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专题04 平行线的性质
一、单选题
1．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=35°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
【答案】D
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：由题意得，∠4=90°-30°=60°，
∵∠1=35°，
∴∠3=180°-60°-35°=85°，
∵AB∥CD，
∴∠3=∠2=85°，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
2．如图，AF是∠BAC的平分线， DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25° B．50° C．75° D．100°
【答案】B
【分析】根据两直线平行，同位角相等，可得∠FAC＝∠1，再根据角平分线的定义可求得∠BAC的度数，再利用平行线的性质可求解．
【详解】解：∵DF∥AC，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的平分线，
∴∠BAF＝∠FAC＝25°，
∴∠BAC＝50°，
∵DF∥AC，
∴∠BDF＝∠BAC＝50°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．
3．如图，已知直线，直线c被直线a、b所截，若，则（ ）
A．62° B．28° C．128° D．118°
【答案】D
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由邻补角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】解：∵a∥b，∠1=62°，
∴∠3=∠1=62°，
∴∠2=180°∠3=118°．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．此题比较简单，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
4．如图，由ABCD，可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用平行线的性质分析得出答案．
【详解】解：，
（两直线平行，内错角相等），
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，正确把握平行线的性质是解题关键．
5．如图，AB∥ED，CD∥EF，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
【答案】A
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】∵AB∥ED，
∴∠1+∠D＝180°，
∵∠1＝145°，
∴∠D＝35°，
∵CD∥EF，
∴∠2＝∠D＝35°，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
6．如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据推出，求出的度数即可求出答案．
【详解】，
∴，
，
，
．
故选：．
【点睛】此题考查了平行线的判定及性质，熟记平行线的判定定理：内错角相等两直线平行是解题的关键．
7．一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐 50° ，第二次向左拐130° B．第一次向右拐 50° ，第二次向右拐130°
C．第一次向左拐 50° ，第二次向左拐130° D．第一次向左拐 30° ，第二次向右拐 30°
【答案】D
【分析】根据题意可得两直线平行则同位角相等，据此分析判断即可．
【详解】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，
∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同位角，
故答案为：D
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（ ）
A．110° B．100° C．90° D．70°
【答案】A
【分析】根据AB∥CD，BC∥AD，分别得到∠1+∠ADC＝180°，∠2+∠ADC＝180°，因此∠1＝∠2，即可求解．
【详解】解：如图：
∵AB∥CD，
∴∠1+∠ADC＝180°，
∵BC∥AD，
∴∠2+∠ADC＝180°，
∴∠1＝∠2．
∵∠1＝110°，
∴∠2＝110°．
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．
9．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）°
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据即可求解
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（ ）
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
【答案】D
【分析】根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．
【详解】解：如图1，
∵a∥b，
∴∠1＝∠α，
∵c∥d，
∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；
如图（2），
∵a∥b，
∴∠α+∠2＝180°，
∵c∥d，
∴∠2＝∠β，
∴∠β+∠α＝180°，
∵∠α＝60°，
∴∠β＝120°．
综上，∠β＝60°或120°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．
二、填空题
11．如图，，，则_____度．
【答案】58゜
【分析】根据平行线的性质及互补关系即可求得结果．
【详解】如图所示，∠AOB+∠2=180゜
∴∠2=180゜ ∠AOB=180゜ 122゜=58゜
∵OA∥BC
∴∠1=∠2=58゜
故答案为：58゜
【点睛】本题考查了互补的概念、平行线的性质等知识，掌握这两个知识是解题的关键．
12．如图，ABCD，EFCD，平分，，则__．
【答案】##147度
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，根据即可得出的度数．
【详解】解：，
，
，
．
平分，
．
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
13．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是_______．
【答案】
【分析】过点作，，根据平行线的性质，可得，，，继而可得，化简即可求得关系式．
【详解】解：如图，过点作，
，
，
，
即
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________．
【答案】45°或90°或120°
【分析】分三种情况根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=180°-90°=90°,
∴∠BAD＝90°-45°=45°；
如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°；
如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°，
∴∠BAD＝30°+90°=120°；
综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°．
故答案为：45°或90°或120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角．
三、解答题
15．如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
(1)BF∥EC；
(2)∠A＝∠D．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由∠1=∠2直接可得结论；
（2）根据BF∥EC，∠B=∠C，可得∠B=∠BFD，从而AB∥CD，即得∠A=∠D．
【小题1】解：∵∠1=∠2（已知），
∴BF∥EC（同位角相等，两直线平行）；
【小题2】
∵BF∥EC（已证），
∴∠C=∠BFD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B=∠C（已知），
∴∠B=∠BFD（等量代换），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）．
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线性质与判定定理．
16．如图，已知于点F，于点D，，求证．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的判定与性质，求解即可．
【详解】证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定方法与性质．
17．已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB =∠1+∠2；
(2)如图2，当动点P在点C上方运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)∠2=∠1+∠APB．理由见解析
【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据l1∥l2可知PE∥l1∥l2，故可得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE．再由∠APB=∠APE+∠BPE即可得出结论；
（2）过P作PG∥l1，依据l1∥l2，可得PG∥l1∥l2，进而得到∠2=∠BPG，∠1=∠APG，再根据∠BPG=∠APG+∠APB，即可得出∠2=∠1+∠APB．
(1)
解：证明：如图①，过点P作PE∥l1，
∵l1∥l2，
∴PE∥l1∥l2，
∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE．
又∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴∠APB =∠1+∠2；
(2)
结论：∠2=∠1+∠APB．
证明：如图②，过P作PG∥l1，
∵l1∥l2，
∴PG∥l1∥l2，
∴∠2=∠BPG，∠1=∠APG，
∵∠BPG=∠APG+∠APB，
∴∠2=∠1+∠APB．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．
18．如图，，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足．
(1)试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为______．
(2)如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由见解析；②∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°
(2)①130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由见解析
【分析】（1）①过点P作，利用平行线的性质即可求解；
②过点P作，利用平行线的性质即可求解；
（2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可求解；
②设：，，则可求∠P，∠Q，即可求解．
(1)解：（1）①如图1，当点P在EF的左侧时，过点P作，则，
∴∠AEP＝∠EPH，∠FPH＝∠CFP，
∴∠EPF＝∠EPH+∠FPH＝∠AEP+∠CFP，
②当点P在EF的右侧时，过点P作，则，
∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，
∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，
即，∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；
(2)
①由（1）知∠PEA+∠PFC＝∠EPF＝100°，
∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，
故∠DFQ+∠BEQ＝130°＝∠EQF，
故答案为130°；
②∠EPF+2∠EQF＝360°．
理由：如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，
设：，，
则，，
即：∠EPF+2∠EQF＝360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论、角平分线的定义以及性质等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键.．
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专题04 平行线的性质
一、单选题
1．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若∠1=35°，则∠2的大小是（ ）
A．45° B．65° C．75° D．85°
2．如图，AF是∠BAC的平分线， DF∥AC，若∠1＝25°，则∠BDF的度数为（ ）
A．25° B．50° C．75° D．100°
3．如图，已知直线，直线c被直线a、b所截，若，则（ ）
A．62° B．28° C．128° D．118°
4．如图，由ABCD，可以得到（ ）
A． B． C． D．
5．如图，AB∥ED，CD∥EF，若∠1＝145°，则∠2的度数为（ ）
A．35° B．40° C．45° D．60°
6．如图，点，，，在同一条直线上，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．一个学员在广场上驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（ ）
A．第一次向右拐 50° ，第二次向左拐130° B．第一次向右拐 50° ，第二次向右拐130°
C．第一次向左拐 50° ，第二次向左拐130° D．第一次向左拐 30° ，第二次向右拐 30°
8．如图，一束平行光线中，插入一张对边平行的纸版，如果光线与纸版右下方所成的∠1是110°，那么光线与纸版左上方所成的∠2的度数是（ ）
A．110° B．100° C．90° D．70°
9．生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）°
A． B． C． D．
10．已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（ ）
A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°
二、填空题
11．如图，，，则_____度．
12．如图，ABCD，EFCD，平分，，则__．
13．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是_______．
14．一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组互相平行，则符合要求的∠BAD的值为________．
三、解答题
15．如图，一条直线分别与直线BE、直线CE、直线BF、直线CF相交于A，G，H，D，且∠1＝∠2，∠B＝∠C．求证：
(1)BF∥EC；
(2)∠A＝∠D．
16．如图，已知于点F，于点D，，求证．
17．已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D两点，点A，B分别在线l1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
(1)如图1，有一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB =∠1+∠2；
(2)如图2，当动点P在点C上方运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有何数量关系，并说明理由．
18．如图，，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足．
(1)试问：∠AEP，∠CFP，∠EPF满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．
①如图1，当点P在EF的左侧时，猜想∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点P在EF的右侧时，直接写出∠AEP，∠CFP，∠EPF满足的数量关系为______．
(2)如图3，QE，QF分别平分∠PEB，∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝100°，则∠EQF的度数为______；
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由．
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