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2021-2022学年浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》竞赛题
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2019 武汉自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．2n+2﹣2n＝2n+1 B．2x﹣3÷4x﹣4＝
C．（﹣2x﹣2）﹣3＝6 x6 D．3x﹣2+4x﹣2＝
【分析】A、根据同严项概念判断即可；
B、利用同底数幂的乘除运算法则计算判断即可；
C、根据幂的乘方运算法则计算判断即可；
D、根据合并同类项法则计算得出答案．
【解答】解：A、2n+2﹣2n，不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、2x﹣3÷4x﹣4＝x，故此选项错误；
C、（﹣2x﹣2）﹣3＝﹣x6，故此选项错误；
D、3x﹣2+4x﹣2＝，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题考查的是整式的除法、幂的乘方等运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
2．（5分）（2020 浙江自主招生）如果多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【分析】把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值．
【解答】解：p＝a2+2b2+2a+4b+2008，
＝（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005，
＝（a+1）2+2（b+1）2+2005，
当（a+1）2＝0，（b+1）2＝0时，p有最小值，
最小值为2005．
故选：A．
【点评】此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值．
3．（5分）（2019 青羊区校级自主招生）满足的所有实数x的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】直接利用2﹣x＝1，2﹣x＝﹣l，2﹣x≠±1且2﹣x≠0时，令 x2﹣x﹣2＝0分别得出x的值，进而得出答案．
【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，满足题意．
当2﹣x＝﹣l，即x＝3时，由于，所以满足题意．
当2﹣x≠±1且2﹣x≠0，即x≠1 且x≠3 且x≠2时，令 x2﹣x﹣2＝0，得 x＝﹣1．
因此，所求和为 1+3+（﹣l）＝3．
故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方以及零指数幂，正确分类讨论是解题关键．
4．（5分）（2017 浦东新区校级自主招生）有一个长方形纸片，其长为a，宽为b（a＞b），现将这种纸片按图的方式拼成矩形ABCD，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S，当BC的长改变时，S不变，a和b满足（ ）
A．a＝2b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．
【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，
∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，
∴阴影部分面积之差S＝AE AF﹣PC CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b﹣a）PC+12b2﹣3ab，
则3b﹣a＝0，即a＝3b．
解法二：既然BC是变化的，当点P与点C重合开始，然后BC向右伸展，
设向右伸展长度为X，左上阴影增加的是3bX，右下阴影增加的是aX，因为S不变，
∴增加的面积相等，
∴3bX＝aX，
∴a＝3b．
故选：B．
【点评】此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
5．（5分）（2017 奉化市自主招生）实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值为（ ）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则进而将原式变形得出答案．
【解答】解：∵2b÷2a＝2，
∴b﹣a＝1，则a＝b﹣1，
∵2c÷2b＝8，
∴c﹣b＝3，则c＝b+3，
∴2006a﹣3344b+1338c
＝2006（b﹣1）﹣3344b+1338（b+3）
＝2008．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（5分）（2016 田家庵区校级自主招生）若S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】原式各括号利用平方差公式分解后，约分即可得到结果．
【解答】解：S＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）…（1+）（1﹣）
＝××××××…××
＝（×××…×）×（×××…×）
＝×
＝，
故选：D．
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
7．（5分）（2012 乐平市校级自主招生）已知a＝2009x+2008，b＝2009x+2009，c＝2009x+2010，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】首先由a＝2009x+2008，b＝2009x+2009，c＝2009x+2010，求得a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，然后由a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]，代入即可求得答案．
【解答】解：∵a＝2009x+2008，b＝2009x+2009，c＝2009x+2010，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）＝（a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝×[（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣1）2]＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是注意a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]．
8．（5分）（2013春 雁塔区校级期末）若x是不为0的有理数，已知M＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1），N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），则M与N的大小是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【分析】运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小即可．
【解答】解：由M＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1），
＝x4﹣2x2+1，
N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），
＝x4+x2+1，
∴M﹣N＝x4﹣2x2+1﹣（x4+x2+1），
＝﹣3x2，
∵x是不为0的有理数，
∴﹣3x2＜0，
即M＜N．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键是化简M，N后进行作差比较大小．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2021春 株洲期末）若，求的值为 2 ．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值．
【解答】解：已知等式两边平方得：（a+）2＝a2+2+＝4，
则a2+＝2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（5分）（2020 浙江自主招生）已知实数a，b满足，6a＝2010，335b＝2010，则+＝ 1 ．
【分析】根据6a＝2010，335b＝2010可得6ab＝2010b，335ab＝2010a，再由6ab×335ab＝2010b+a，可得ab＝a+b，然后再把+通分计算即可．
【解答】解：∵6a＝2010，335b＝2010，
∴6ab＝2010b，335ab＝2010a，
∴6ab×335ab＝2010b+a，
（6×335）ab＝2010 a+b，
∴ab＝a+b
∴+＝＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了幂的乘方、积的乘方，关键是掌握（ab）n＝anbn（n是正整数），并能灵活应用．
11．（5分）（2017 临沂模拟）设x，y为任意实数，定义运算：x*y＝（x+1）（y+1）﹣1，得到下列五个命题：
①x*y＝y*x；②x*（y+z）＝x*y+x*z；③（x+1）*（x﹣1）＝（x*x）﹣1；④x*0＝0；⑤（x+1）*（x+1）＝x*x+2*x+1；
其中正确的命题的序号是 ①③ ．
【分析】根据题中规定的运算法则对各选项新定义的运算进行计算，判断即可解答．
【解答】解：①x*y＝y*x＝xy+x+y，正确；
②x*（y+z）＝（x+1）×（y+z+1）﹣1，错误；
③（x+1）*（x﹣1）＝（x+2）x﹣1＝x2+2x﹣1，
（x*x）﹣1＝（x+1）（x+1）﹣1﹣1＝x2+2x﹣1，正确；
④x*0＝x，错误；
⑤（x+1）*（x+1）＝（x+2）（x+2）﹣1＝x2+4x+3
x*x+2*x+1＝（x+1）（x+1）﹣1+3（x+1）﹣1+1＝x2+5x+3，错误．
故答案为①③．
【点评】此题主要考查了整式的加减运算、多项式乘以单项式等运算，解题的关键是熟悉整式运算的法则，同时也理解运算律，才能正确解决问题．
12．（5分）（2021春 婺城区校级期末）（2x6﹣3x5+4x4﹣7x3+2x﹣5）（3x5﹣3x3+2x2+3x﹣8）展开式中x8的系数是 ﹣8 ．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则可知展开式中含x8的项可以由2x6与2x2、﹣3x5与﹣3x3、﹣7x3与3x5相乘得，故可直接将几式相乘后再相加即可得出系数．
【解答】解：∵（2x6﹣3x5+4x4﹣7x3+2x﹣5）（3x5﹣3x3+2x2+3x﹣8）展开式中含x8的项可以由2x6与2x2、﹣3x5与﹣3x3、﹣7x3与3x5相乘得
∴展开式中含x8项分别为：4x8、9x8、﹣21x8
∴展开式中x8的系数是：4+9﹣21＝13﹣21＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，注意运用简便方法．
13．（5分）（2021秋 雁塔区校级期中）已知实数a，b，x，y满足ax+by＝3，ay﹣bx＝5，则（a2+b2）（x2+y2）的值是 34 ．
【分析】将ax+by＝3，ay﹣bx＝5这两式两边平方后相加，最经过提取公因式，左边可得（a2+b2）（x2+y2）
至此问题解决．
【解答】解：由题意得，ax+by＝3 ①
ay﹣bx＝5 ②
①2得a2x2+b2y2+2abxy＝9 ③
②2得a2y2+b2x2﹣2abxy＝25 ④
③+④得a2x2+b2y2+a2y2+b2x2＝34
a2（x2+y2）+b2（x2+y2）＝34
（a2+b2）（x2+y2）＝34
故答案为34
【点评】本题主要考查了完全平方式即化简求值．在化简过程中巧妙运用了a2x2+b2y2+a2y2+b2x2可直接分解为（a2+b2）（x2+y2）的形式．
14．（5分）（2020 浙江自主招生）已知＝（a﹣b）（c﹣a）且a≠0，则＝ 2 ．
【分析】根据题意将原式变形，盘后主要利用添项法可配成完全平方式，再利用偶次方的非负性即可得出答案．
【解答】解：，
化简：4a2﹣4a（b+c）+（b+c）2＝0，，
即：，所以＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查整式的混合运算及非负数的性质，题目有点难度，巧用完全平方公式是关键．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2010秋 青山区期末）先化简，再求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中x＝3，y＝﹣4．
【分析】根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则，多项式除单项式的法则化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，
＝（4xy﹣2y2）÷4y，
＝x﹣y；
当x＝3，y＝﹣4时，原式＝3﹣×（﹣4）＝5．
【点评】此题考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法，单项式与多项式相乘，多项式除单项式以及合并同类项的知识点．
16．（8分）（2019秋 浦东新区校级期中）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
【分析】根据已知条件，，求得a﹣c＝；然后由（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca），求ab+bc+ca的值．
【解答】解：，①
，②
由①+②，得
a﹣c＝，③
∵（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝++＝，
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝，
∵a2+b2+c2＝1，
∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，
∴ab+bc+ca＝＝．
【点评】本题考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知条件转化为三个完全平方式，然后将a2+b2+c2＝1整体代入求值即可．
17．（8分）（2014 福州校级自主招生）设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，求的值．
【分析】根据m2+n2＝4mn，求得（m+n）2＝6mn，（m﹣n）2＝2mn，又m＞n＞0，得到m+n＝，m﹣n＝，即可解答．
【解答】解：∵m2+n2＝4mn，
∴（m+n）2＝6mn，（m﹣n）2＝2mn，
又∵m＞n＞0，
∴m+n＝，m﹣n＝，
∴．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
18．（8分）设实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1．
（1）若a+b+c＝0，求ab+bc+ca的值；
（2）求（a+b+c）2的最大值．
【分析】（1）把a+b+c＝0两边平方，然后展开得到a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，再把a2+b2+c2＝1代入进行计算即可；
（2）根据完全平方公式得到（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，由（a﹣b）2≥0，即2ab≤a2+b2，于是有（a+b+c）2≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2，然后把a2+b2+c2＝1代即可得到（a+b+c）2的最大值．
【解答】解：（1）∵a+b+c＝0，
∴（a+b+c）2＝0，
∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝0，
而a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca＝﹣；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
而（a﹣b）2≥0，即2ab≤a2+b2，
同理有2bc≤b2+c2，2ac≤a2+c2，
∴（a+b+c）2≤a2+b2+c2+a2+b2+b2+c2+a2+c2，
∴（a+b+c）2≤3（a2+b2+c2），
而a2+b2+c2＝1，
∴（a+b+c）2≤3，
∴（a+b+c）2的最大值为3．
【点评】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．也考查了（a﹣b）2的非负性质以及代数式的变形能力．
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2021-2022学年浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》竞赛题
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2019 武汉自主招生）下列计算正确的是（ ）
A．2n+2﹣2n＝2n+1 B．2x﹣3÷4x﹣4＝
C．（﹣2x﹣2）﹣3＝6 x6 D．3x﹣2+4x﹣2＝
2．（5分）（2020 浙江自主招生）如果多项式p＝a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
3．（5分）（2019 青羊区校级自主招生）满足的所有实数x的和为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（5分）（2017 浦东新区校级自主招生）有一个长方形纸片，其长为a，宽为b（a＞b），现将这种纸片按图的方式拼成矩形ABCD，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S，当BC的长改变时，S不变，a和b满足（ ）
A．a＝2b B．a＝3b C．a＝b D．a＝4b
5．（5分）（2017 奉化市自主招生）实数a，b，c满足2a＝5，2b＝10，2c＝80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值为（ ）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
6．（5分）（2016 田家庵区校级自主招生）若S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则S的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2012 乐平市校级自主招生）已知a＝2009x+2008，b＝2009x+2009，c＝2009x+2010，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（5分）（2013春 雁塔区校级期末）若x是不为0的有理数，已知M＝（x2+2x+1）（x2﹣2x+1），N＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），则M与N的大小是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
9．（5分）（2021春 株洲期末）若，求的值为 ．
10．（5分）（2020 浙江自主招生）已知实数a，b满足，6a＝2010，335b＝2010，则+＝ ．
11．（5分）（2017 临沂模拟）设x，y为任意实数，定义运算：x*y＝（x+1）（y+1）﹣1，得到下列五个命题：
①x*y＝y*x；②x*（y+z）＝x*y+x*z；③（x+1）*（x﹣1）＝（x*x）﹣1；④x*0＝0；⑤（x+1）*（x+1）＝x*x+2*x+1；
其中正确的命题的序号是 ．
12．（5分）（2021春 婺城区校级期末）（2x6﹣3x5+4x4﹣7x3+2x﹣5）（3x5﹣3x3+2x2+3x﹣8）展开式中x8的系数是 ．
13．（5分）（2021秋 雁塔区校级期中）已知实数a，b，x，y满足ax+by＝3，ay﹣bx＝5，则（a2+b2）（x2+y2）的值是 ．
14．（5分）（2020 浙江自主招生）已知＝（a﹣b）（c﹣a）且a≠0，则＝ ．
三．解答题（共4小题，满分30分）
15．（6分）（2010秋 青山区期末）先化简，再求值：[（x2+y2）﹣（x﹣y）2+2y（x﹣y）]÷4y，其中x＝3，y＝﹣4．
16．（8分）（2019秋 浦东新区校级期中）已知，，a2+b2+c2＝1，求ab+bc+ca的值．
17．（8分）（2014 福州校级自主招生）设m＞n＞0，m2+n2＝4mn，求的值．
18．（8分）设实数a，b，c满足a2+b2+c2＝1．
（1）若a+b+c＝0，求ab+bc+ca的值；
（2）求（a+b+c）2的最大值．
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