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初中数学浙教版七下精彩练习专题分类突破三 巧解一次方程组
一、用连加连减法化简方程组
1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题解方程组 时，由于x,y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法、加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
①，得3x+3y=3，∴x+y=1，③
③×14，得14x+14y=14，④
①-④，得y=2，从而得x=-1.
∴原方程组的解是 .
（1）请运用上述方法解方程组
（2）请直接写出方程组 的解是 ；
（3）猜测关于x,y的方程组 （m≠n）的解是什么，并用方程组的解加以验证.
二、用整体代换法解方程组
2．阅读理解.
小聪在解方程组 时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，
即2（2x+5y）+y=5，③
把方程①代入方程③，得2×3+y=5，解得y=-1把y=-1
代入方程①，得x=4
∴方程组的解是
（1）仿照小聪的解法，解方程组
（2）已知x,y满足方程组
（i）求x2+4y2的值；
（ⅱ）求3xy的值.
3．解方程组
三、用换元法解方程组
4．解方程组
5．解方程组
6．解方程组
四、用多变量代换法解方程组
7．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x,y的方程组 的解.
8．如果关于x,y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
五、用连加连减法化简方程组
9．解方程组：
六、用整体代换法解方程组
10．解方程组：
（1）
（2）
七、用换元法解方程组
11．请阅读下列材料，解答问题材料：解方程组 ，若设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ，由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法.
问题：请你用上述方法解方程组
八、用多变量代换法解方程组
12．已知关于x,y的方程组 的解是
（1）若把x换成m,y换成n，得到的关于m,n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x,y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
答案解析部分
1．【答案】（1）解：②-①，得3x+3y=3，
所以x+y=1，③
① ×2015，得2015x+2015y=2015，④
①-④，得y=2，把y=2代入③得x=-1，所以原方程组的解是
（2）
（3）解：方程组的解为 ,
验证：当x=-1，y=2时，第一个方程：左边=-m+（m+1）×2=-m+2m+2=m+2=右边。第二个方程：
左边=-n+（n+1）×2=-n+2n+2=n+2=右边，
∴ 是原方程组的解。
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）
由②-①得
9000x+9000y=9000即x+y=1③
由①-③×998得：y=2；
将y=2代入③得
x+2=1，
解之：x=-1，
∴方程组的解为：
【分析】（1）利用阅读材料可知，由②-①，可得到x+y=1，然后将此方程的两边同时乘以2015，利用加减消元法可求出原方程组的解.
（2）由②-①可得到x+y=1，再由由①-③×998，可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（3）利用（1）（2）的规律可得到方程组的解，然后进行验证，可得答案.
2．【答案】（1）解：把方程②变形为3（3x-2y）+2y=19，③
把①代入③，得15+2y=19，解得y=2
把y=2代入①，得x=3，
则方程组的解为
（2）解：（i）由方程①得，3（x2+4y2）=47+2xy，
即x2+y2= ，③
方程②整理得2（x2+4y2）+xy=36，④
将③代入④，得2× +xy=36，
解得xy=2.
将xy=2代入③，得x2+4y2=17
（ii）由（i）知xy=2，则3xy=6
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）两方程中的x的系数存在3倍关系；利用阅读材料可知，将方程②进行变形可得到3（3x-2y）+2y=19，然后将方程①整体代入可得到关于y的方程，解方程求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（2）（i）将方程①用含xy的代数式表示出x2+4y2；将方程②变形为2（x2+4y2）+xy=36，将x2+4y2整体代入，可得到关于xy的方程，解方程求出xy的值，然后将xy的值代入可求出x2+4y2的值；（ⅱ）将xy的值代入3xy，可求出结果.
3．【答案】解：
由①-②得：x-y=1④;
由②×2-③得x+3y=-7⑤
由⑤-④得：4y=-8
解之：y=-2
把y=-2代入④得：x+2=1
解之：x=-1；
把x=-1，y=-2代入①得-2-2+z=-7
解之：z=-3
∴原方程组的解为：.
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程①和②中z的系数相同，②和③中z的系数存在2倍关系，因此由①-②和由②×2-③，消去z可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；然后求出z的值，可得到方程组的解.
4．【答案】解：设 =a, =b，则原方程组变成 ，
解得 ，即 .
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】利用换元法设 设 =a, =b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入求出x，y的值即可.
5．【答案】解： 原方程组可变成 ，
设x+y-1=，x-y+3=b，
∴
解之： ，
∴
解之：
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，将x+y-1和x-y+3看着整体，设x+y-1=a，x-y+3=b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入所设的式子，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
6．【答案】解：令x+y=m,x-y=n，
得
②-①得，m=10.
把m=10代入①，得
=7-5=2，n=6，
即
③+④得，
2x=16，x=8.
把x=8代入③得，
Y=10-8=2，
故原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中含未知数部分，可将x+y和x-y看着整体，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；然后回代，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到原方程组的解.
7．【答案】解：∵ ，
∴ ，
由题意知 解得
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，利用第一个方程组的解可得到 ，然后解方程组求出x，y的值.
8．【答案】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
∴所求方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】对照两方程组，可知x+2y=7，x-2y=1，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
9．【答案】解：
由①+②得：40x+40y=120即x+y=3③
由①-②得：6x-6y=6即x-y=1④
由③+④得：2x=4
解之：x=2
∴2+y=3
解之：y=1
∴原方程组的解为：.
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：两方程中x，y的系数都相差6，系数之和都为40，因此由①+②可得到x+y=3③；由①-②可得到x-y=1④，再由③+④求出x的值，然后求出y的值，可得到方程组的解.
10．【答案】（1）解：
由①×2得：2x+8y=14③
由②-③得：3y=6
解之：y=2；
把y=2代入①得
x+8=7
解之：x=-1
∴原方程组的解为：.
（2）解： 将原方程组转化为：
由①×2得：2x+2y=2③，
由②-③得：x=3，
把x=3代入①得
3+y=1
解之：y=-2，
∴原方程组的解为：.
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，因此由②-①×2，消去x，可求出y的值，再求出x的值，可得到方程组的解.
（2）先将原方程组转化为可知y的系数存在2倍关系，由②-①×2，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
11．【答案】解：设x+y=m,x-y=n，
则原方程组可变形为 ，
用加减消元法，解得
∴
解得
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的x-y和x+y看着整体，利用换元法，设x+y=m,，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后回代，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
12．【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x,y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m,n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x,y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
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初中数学浙教版七下精彩练习专题分类突破三 巧解一次方程组
一、用连加连减法化简方程组
1．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题解方程组 时，由于x,y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入法、加减法来解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
①，得3x+3y=3，∴x+y=1，③
③×14，得14x+14y=14，④
①-④，得y=2，从而得x=-1.
∴原方程组的解是 .
（1）请运用上述方法解方程组
（2）请直接写出方程组 的解是 ；
（3）猜测关于x,y的方程组 （m≠n）的解是什么，并用方程组的解加以验证.
【答案】（1）解：②-①，得3x+3y=3，
所以x+y=1，③
① ×2015，得2015x+2015y=2015，④
①-④，得y=2，把y=2代入③得x=-1，所以原方程组的解是
（2）
（3）解：方程组的解为 ,
验证：当x=-1，y=2时，第一个方程：左边=-m+（m+1）×2=-m+2m+2=m+2=右边。第二个方程：
左边=-n+（n+1）×2=-n+2n+2=n+2=右边，
∴ 是原方程组的解。
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（2）
由②-①得
9000x+9000y=9000即x+y=1③
由①-③×998得：y=2；
将y=2代入③得
x+2=1，
解之：x=-1，
∴方程组的解为：
【分析】（1）利用阅读材料可知，由②-①，可得到x+y=1，然后将此方程的两边同时乘以2015，利用加减消元法可求出原方程组的解.
（2）由②-①可得到x+y=1，再由由①-③×998，可求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（3）利用（1）（2）的规律可得到方程组的解，然后进行验证，可得答案.
二、用整体代换法解方程组
2．阅读理解.
小聪在解方程组 时，发现方程组中①和②之间存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：
解：将方程②变形为4x+10y+y=5，
即2（2x+5y）+y=5，③
把方程①代入方程③，得2×3+y=5，解得y=-1把y=-1
代入方程①，得x=4
∴方程组的解是
（1）仿照小聪的解法，解方程组
（2）已知x,y满足方程组
（i）求x2+4y2的值；
（ⅱ）求3xy的值.
【答案】（1）解：把方程②变形为3（3x-2y）+2y=19，③
把①代入③，得15+2y=19，解得y=2
把y=2代入①，得x=3，
则方程组的解为
（2）解：（i）由方程①得，3（x2+4y2）=47+2xy，
即x2+y2= ，③
方程②整理得2（x2+4y2）+xy=36，④
将③代入④，得2× +xy=36，
解得xy=2.
将xy=2代入③，得x2+4y2=17
（ii）由（i）知xy=2，则3xy=6
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）两方程中的x的系数存在3倍关系；利用阅读材料可知，将方程②进行变形可得到3（3x-2y）+2y=19，然后将方程①整体代入可得到关于y的方程，解方程求出y的值，然后求出x的值，可得到方程组的解.
（2）（i）将方程①用含xy的代数式表示出x2+4y2；将方程②变形为2（x2+4y2）+xy=36，将x2+4y2整体代入，可得到关于xy的方程，解方程求出xy的值，然后将xy的值代入可求出x2+4y2的值；（ⅱ）将xy的值代入3xy，可求出结果.
3．解方程组
【答案】解：
由①-②得：x-y=1④;
由②×2-③得x+3y=-7⑤
由⑤-④得：4y=-8
解之：y=-2
把y=-2代入④得：x+2=1
解之：x=-1；
把x=-1，y=-2代入①得-2-2+z=-7
解之：z=-3
∴原方程组的解为：.
【考点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：方程①和②中z的系数相同，②和③中z的系数存在2倍关系，因此由①-②和由②×2-③，消去z可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值；然后求出z的值，可得到方程组的解.
三、用换元法解方程组
4．解方程组
【答案】解：设 =a, =b，则原方程组变成 ，
解得 ，即 .
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】利用换元法设 设 =a, =b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入求出x，y的值即可.
5．解方程组
【答案】解： 原方程组可变成 ，
设x+y-1=，x-y+3=b，
∴
解之： ，
∴
解之：
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，将x+y-1和x-y+3看着整体，设x+y-1=a，x-y+3=b，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，然后代入所设的式子，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
6．解方程组
【答案】解：令x+y=m,x-y=n，
得
②-①得，m=10.
把m=10代入①，得
=7-5=2，n=6，
即
③+④得，
2x=16，x=8.
把x=8代入③得，
Y=10-8=2，
故原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中含未知数部分，可将x+y和x-y看着整体，设x+y=m，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值；然后回代，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，可得到原方程组的解.
四、用多变量代换法解方程组
7．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思想，请根据上面的思想解决下面问题：
若关于x、y的方程组 的解是 ，求关于x,y的方程组 的解.
【答案】解：∵ ，
∴ ，
由题意知 解得
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组转化为 ，利用第一个方程组的解可得到 ，然后解方程组求出x，y的值.
8．如果关于x,y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的方程组 的解.
【答案】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
∴ ，解得 ，
∴所求方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】对照两方程组，可知x+2y=7，x-2y=1，建立关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
五、用连加连减法化简方程组
9．解方程组：
【答案】解：
由①+②得：40x+40y=120即x+y=3③
由①-②得：6x-6y=6即x-y=1④
由③+④得：2x=4
解之：x=2
∴2+y=3
解之：y=1
∴原方程组的解为：.
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】观察方程组中同一个未知数的系数特点：两方程中x，y的系数都相差6，系数之和都为40，因此由①+②可得到x+y=3③；由①-②可得到x-y=1④，再由③+④求出x的值，然后求出y的值，可得到方程组的解.
六、用整体代换法解方程组
10．解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
由①×2得：2x+8y=14③
由②-③得：3y=6
解之：y=2；
把y=2代入①得
x+8=7
解之：x=-1
∴原方程组的解为：.
（2）解： 将原方程组转化为：
由①×2得：2x+2y=2③，
由②-③得：x=3，
把x=3代入①得
3+y=1
解之：y=-2，
∴原方程组的解为：.
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x的系数存在倍数关系，因此由②-①×2，消去x，可求出y的值，再求出x的值，可得到方程组的解.
（2）先将原方程组转化为可知y的系数存在2倍关系，由②-①×2，消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
七、用换元法解方程组
11．请阅读下列材料，解答问题材料：解方程组 ，若设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为 用加减消元法解得 ，所以 ，再解这个方程组得 ，由此可以看出，在上述解方程组的过程中，把某个式子看成个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫做换元法.
问题：请你用上述方法解方程组
【答案】解：设x+y=m,x-y=n，
则原方程组可变形为 ，
用加减消元法，解得
∴
解得
∴原方程组的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【分析】将方程组中的x-y和x+y看着整体，利用换元法，设x+y=m,，x-y=n，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，然后回代，可得到关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值.
八、用多变量代换法解方程组
12．已知关于x,y的方程组 的解是
（1）若把x换成m,y换成n，得到的关于m,n的方程组为 ，则这个方程组的解是 .
（2）若把x换成2x,y换成3y，得到方程组 ，则 ，所以这个方程组的解是 .
（3）根据以上的方法解方程组
【答案】（1）
（2）；
（3）解：将方程组 ，变形为
∴ ，解得 ，
∴方程组 的解为
【考点】解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）∵关于x,y的方程组 的解是 ，
若把x换成m，y换成n，得到的关于m,n的方程组为 ，则这个方程组的解是
故答案为：4，-6.
（2） 若把x换成2x,y换成3y，得到方程组 ，则 ，
解之：.
【分析】（1）利用已知方程组的解，将x换成m，y换成n，可得到m的值就是x的值；n的值就是y的值，即可得到关于m，n的方程组的解.
（2）若将x换成2x，y换成3y，可知x的值就是2x的值；y的值就是3y的值，由此可得到方程组的解.
（3）将方程组转化为，由此可推出，然后解方程组求出x，y的值.
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