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专题03 平行线的判定
一、单选题
1．下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5
3．如图是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，其画图原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补
4．如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A． B． C． D．
5．如图点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定ABCD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°
6．如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
8．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵，∴
D．∵，∴
9．如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（ ）时，．
A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
10．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
二、填空题
11．如图，如果______，那么．
12．如图，已知∠1＝30°，∠2或∠3满足条件_________，则a∥b．
13．如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线______．
14．如图，点E是BA延长线上一点，下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠D；③∠2＝∠4；④∠B+∠BCD＝180°，能判定ABCD的有___．（填序号）
三、解答题
15．如图，点G在上，已知，平分，平分请说明的理由．
解：因为（已知），
（邻补角的性质），
所以（________________）
因为平分，
所以（________________）．
因为平分，
所以______________，
得（等量代换），
所以_________________（________________）．
16．如图，已知于点，于点，，试说明．
解：因为（已知），
所以（ ）．
同理．
所以（ ）．
即．
因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
17．如图，，试说明．
证明：∵（己知），
∴（___________________），
∴____________（同位角相等，两直线平行），
∵（已知），
∴（___________________），
∴（___________________），
∴（两直线平行，同位角相等）．
18．如图，，平分，平分，．
（1）求证：；
（2）与平行吗？请说明理由．
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专题03 平行线的判定
一、单选题
1．下列画出的直线a与b不一定平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理即可解答．
【详解】解：A．直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；
B．根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
C．根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
D．根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
2．如图，直线a、b被直线c所截，下列选项中不一定能判定a∥b的是（ ）
A．∠1＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠2＝∠4 D．∠2＝∠5
【答案】B
【分析】根据平行线的判定逐项判断即可得．
【详解】解：A、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；
B、，不一定能判定，此项符合题意；
C、，根据同位角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；
D、，根据内错角相等，两直线平行能判定，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握判定方法是解题关键．
3．如图是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，其画图原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同旁内角互补
【答案】A
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】如图，根据题意可知∠DPF=∠BAF，
∴（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
4．如图，和分别为直线与直线和相交所成角．如果，那么添加下列哪个条件后，可判定．（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】A.∵，∴∠3=180 -∠2=62 =∠1，∴能判定，此选项正确；
B.∵，∴∠3=180 -∠4=52 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
D.∵，∴∠3=∠28 ≠∠1，∴不能判定，此选项错误；
故选：A
【点睛】此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
5．如图点E在BC的延长线上，则下列条件中，不能判定ABCD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠DCE C．∠3＝∠4 D．∠D+∠DAB＝180°
【答案】C
【分析】根据平行线的判定定理进行逐一分析解答即可．
【详解】解：A、正确，符合“内错角相等，两条直线平行”的判定定理；
B、正确，符合“同位角相等，两条直线平行”的判定定理；
C、错误，若∠3=∠4，则AD∥BE；
D、正确，符合“同旁内角互补，两条直线平行”的判定定理；
故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，比较简单．
6．如图，点在延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定方法直接判定即可．
【详解】解：选项B中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项C中，，（内错角相等，两直线平行），所以正确；
选项D中，，（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；
而选项A中，与是直线、被所截形成的内错角，因为，所以应是，故A错误．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
7．如图，①，②，③，④可以判定的条件有（ ）．
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】A
【分析】根据平行线的判定定理逐个排查即可．
【详解】解：①由于∠1和∠3是同位角，则①可判定；
②由于∠2和∠3是内错角，则②可判定；
③①由于∠1和∠4既不是同位角、也不是内错角，则③不能判定；
④①由于∠2和∠5是同旁内角，则④可判定；
即①②④可判定．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
8．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵，∴
D．∵，∴
【答案】C
【分析】根据三线八角以及平行线的判定定理对选项分别进行判断即可．
【详解】解：A：∵∠1和∠2是直线l3与l4被直线l2所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出l3∥l4；
B：∵∠2和∠5是直线l3与l4被直线l2所截形成的同旁内角，且∠2+∠5=180°，由同旁内角互补，两直线平行，得出l3∥l4；
C：∠1和∠3不符合“三线八角”不能构成平行的条件，所以选项C错误；
D：∵∠1和∠4是直线l1与l2被直线l3所截形成的内错角，由内错角相等，两直线平行，得出l1∥l2．
【点睛】本题考查了三线八角以及平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
9．如图（1），在中，，边绕点按逆时针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当（ ）时，．
A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°
【答案】C
【分析】结合旋转的过程可知，因为位置的改变，与∠ A可能构成内错角，也有可能构成同旁内角，所以需分两种情况加以计算即可．
【详解】解：如图（2），
当∠ACB'=42°时，
∵，
∴∠ACB'=∠A．
∴CB'∥AB．
如图（2），
当∠ACB'=138°时，
∵∠A=42°，
∴
∴CB'∥AB．
综上可得，当或时，CB'∥AB．
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据CB'在旋转过程中的不同位置，进行分类讨论是解题的关键．
10．将一副三角板按如图放置，则下列结论①；②如果，则有；③如果，则有；④如果，必有，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①；根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②；利用∠2求出∠3，与∠B的度数大小即可判断③；利用求出∠1，即可得到∠2的度数，即可判断④.
【详解】∵∠1+∠2=∠3+∠2=90，
∴∠1=∠3，故①正确；
∵，
∴
∠E=60，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，故②正确；
∵，
∴，
∵,
∴∠3=∠B,
∴,故③正确；
∵，
∴∠CFE=∠C，
∵∠CFE+∠E=∠C+∠1，
∴∠1=∠E=,
∴∠2=90-∠1=，故④正确，
故选：D.
【点睛】此题考查互余角的性质，平行线的判定及性质，熟练运用解题是关键.
二、填空题
11．如图，如果______，那么．
【答案】##∠ABC##∠CBA
【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】解：，
．
故答案为．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握同旁内角互补两直线平行是解题的关键．
12．如图，已知∠1＝30°，∠2或∠3满足条件_________，则a∥b．
【答案】∠2＝150°或∠3＝30°
【解析】略
13．如图，于点F，于点D，E是AC上一点，，则图中互相平行的直线______．
【答案】，
【分析】由，，可得再证明可得
【详解】解： ，，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线的判定，掌握“在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行”是解本题的关键.
14．如图，点E是BA延长线上一点，下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠D；③∠2＝∠4；④∠B+∠BCD＝180°，能判定ABCD的有___．（填序号）
【答案】②③④
【分析】根据平行线的判定方法分别判定得出答案．
【详解】解：①中，∵∠1＝∠3，∴AD//BC（内错角相等，两直线平行），故此选项不符合题意；
②中，∵∠5＝∠D，∴AB//CD（内错角角相等，两直线平行），故此选项符合题意；
③中，∵∠2＝∠4，∴AB//CD（内错角角相等，两直线平行）），故此选项符合题意；
④中，∠B＋∠BCD＝180°，∴AB//CD （同旁内角互补，两直线平行），故此选项符合题意；
故答案为：②③④．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．
三、解答题
15．如图，点G在上，已知，平分，平分请说明的理由．
解：因为（已知），
（邻补角的性质），
所以（________________）
因为平分，
所以（________________）．
因为平分，
所以______________，
得（等量代换），
所以_________________（________________）．
【答案】同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行
【分析】根据补角的性质，角平分线的定义，及平行线的判定定理依次分析解答．
【详解】解：因为（已知），
（邻补角的性质），
所以（同角的补角相等）
因为平分，
所以（角平分线的定义）．
因为平分，
所以∠AGC，
得（等量代换），
所以（内错角相等两直线平行），
故答案为：同角的补角相等，角平分线的定义，∠AGC，，内错角相等两直线平行．
【点睛】
此题考查了平行线的判定定理，熟记补角的性质，角平分线的定义及平行线的判定定理是解题的关键．
16．如图，已知于点，于点，，试说明．
解：因为（已知），
所以（ ）．
同理．
所以（ ）．
即．
因为（已知），
所以（ ）．
所以（ ）．
【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可．
【详解】解：因为（已知），
所以（垂直的定义），
同理．
所以（等量代换），
即．
因为（已知），
所以（等式的性质，
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行
【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键．
17．如图，，试说明．
证明：∵（己知），
∴（___________________），
∴____________（同位角相等，两直线平行），
∵（已知），
∴（___________________），
∴（___________________），
∴（两直线平行，同位角相等）．
【答案】垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【分析】根据垂直定义求出∠B=∠CDF=90°，根据平行线的判定得出AB∥EF，EF∥CD，即可得出答案．
【详解】证明：∵（己知），
∴（垂直定义），
∴ABCD（同位角相等，两直线平行），
∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
【点睛】本题考查了平行线的判定的应用，能正确运用判定定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，④平行于同一直线的两直线平行．
18．如图，，平分，平分，．
（1）求证：；
（2）与平行吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）根据平分的性质可得，，等角代换可得∠1＝∠CDF，根据内错角相等两直线平行求证结论；
（2）由（1）得AB∥BC，根据平行线的性质可得∠C＋∠ABC＝180°，可得∠C＋∠ADC＝180°，接根据平行线的判定定理即可求证结论．
【详解】（1）证明：∵BE平分，平分,
∴，，
∵∠ABC＝∠ADC ，
∴∠2＝∠CDF，
∵∠1＝∠2 ，
∴∠1＝∠CDF，，
∴AB∥CD；
（2）AD∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴，
∵∠ABC＝∠ADC ，
∴∠ADC＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，．
【点睛】本题考查平行线的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法及其性质定理．
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