的方法和算术平方根的定义是解题的关键．
2．（5分）（2015 宁波校级自主招生）已知n是奇数，m是偶数，关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则（ ）
A．x0，y0均为偶数 B．x0，y0均为奇数
C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数
【分析】运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性．
【解答】解：∵2004x+15y＝n，n为奇数，2004x为偶数，故15y必为奇数 即y0为奇数；
∵2015x+18y＝m，m为偶数，28y为偶数，
∴2015x必为偶数，x为偶数，即x0为偶数．
∴x0是偶数，y0是奇数．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的奇偶性和整数解情况，综合性较强，难度较大．
3．（5分）（2015 永春县自主招生）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若S＝2x+y﹣z，则S的最大值与最小值的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意，先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值，再求S的最大值与最小值的和．
【解答】解：联立得方程组，
（1）+（2）得4x+3y＝7，y＝，
（1）﹣（2）×2得，x+3z＝1，z＝，
把y＝，z＝代入S＝2x+y﹣z，整理得，S＝x+2，当x取最小值时，S有最小值，
∵x、y、z是三个非负实数，
∴x的最小值是0，
∴S最小＝2，
（1）﹣（2）得到：2x+y＝3﹣2z，
∴S＝3﹣z，∵z是非负数，
∴z＝0时，S有最大值3，
∴S的最大值与最小值的和3+2＝5．
故选：A．
【点评】考查了在给定的范围内，求一个代数式的最值问题，难度较大．
4．（5分）（2014 合肥校级自主招生）设非零实数x，y，z满足，则的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．1
【分析】把z看做已知数表示出方程组的解，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：方程组整理得：，
②×2﹣①得：3x＝﹣5z，即x＝﹣z，
把x＝﹣z代入①得：y＝z，
则原式＝＝＝﹣2，
故选：C．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，把z看做已知数表示出方程组的解是解本题的关键．
5．（5分）（2018 苍南县校级自主招生）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
【分析】将x、y的值分别代入y＝x3+ax2+bx+c，转化为关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值，再把x＝4代入，求出y的值．
【解答】解：把x＝5，y＝50；x＝6，y＝60；x＝7，y＝70代入y＝x3+ax2+bx+c，
得，
解得；
代入y＝x3+ax2+bx+c得：
y＝x3﹣18x2+117x﹣210，
把x＝4代入y＝x3﹣18x2+117x﹣210得：
y＝43﹣18×42+117×4﹣210＝64﹣288+468﹣210＝34，
解法二：y﹣10x＝x3+ax2+bx+c＝0有三个根5，6，7，
∴y＝（x﹣5）（x﹣6）（x﹣7）+10x．
∴当x＝4时，y＝34．
故选：B．
【点评】本题通过建立关于a，b，c的三元一次方程组，求得a、b、c的值后而求解．
6．（5分）（2021春 饶平县校级期末）若关于x，y的方程组没有实数解，则（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2
【分析】把①变形，用y表示出x的值，再代入②得到关于y的方程，令y的系数等于0即可求出ab的值．
【解答】解：，
由①得，x＝﹣1﹣ay，
代入②得，b（﹣1﹣ay）﹣2y+a＝0，
即（﹣ab﹣2）y＝b﹣a，
因为此方程组没有实数根，所以﹣ab﹣2＝0，ab＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，解答此类问题时要熟知解二元一次方程组的代入消元法和加减消元法．
7．（5分）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？…（ ）
A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元
【分析】可根据题意设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，再根据三人间人每晚100元，二人间每人每晚150元，单人间每人每晚200元，旅游团共住20间客房，列出两个方程，再根据x，y，z都是自然数，求出费用最低的选择．
【解答】解：设三人间，二人间，单人间分别住了x，y，z间，其中x，y，z都是自然数，总的住宿费为W元，
则，
解得（2分）
∵x，y，z都是自然数
∴，或，或，或，或，或（5分）
∴w＝300x+300y+200z＝6000﹣100z，
∴z越大w越小，
∴当z＝5时，即x＝15，y＝0，z＝5时，住宿的总费用最低为6000﹣500＝5500，
故选：D．
【点评】此题是一道比较新颖的应用题，它的答案不唯一，需要讨论一下，根据生活中的常时，x，y，z必须为自然是来求解，题不是很难，但是一道结合生活实际应用的一道好题．
8．（5分）（2011 浙江校级自主招生）已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且，那么x2+y2+z2的值等于（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
【分析】根据绝对值的定义和已知条件，得出|x+y|，|x﹣y|式子的范围，把已知访化简，从而确定x，y，z的范围即可求解．
【解答】解：∵x≤y＜z，
∴|x﹣y|＝y﹣x，|y﹣z|＝z﹣y，|z﹣x|＝z﹣x，
因而第二个方程可以化简为：
2z﹣2x＝2，即z＝x+1，
∵x，y，z是整数，
根据条件，
则两式相加得到：﹣3≤x≤3，
两式相减得到：﹣1≤y≤1，
同理：，得到﹣1≤z≤1，
根据x，y，z是整数讨论可得：x＝y＝﹣1，z＝0，
∴x2+y2+z2＝（﹣1）2+（﹣1）2+0＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的定义和三元一次方程组的解法，确定x，y，z的范围是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2019 顺庆区校级自主招生）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝ ﹣ ．
【分析】先求出二元一次方程组的解为，再由x+y＝m得到m﹣＝3m，即可求出m的值．
【解答】解：二元一次方程组的解为，
∵x+y＝3m，
∴m﹣＝3m，
∴m＝﹣，
故答案为﹣
【点评】本题考查二元一次方程组的解；掌握二元一次方程组的解法，正确求解方程组的解是解题的关键．
10．（5分）（2019 天心区校级自主招生）方程组的解是 ．
【分析】先把两方程相加，再把两方程相减组成方程组，求出x、y的值即可．
【解答】解：，
∵①+②得，x﹣y＝1③；
①﹣②得，x﹣3y＝﹣1④，
∴③④联立得，，解得．
故答案为：．
【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
11．（5分）（2015 永春县校级自主招生）若方程组的解是，则方程组的解为 ．
【分析】方法1、把方程组的解是代入原方程组中可得到，再把关于c1c2的代数式代入所求的方程组即可得解．
方法2、先将所求的方程组每个方程除以5，得出新的方程组再和方程组对照，得出新方程组的解，即可得出结论．
【解答】解：把方程组的解代入原方程组中得：
，此式代入所求的方程得：
，
解得．
故答案为．
方法2、方程组，每个方程左右两边同时除以5，
可化为（Ⅰ）
设x＝m，y＝n，
∴方程组（Ⅰ）可化为（Ⅱ）
∵方程组（Ⅲ）的解是，
对照方程组（Ⅱ）和（Ⅲ）的特点，得
∴，
∴，
故答案为．
【点评】本题考查了运用代入法解二元一次方程组的方法，解题时要根据方程组的特点进行有针对性的计算．
12．（5分）（2015 蜀山区自主招生）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ 15 ．
【分析】由于在某一时刻，货车在前，小轿车在后，客车在货车与小轿车的中间，所以设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为s千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c（千米/分），由过了10分钟，小轿车追上了客车可以列出方程10（a﹣b）＝s，由又过了5分钟，小轿车追上了货车列出方程15（a﹣c）＝2s，由再过t分钟，客车追上了货车列出方程（t+10+5）（b﹣c）＝s，联立所有方程求解即可求出t的值．
【解答】解：设货车，客车，小轿车速度为a、b、c（千米/分），间距为s，
则：
由②×2﹣①×3 得
30（b﹣c）＝s，④
④代入③中得
∴t+10+5＝30，
∴t＝30﹣10﹣5＝15（分钟）．
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了多元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，准确寻找等量关系，然后列出方程组解决问题．
13．（5分）（2011春 吴江市期末）三个同学对问题“若二元一次方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
【分析】把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法即可得到一个关于x，y的方程组，即可求解．
【解答】解：第二个方程组的两个方程的两边都除以5得：，
∴，
解得：，
故答案是：．
【点评】本题主要考查了方程组的解法，正确观察已知方程的系数之间的关系是解题的关键．
14．（5分）（2011 黄州区校级自主招生）有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需 6 元．
【分析】设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．
由题意列方程组得：，然后求得x+y+z的值．
【解答】解：设甲、乙、丙3种商品的单价分别是x元、y元、z元．
由题意列方程组得
由①×3﹣②×2得 x+y+z＝6
故答案为6．
【点评】根据系数特点，通过加减，得到一个整体，然后整体求解．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2019 浦东新区校级自主招生），求4x﹣4z+1．
【分析】方程组两方程相减求出x﹣z的值，代入原式计算即可．
【解答】解：方程组，
②﹣①得：3x﹣3z＝﹣3，即x﹣z＝﹣1，
则原式＝4（x﹣z）+1＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（8分）（2009 尧都区校级自主招生）规定”△”为有序实数对的运算，如果（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对任意实数a，b都有（a，b）△（x，y）＝（a，b），试求x，y的值是多少？
【分析】根据新定义运算法则列出方程ax+by＝a①，ay+bx＝b②，由①②解得关于x、y的方程组，解方程组即可．
【解答】解：由定义，知
（a，b）△（x，y）＝（ax+by，ay+bx）＝（a，b），
则ax+by＝a，①
ay+bx＝b，②
由①+②，得
（a+b）x+（a+b）y＝a+b，
∵a，b是任意实数，
∴x+y＝1，③
由①﹣②，得
（a﹣b）x﹣（a﹣b）y＝a﹣b，
∴x﹣y＝1，④
由③④解得，
x＝1，y＝0．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解法．解答此题的关键是弄懂新定义运算的法则，根据法则列出方程组．
17．（8分）（2020 沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．
材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y＝；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；
第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；
（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．
【分析】（1）先化简原方程，由材料可求解；
（2）先求出原方程的整数解，即可求解．
【解答】解：（1）∵（15，20）＝5，（4，8）＝4，
∴原方程变形为：5x+4y＝99，
∴x＝，
∴99﹣4y是5的倍数，
∴当y＝1时，x＝19，
∴ 是原方程的解；
（2）∵5x+4y＝99有整数解，
∴，，，，，
∴原方程有5组正整数解．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解，理解题意是本题的关键．
18．（8分）（2010 鄂州自主招生）某校高一年级的两个班要到文化馆参加活动，但只有一辆校车接送学生．第一班的学生从学校坐车从学校出发的同时，第二班开始步行；车到途中某处，让第一班的学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车，并直接开往文化馆．学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车为每小时60千米．要使两个班的学生同时到达文化馆，第一班的学生步行了全程的几分之几？
【分析】由于两个班的同学都是一段路步行一段路乘车，而乘车的速度比步行快，中间又没有停留，因此要同时到达少年宫，两个班的同学步行的路程一定要一样长．所以设全程为1，第二班班走的路程为x，（甲所走的路程也应为x）则所用时间为，这段时间内客车一直没有停，用时速40公里跑的路程为1﹣x，用时速所跑的路程为1﹣2x，由此据路程÷速度＝时间可得方程：＝+，解此方程即可．
【解答】解：设全程为1，第二班班走的路程为x，（甲所走的路程也应为x）则可得方程：
＝+，
30x＝5﹣7x，
37x＝5，
x＝．
即第一班班学生也走了全程的．
答：第一班班学生应步行全程的．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是能够表示出第二班所用的时间，时间分为三部分，开始步行的时间，客车回返相遇的时间，最后坐上车的时间．根据此可列方程求解
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2021-2022学年浙江七年级数学下册第二章《二元一次方程组》能力提升卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2017 台儿庄区校级自主招生）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（ ）
A．± B． C．±2 D．2
2．（5分）（2015 宁波校级自主招生）已知n是奇数，m是偶数，关于x，y的二元一次方程组，有整数解，则（ ）
A．x0，y0均为偶数 B．x0，y0均为奇数
C．x0是偶数，y0是奇数 D．x0是奇数，y0是偶数
3．（5分）（2015 永春县自主招生）已知x、y、z是三个非负实数，满足3x+2y+z＝5，x+y﹣z＝2，若S＝2x+y﹣z，则S的最大值与最小值的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（5分）（2014 合肥校级自主招生）设非零实数x，y，z满足，则的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．1
5．（5分）（2018 苍南县校级自主招生）已知y＝x3+ax2+bx+c，当x＝5时，y＝50；x＝6时，y＝60；x＝7时，y＝70．则当x＝4时，y的值为（ ）
A．30 B．34 C．40 D．44
6．（5分）（2021春 饶平县校级期末）若关于x，y的方程组没有实数解，则（ ）
A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣2且a≠1 C．ab≠﹣2 D．ab＝﹣2且a≠2
7．（5分）一个旅游团50人到一家宾馆住宿，宾馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每晚100元，标准间每人每晚150元，单人间200元．如果该团住满了20间客房，最低总消费是多少？…（ ）
A．5800元 B．5000元 C．5300元 D．5500元
8．（5分）（2011 浙江校级自主招生）已知整数x，y，z满足x≤y＜z，且，那么x2+y2+z2的值等于（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．14或17
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2019 顺庆区校级自主招生）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x+y＝3m，则m＝ ．
10．（5分）（2019 天心区校级自主招生）方程组的解是 ．
11．（5分）（2015 永春县校级自主招生）若方程组的解是，则方程组的解为 ．
12．（5分）（2015 蜀山区自主招生）一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶，在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．
13．（5分）（2011春 吴江市期末）三个同学对问题“若二元一次方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”； 乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”； 丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
14．（5分）（2011 黄州区校级自主招生）有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各一件共需 元．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2019 浦东新区校级自主招生），求4x﹣4z+1．
（8分）（2009 尧都区校级自主招生）规定”△”为有序实数对的运算，如果（a，b）△（c，d）＝（ac+bd，ad+bc）．如果对任意实数a，b都有（a，b）△（x，y）＝（a，b），试求x，y的值是多少？
17．（8分）（2020 沙坪坝区自主招生）阅读下列材料：
材料一：最大公约数是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个．我们将两个整数a、b的最大公约数表示为（a，b），如（12，18）＝6；（7，9）＝1．
材料二：求7x+3y＝11的一组整数解，主要分为三个步骤：
第一步，用x表示y，得y＝；
第二步，找一个整数x，使得11﹣7x是3的倍数，为更容易找到这样的x，将11﹣7x变形为12﹣9x+2x﹣1＝3（4﹣3x）+2x﹣1，即只需2x﹣1是3的倍数即可，为此可取x＝2；
第三步，将x＝2代入y＝，得y＝﹣1．∴是原方程的一组整数解．
材料三：若关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（a，b，c均为整数）有整数解，则它的所有整数解为（t为整数）．
利用以上材料，解决下列问题：
（1）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99的一组整数解；
（2）求方程（15，20）x+（4，8）y＝99有几组正整数解．
18．（8分）（2010 鄂州自主招生）某校高一年级的两个班要到文化馆参加活动，但只有一辆校车接送学生．第一班的学生从学校坐车从学校出发的同时，第二班开始步行；车到途中某处，让第一班的学生下车步行，车立刻返回接第二班学生上车，并直接开往文化馆．学生步行速度为每小时4千米，载学生时车速为每小时40千米，空车为每小时60千米．要使两个班的学生同时到达文化馆，第一班的学生步行了全程的几分之几？
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