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第1章 平行线
本试卷包含选择题12道、填空题8道、解答题6道。测试时间：90分钟，满分120分。
一、单选题：共12道，每道3分，共36分
1．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面的四个图中，能由图经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】观察各选项图形可知，B选项的图案可以通过平移得到．故选B．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．相交或垂直或平行
【答案】C
【解析】在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选C．
3．如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
【答案】A
【解析】在“”字型图中，两条直线、被所截形成的角中，∠A与∠4都在直线AB、DE的同侧，并且在第三条直线（截线）AC的同旁，则∠A与∠4是同位角．故选A．
4．如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（ ）
A．138° B．128° C．52° D．152°
【答案】B
【解析】如图．
∵l1//l2，∴∠1＝∠3＝52°．∵∠2与∠3是邻补角，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣52°＝128°．故选B．
5．如图所示，已知，若要使，则还需添加条件（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】添加条件AB∥CD，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠ADC，
∵∠3=∠4，∠3+∠2=∠ADC，∠1+∠4=∠BAD，∴∠1=∠2，故选D．
6．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为140°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
【答案】C
【解析】∵拐弯前、后的两条路平行，∴（两直线平行，内错角相等）．故选C．
7．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45° B．25° C．15° D．20°
【答案】C
【解析】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°-30°=15°．故选C．
8．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：
乙同学：和互余
丙同学：线段的长为点到直线的距离
丁同学：线段的长为点到直线的距离
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】如图，连接AE、BC，
，
由图中可以看出，AB与CD方向一致，∴AB∥CD，甲正确；
又从图中可以看出∠D 和 ∠DAC 不会互余，乙同学错误；
然后从图中不难得出AB⊥BE，∴根据点到直线距离的定义，丙、丁同学正确，故选C ．
9．如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，过点B作BD∥l1，
∵，∴BD∥l1∥l2，∴∠3+∠DBC=180°，∠ABD+(180°－∠1)=180°，
∴∠3+∠DBC+∠ABD+(180°－∠1)=360°，即∠3+∠2+(180°－∠1)=360°，
又∵∠2+∠3=216°，∴216°+(180°－∠1)=360°，∴∠1=36°．故选B．
10．如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
【答案】C
【解析】由平移的性质可知，由于小路的宽度可以忽略不计，
∴行走的路程=AB+BC+AD=50+25+25=100米，故选C．
11．如图，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠AED＝∠C，则 DE//BC
B．如果∠1＝∠2，则 BD//EF
C．如果AB//EF，则∠FEC＝∠A
D．如果∠ABC+∠BDE＝180°，则AB//EF
【答案】D
【解析】A、∠AED＝∠C，则 DE//BC，故原选项正确，不符合题意；
B、∠1＝∠2，则 BD//EF，故原选项正确，不符合题意；
C、AB//EF，则∠FEC＝∠A，故原选项正确，不符合题意；
D、∠ABC+∠BDE＝180°，则BC//DE，故原选项错误，符合题意．
故选D．
12．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【解析】（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故选D．
二、填空题：共8道，每道3分，共24分.
13．如图，如果______，那么．
【答案】也可写成∠ABC或∠CBA
【解析】，．故答案为．
14．下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有______．（填序号）
【答案】①⑤
【解析】①对顶角相等，原说法正确；②两点之间的线段长度是两点间的距离，原说法错误；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，原说法正确；
综上所述：正确的有①⑤；故答案为①⑤．
15．如图，“4”字图中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则abc＝___．
【答案】1
【解析】同位角有：∠ABD与∠ECD，共1对，则a＝1；
内错角有：∠ABC与∠BCF，共1对，则b＝1；
同旁内角有：∠ABC与∠ECB，共1对，则c＝1；
∴abc＝1．故答案为：1．
16．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2＝_____°．
【答案】56
【解析】∵∠1＝34°，∴∠3＝90°﹣34°＝56°．
∵直尺的两边互相平行，∴∠2＝∠3＝56°．故答案为：56．
17．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．
【答案】540°
【解析】如图，过点E、F作EG、FH平行于AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EG∥FH∥CD，
∴∠1+∠MEG＝180°，∠GEF+∠EFH＝180°，∠HFN+∠4＝180°，
∴∠1+∠MEF+∠EFN+∠4＝540°，故答案为：540°．
18．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为_____．
【答案】24cm2
【解析】∵边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，∴阴影部分的长为8﹣4＝4m，
∵向右平移2cm，∴阴影部分的宽为8﹣2＝6cm，∴阴影部分的面积为6×4＝24cm2．故答案为24cm2．
19．两边都平行的两个角，其中一个角的度数是另一个角的3倍少，这两个角的度数分别是______.
【答案】，或，.
【解析】∵两个角的两边都平行，∴此两角互补或相等，
设其中一个角为，
∵其中一个角的度数是另一个角的3倍少，
∴若两角相等，则，解得：，
∴若两角互补，则，解得：，
两个角的度数分别是，或，.故答案为，或，.
20．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移4个单位得到三角形，连接，则下列结论：
①，；
②；
③四边形的周长为30；
④．
其中正确的结论有______（填序号）．
【答案】①②④
【解析】∵△ABC沿直线BC向右平移4个单位得到△DEF，∴AC∥DF，AC=DF，AD=CF=4，所以①正确；
∠EDF=∠BAC=90°，∴ED⊥DF，所以②正确；
四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD=6+10+4+8+4=32，所以③错误；
由平移性质得：AD=BE=4，∴EC=BC-BE=10-4=6，∴AD：EC=2：3，故④正确；
故答案为：①②④．
三、解答题：共6道题，60分.
21．（8分）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．
(1)过点C画线段AB的平行线CF；
(2)过点A画线段BC的垂线，垂足为G；
(3)过点A画线段AB的垂线，交BC于点H；
(4)线段 的长度是点H到直线AB的距离；
(5)线段AG、AH、BH的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ．
【解析】(1)解：如图所示，直线CF即为所求；
(2)解：如图所示，线段AG即为所求；
(3)解：如图所示，线段AH即为所求；
(4)解：由题意得线段AH的长度是点H到直线AB的距离；故答案为：AH；
(5)解：∵AG⊥BH，∴AG＜AH，
∵AH⊥AB，∴AH＜BH，∴AG＜AH＜BH，理由是：点到直线的距离，垂线段最短，
故答案为：AG＜AH＜BH，点到直线的距离，垂线段最短．
22．（8分）如图，已知于点，于点，，试说明．
解：因为（已知），
所以（ ）．
同理．
所以（ ）．
即．
因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
【解析】因为（已知），
所以（垂直的定义），
同理．
所以（等量代换），
即．
因为（已知），
所以（等式的性质，
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行
23．（10分）如图，在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠ 2－∠1=30°.
（1）求证：DM∥AC；
（2）若DE∥BC，∠C =50°，求∠3的度数.
【解析】（1）∵ 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，
∴ ∠1+∠2=180°.
∵ ∠1+∠DME=180°，
∴ ∠2=∠DME .
∴ DM∥AC .
（2）∵ DM∥AC，
∴ ∠3＝∠AED .
∵ DE∥BC ，
∴ ∠AED=∠C .
∴ ∠3=∠C .
∵ ∠C=50°，
∴ ∠3=50°.
24．（10分）如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
【解析】（1）∵∠1+∠AFE=180°，∠1+∠BCF=180°，
∴∠AFE=∠BCF，
∴BC∥EF；
（2）∵∠BEG=∠EDF，
∴DF∥EH，
∴∠DFE=∠FEH，
又∵BC∥EF，
∴∠FEH=∠2，
又∵∠2=∠3，
∴∠DFE=∠3，
∴DF平分∠AFE．
25．（12分）如图，，，，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
【解析】(1)证明：，
，
，，
∴，
，
，
．
(2)解：如图，过点作，
，
由（1）知，，
，
，
，，
，，
，
，
，即．
26．（12分）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【解析】(1)解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360，
解得，x=60，
∠H的4系补周角的度数为60°，
故答案为：60；
(2)解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，∠D=60°，
∴∠D=∠DEF=60°，
∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF，
即∠B+60°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°-3∠B，
∴∠B+60°=360°-3∠B，
∴∠B=75°；
②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n．
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第1章 平行线
本试卷包含选择题12道、填空题8道、解答题6道。测试时间：90分钟，满分120分。
一、单选题：共12道，每道3分，共36分
1．北京2022年冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．在下面的四个图中，能由图经过平移得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（ ）
A．相交或垂直 B．垂直或平行
C．平行或相交 D．相交或垂直或平行
3．如下图，在“”字型图中，、被所截，则与是（ ）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
4．如图所示，直线l1l2，∠1和∠2分别为直线l3与直线l1和l2相交所成角．如果∠1＝52°，那么∠2＝（ ）
A．138° B．128° C．52° D．152°
5．如图所示，已知，若要使，则还需添加条件（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角为140°，则第二次的拐角为（ ）
A．40° B．50° C．140° D．150°
7．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45° B．25° C．15° D．20°
8．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：
乙同学：和互余
丙同学：线段的长为点到直线的距离
丁同学：线段的长为点到直线的距离
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示：某公园里有一处长方形风景欣赏区ABCD，AB长50米，BC宽25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小明同学在假期沿着小路的中间行走（图中虚线），则：小明同学所走的路径长约为（ ）米．（小路的宽度忽略不计）
A．150米 B．125米 C．100米 D．75米
11．如图，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠AED＝∠C，则 DE//BC B．如果∠1＝∠2，则 BD//EF
C．如果AB//EF，则∠FEC＝∠A D．如果∠ABC+∠BDE＝180°，则AB//EF
12．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题：共8道，每道3分，共24分.
13．如图，如果______，那么．
14．下列说法：①对顶角相等；②两点之间的线段是两点间的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤一个锐角的补角一定比它的余角大90°，正确的有______．（填序号）
15．如图，“4”字图中有a对同位角，b对内错角，c对同旁内角，则abc＝___．
16．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝34°，则∠2＝_____°．
17．如图，AB∥CD，M在AB上，N在CD上，求∠1+∠2+∠3+∠4＝_______．
18．如图，边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A′B′C′D′，此时阴影部分的面积为_____．
19．两边都平行的两个角，其中一个角的度数是另一个角的3倍少，这两个角的度数分别是______.
20．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿直线向右平移4个单位得到三角形，连接，则下列结论：
①，；
②；
③四边形的周长为30；
④．
其中正确的结论有______（填序号）．
三、解答题：共6道题，60分.
21．（8分）如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C均在格点上．
(1)过点C画线段AB的平行线CF；
(2)过点A画线段BC的垂线，垂足为G；
(3)过点A画线段AB的垂线，交BC于点H；
(4)线段 的长度是点H到直线AB的距离；
(5)线段AG、AH、BH的大小关系是 （用“＜”连接），理由是 ．
22．（8分）如图，已知于点，于点，，试说明．
解：因为（已知），
所以（ ）．
同理．
所以（ ）．
即．
因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
23．（10分）如图，在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠ 2－∠1=30°.
（1）求证：DM∥AC；
（2）若DE∥BC，∠C =50°，求∠3的度数.
24．（10分）如图①，在三角形ABC中，点E，F分别为线段AB，AC上任意两点，EG交BC于点G，交AC的延长线于点H，∠1＋∠AFE＝180°.
(1)证明：BC∥EF；
(2)如图②，若∠2＝∠3，∠BEG＝∠EDF，证明：DF平分∠AFE.
25．（12分）如图，，，，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求的度数．
26．（12分）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为 °；
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE；
①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
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