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专题01 平行线
一、单选题
1．下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条直线是平行线．
B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．
C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．
D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．
2．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
4．如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
5．如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
6．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：
乙同学：和互余
丙同学：线段的长为点到直线的距离
丁同学：线段的长为点到直线的距离
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（ ）
A．或 B． C． D．
8．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
9．正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，、、是等边三角形的三个顶点，作直线，使点、、到直线的距离之比为，则满足条件的直线共有（ ）
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
二、填空题
11．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
12．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是___．
13．已知直线a∥b，a与b之间的距离为5，a与b之间有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是_____．
14．在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是__________②的位置关系是_______________
三、解答题
15．如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）：
(1)画线段AB，画射线CB，画直线AC；
(2)过点A画射线CB的垂线AD，垂足为点D；
(3)过点O画直线AC的平行线OE．
16．在如图所示的网格中，每个正方形的边长都是1，横纵线段的交点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，点P也在格点上；
（1）在图①中过点P作AB的平行线；
（2）在图②中过点P作PQ⊥AB，垂足为Q；连接AP和BP，则三角形ABP的面积是 ．
17．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型吗？
18．作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C．
（1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB；
（2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC；
（3）连接AC，EF；
（4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系；
（5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）．
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专题01 平行线
一、单选题
1．下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条直线是平行线．
B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．
C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．
D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．
【答案】D
【分析】根据平行线的定义逐项分析即可．
【详解】A、同一平面内不相交的两条直线是平行线，故此说法错误；
B、两条线段不相交也可以不平行，故此说法错误；
C、同一平面内，不相交的两条射线可以平行，也可以既不平行也不相交，故此说法错误；
D、同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，此说法正确，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的定义，理解此定义是关键，属于概念基础题．
2．下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据所学的相关知识,逐一判断即可．
【详解】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．
④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：．
【点睛】本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．
3．如果同一平面内有三条直线，那么它们交点个数是（ ）个．A．3个 B．1或3个 C．1或2或3个 D．0或1或2或3个
【答案】D
【分析】根据三条直线是否有平行线分类讨论即可．
【详解】解：当三条直线平行时，交点个数为0；
当三条直线相交于1点时，交点个数为1；
当三条直线中，有两条平行，另一条分别与他们相交时，交点个数为2；
当三条直线互相不平行时，且交点不重合时，交点个数为3；
所以，它们的交点个数有4种情形．
故选：D．
【点睛】本题考查多条直线交点问题，解题关键是根据三条直线中是否有平行线和是否交于一点进行分类讨论．
4．如图，在平面内经过一点作已知直线的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理的定义：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可直接得结论．
【详解】解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，
当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．
5．如图，已知四条线段，，，中的一条与挡板另一侧的线段平行，请借助直尺判断该线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别延长a、b、c、d、m五条线段，观察两线不相交即可得到答案．
【详解】解：利用直尺画出图形如下：
可以看出射线a，b，d都与射线m相交，而射线c与射线m并未相交，
所以c与m是平行关系．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了线段，射线，直线，以及平行线的定义，用直尺画出延长线是解题的关键．
6．已知方格纸中线段、线段和线段，如图所示．下列四位同学的观察结论正确的有（ ）
甲同学：
乙同学：和互余
丙同学：线段的长为点到直线的距离
丁同学：线段的长为点到直线的距离
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】连接AE、BC，然后根据平行线的定义和点到直线距离的定义可以得解．
【详解】解：如图，连接AE、BC，
，
由图中可以看出，AB与CD方向一致，
∴AB∥CD，甲正确；
又从图中可以看出∠D 和 ∠DAC 不会互余，乙同学错误；
然后从图中不难得出AB⊥BE，
∴根据点到直线距离的定义，丙、丁同学正确，
故选C ．
【点睛】本题考查平行及垂直的判定、点到直线的距离定义．
7．已知直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，那么直线与的距离是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【分析】分与在同侧和与在两侧两种情况，根据直线与的距离是，直线与的距离是分别求出与的距离即可得答案．
【详解】①当与在同侧时，
∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，
∴与的距离为5-2=3cm，
②当与在两侧时，
∵直线，，互相平行，直线与的距离是，直线与的距离是，
∴与的距离为5+2=7cm，
综上所述：与的距离是3cm或7cm，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线之间的距离求法，从平行线上任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离；灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
8．已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面四个结论：
①若则；②若则；③若则；④若且与相交，则与相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
【答案】A
【分析】根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若则；故说法正确；
②若则，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若则；说法错误；
④若且与相交，则与不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
【点睛】本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系．
9．正方形网格中的交点，我们称之为格点．如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为．现有格点,那么,在网格图中找出格点,使以和格点为顶点的三角形的面积为．这样的点可找到的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】因为每个小正方形的边长是1，则可以先找到一点C，则三角形ABC的面积是2，满足题目要求，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点，因这些点与A、B组成的三角形都是同底等高，则这些三角形的面积都是2，所以这些点即为符合要求的点；同理，过D点作AB的平行线，与网格点重合的点也是符合要求的格点．将所有的符合要求的格点数加起来，就是问题的答案．
【详解】解：如图所示，在网格图中可以找到点C，
则三角形ABC的面积是2，再过C点作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点，这样的点有5个；
同样的方法，过D点作AB的平行线，又能得到4个不同符合要求的格点，
所以符合要求的格点共有：5+4=9（个）；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三角形面积的求法，解答此题的关键是：作AB的平行线，平行线与网格点重合的点即为符合要求的点；主要依据是两条平行线间的距离处处相等及同底等高的三角形面积相等．
10．如图，、、是等边三角形的三个顶点，作直线，使点、、到直线的距离之比为，则满足条件的直线共有（ ）
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【答案】A
【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是分别过线段BC的中点和边AB、AC的三等分点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．
【详解】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，
故选A．
【点睛】本题考查了点到直线的距离、平行线的性质等知识点，考查了分类讨论的数学思想．解题时注意全面考虑，避免漏解．
二、填空题
11．在同一平面内的三条直线，它们的交点个数可能是________．
【答案】0或1或2或3个
【分析】分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点吗，即可得出答案．
【详解】解：如图，
由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个．
故答案是：0个或1个或2个或3个
【点睛】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果．
12．设a，b，c为平面内三条不同的直线，若a⊥c，b⊥c，则a与b的位置关系是___．
【答案】a//b
【分析】根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行进行判断．
【详解】解：∵a⊥c，b⊥c
∴a//b
故答案为：a//b．
【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
13．已知直线a∥b，a与b之间的距离为5，a与b之间有一点P，点P到a的距离是2，则点P到b的距离是_____．
【答案】3
【分析】根据平行线间的距离与点到直线的距离即可求出.
【详解】
解：∵直线a∥b，a与b之间的距离为5，a与b之间有一点P，点P到a的距离是2，
∴点P到b的距离是5﹣2＝3，
故答案为3．
【点睛】此题主要考查平行线之间的距离，解题的关键是正确理解点到直线的距离.
14．在同一平面内有2019条直线，，如果，，那么①的位置关系是__________②的位置关系是_______________
【答案】 平行 垂直
【分析】根据平行公理及垂直的定义解答，进而得到规律：与其他直线的位置关系为每4个一循环，垂直、垂直、平行、平行，根据此规律即可判断．
【详解】
如图，，，，
，，，，
依次类推：，，，，
，，，
，故．
故答案为平行；垂直．
【点睛】本题考查了平行公理的推导，作出图形更也有利于规律的发现以及规律的推导，解题的关键是结合图形先判断几组直线的关系，然后找出规律．
三、解答题
15．如图，在正方形网格中有四个格点O、A、B、C，按要求进行下列作图，并标出相应的字母（要求画图时用2B铅笔加黑加粗）：
(1)画线段AB，画射线CB，画直线AC；
(2)过点A画射线CB的垂线AD，垂足为点D；
(3)过点O画直线AC的平行线OE．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)作图见解析
【分析】（1）直接连接两点，即为线段；连接并延长B端，即为射线；连接，并两端延长，即为直线；
（2）如图连接并延长，过点向上查1格，向左查2格为，连接，知，点向下查2格，向左查1格为，从点向下查2格，向左查1格为，连接即为所求；
（3）如图，连接向下查3格，然后向左查4格为A，过点作的平行线，从向下查3格，然后向左查4格为，连接即为所求．
(1)解：如图
(2)解：如图连接并延长，过点向上查1格，向左查2格为，连接，知，点向下查2格，向左查1格为，从点向下查2格，向左查1格为，连接即为所求．
(3)解：如图，连接向下查3格，然后向左查4格为A，过点作的平行线，从向下查3格，然后向左查4格为，连接即为所求．
【点睛】本题考查了直线、线段、射线，垂线与平行线等知识．解题的关键在于对知识的正确理解．
16．在如图所示的网格中，每个正方形的边长都是1，横纵线段的交点叫做格点，线段AB的两个端点都在格点上，点P也在格点上；
（1）在图①中过点P作AB的平行线；
（2）在图②中过点P作PQ⊥AB，垂足为Q；连接AP和BP，则三角形ABP的面积是 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，5．
【分析】（1）根据平行线的画法即可得；
（2）根据垂线的画法即可得，再利用1个长方形的面积减去3个直角三角形的面积即可得．
【详解】解：（1）如图①，即为所求．
（2）如图②，即为所求．
三角形的面积为，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平行线和垂线的画法等知识点，熟练掌握平行线和垂线的画法是解题关键．
17．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型吗？
【答案】见解析
【分析】选择适当的比例尺，自己设计一个户型即可求解．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】本题考查了比例尺，平行线，垂线，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
18．作图题：如图，在平面内有不共线的3个点A，B，C．
（1）作射线BA，在BA延长线上取一点E，使AE=AB；
（2）作线段BC并延长BC到点F，使CF=BC；
（3）连接AC，EF；
（4）度量线段AC和EF的长度，直接写出二者之间的数量关系_______，观察AC和FE的位置是 （填“平行”或“相交”）关系；
（5）作BC的中点D，连接AD，猜想S三角形ABD S三角形ACD（填“＞”“＝”或“＜”）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）AC=EF（或EF=2AC），平行；（5）=
【分析】（1）、（2）、（3）利用射线、线段的定义和几何语言画出对应的几何图形即可；
（4）通过观察测量进行判断；
（5）根据等底同高的两个三角形面积相等进行判断．
【详解】解：（1）（2）（3）如图所示：
（4）通过测量观察，可知AC=EF（或EF=2AC），AC∥EF，
故答案为：AC=EF（或EF=2AC）；平行；
（5）∵D为BC的中点，三角形ABD与三角形ACD等底同高，
∴S三角形ABD=S三角形ACD．
故答案为：=．
【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
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