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专题06 二元一次方程
一、单选题
1．下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A．2x＋3＝0 B．3x－y＝2z C．x2＝3 D．2x－y＝5
2．若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A．，B．，C．D．，
3．方程的正整数解的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
4．下面各组数值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（ ）
A． B． C． D．
5．若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．－5
6．已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
7．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A．8 B．5 C．2 D．0
二、填空题
11．若是某个二元一次方程的一个解，则该方程可能是 _____（请写出满足条件的一个答案即可）
12．已知关于x、y的二元一次方程2x－ay＝10的一个解是，则a＝______．
13．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是_______．
14．某销商10月份销售B、C三种奶茶的数量之比为2：3：4，A、B、C三种奶茶的单价之比为1：2：3.11月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种奶茶的价格作了适当的调整，预计11月份三种奶茶的销售总额将比10月份有所增加，其中A奶茶增加的销售额占11月份销售总额的，A、C奶茶的销售额之比是2：9.11月份三种奶茶的单价之和比10月份增加．11月份C奶茶的数量在10月份基础上上调50%，A、B奶茶的数量不变，则11月份A、B奶茶的单价之比为 ___．
三、解答题
15．已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．
(1)k为何值时，方程为一元一次方程？
(2)k为何值时，方程为二元一次方程？
16．判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．
（1） （2）
17．（1）找到几组适合方程的x，y值；
（2）找到几组适合方程的x，y值；
（3）找出一组x，y值，使它们同时适合方程和；
（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组的解吗？
18．某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“完美数”，例如：879，因为8+7+9=24，则879为“完美数”；又如：678492，因为6+7+8+4+9+2=36，则678492也是“完美数”．
（1）判断56382是否是“完美数”，并说明理由；
（2）最大的三位“完美数”是 ，最小的四位“完美数”为 ；
（3）若一个四位正整数是“完美数”，千位数字是个位数字的4倍，百位数字比十位数字大2，请直接写出满足条件的所有四位数．
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专题06 二元一次方程
一、单选题
1．下列方程中，为二元一次方程的是（ ）
A．2x＋3＝0 B．3x－y＝2z C．x2＝3 D．2x－y＝5
【答案】D
【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别．
【详解】解：A．是一元一次方程，故本选项不合题意；
B．含有三个未知数，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
C．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不合题意；
D．符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
2．若是关于，的二元一次方程，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【详解】解：是关于，的二元一次方程，
，，
解得：，．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．方程的正整数解的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】将x=1，2，…，分别代入2x+3y=17，求出方程的正整数解的对数是多少即可．
【详解】解：当x＝1时，方程变形为2+3y＝17，解得y＝5；
当x＝4时，方程变形为8+3y＝17，解得y＝3；
当x＝7时，方程变形为14+3y＝17，解得y＝1；
∴二元一次方程的正整数解的对数是3对：、和．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解，要熟练掌握，注意解中x与y必须为正整数．
4．下面各组数值中，二元一次方程2x＋y＝10的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把各选项的值代入方程验算即可．
【详解】解：A、2x+y=-4+6=2≠10，故该选项不符合题意；
B、2x+y=12-2=10，故该选项符合题意；
C、2x+y=8+3=11≠10，故该选项不符合题意；
D、2x+y=-6+4=-2≠10，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，把各选项的值代入方程验算是解题的关键．
5．若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ）
A．3 B．5 C．－3 D．－5
【答案】B
【分析】把代入ax-2y=1计算即可．
【详解】解：把代入ax-2y=1得，
a-4=1，
解得a=5，
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键．
6．已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
【答案】A
【分析】将代入方程x-ay=3计算可求解a值．
【详解】解：将代入方程x-ay=3得2-a=3，
解得a=-1，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．
7．现有一批脐橙运往外地销售，A型车载满一次可运3吨，B型车载满一次可运4吨，现有脐橙31吨，计划同时租用A，B两种车型，一次运完且恰好每辆车都载满脐橙，租车方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】B
【分析】设租A型车x辆，租B型车y辆，根据题意列方程得，正整数解即可．
【详解】解：设租A型车x辆，租B型车y辆，
根据题意列方程得，
∴，
∵均为正整数，
∴是4的倍数，小于31的4的倍数有28,24,20,16,12,8,4，
∴=28，解得x=1,，
∴=24，解得,，
∴=20，解得，
∴=16，解得x=5,，
∴=12，解得，
∴=8，解得，
∴=4，解得x=9,，
∴租车方案有三种分别为：租A型车1辆，租B型车7辆或租A型车5辆，租B型车4辆或租A型车9辆，租B型车1辆．
故选择B．
【点睛】本题考查二元一次方程的正整数解，掌握应用二元一次方程解应用题，利用二元一次方程的正整数解解决方案设计问题是解题关键．
8．一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，则这样的两位数共有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【分析】设原来的两位数为10a+b，则新两位数为，根据新两位数比原两位数大9，列出方程，找出符合题意的解即可．
【详解】解：设原来的两位数为10a+b，根据题意得：
10a+b+9＝10b+a，
解得：b＝a+1，
因为可取1到8个数，所以这两位数共有8个，它们分别，12，23，34，45，56，67，78，89，都是个位数字比十位数字大1的两位数．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程，再求解，弄清两位数的表示是：十位上的数＋个位上的数，注意不要漏数．
9．已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则a+b的值是（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．0
【答案】B
【分析】将代入即可求出a与b的值；
【详解】解：将代入得：
，
∴a+b=2；
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
10．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（ ）
A．8 B．5 C．2 D．0
【答案】C
【分析】把代入方程，再根据，然后代入求值即可．
【详解】解：把代入方程，可得：，
所以，
故选：C．
【点睛】本题考查了代数式的求值，正确对代数式变形，利用添括号法则是关键．
二、填空题
11．若是某个二元一次方程的一个解，则该方程可能是 _____（请写出满足条件的一个答案即可）
【答案】
【分析】以3+5=8，3-5=-2列出满足题意的方程组即可．．
【详解】解：若是某个二元一次方程的一个解，则该方程可能是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．
12．已知关于x、y的二元一次方程2x－ay＝10的一个解是，则a＝______．
【答案】2
【分析】将代入二元一次方程可得一个关于的方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意，将代入方程得：，
解得，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解、解一元一次方程，掌握理解二元一次方程的解的概念（一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解）是解题关键．
13．在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是_______．
【答案】
【分析】根据x和y是相反数可得x＝﹣y，然后代入原方程求解即可．
【详解】解：∵x和y是相反数，
∴x＝﹣y，
把x＝﹣y代入原方程中，可得：﹣3y+y＝12，
解得：y＝﹣6，
∴x＝6，
∴在二元一次方程3x+y＝12的解中，x和y是相反数的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，理解方程的解和互为相反数的概念是解题关键．
14．某销商10月份销售B、C三种奶茶的数量之比为2：3：4，A、B、C三种奶茶的单价之比为1：2：3.11月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种奶茶的价格作了适当的调整，预计11月份三种奶茶的销售总额将比10月份有所增加，其中A奶茶增加的销售额占11月份销售总额的，A、C奶茶的销售额之比是2：9.11月份三种奶茶的单价之和比10月份增加．11月份C奶茶的数量在10月份基础上上调50%，A、B奶茶的数量不变，则11月份A、B奶茶的单价之比为 ___．
【答案】
【分析】根据三种饮料的数量比、单价比，可以按照比例设未知数，即10月份A、B、C三种饮料的销售的数量和单价分别为2a、3a、4a；b、2b、3b．可以表示出10月份各种饮料的销售额和总销售额．因问题中涉及到A的10月销售数量，因此可以设11月份A的销售量为x，再根据A11月份的单价求出11月份A的销售额和C的销售额．可以根据饮料增加的销售额占11月份销售总额比，用未知数列出等式关键即可求解出．
【详解】解：由题意可设10月份、、三种饮料的销售的数量为、、，单价为、、；11月份的销售量为，
则11月份、、三种饮料的销售的数量为、、；
月份奶茶销售额为，
11月份种奶茶的销售额为：，
、奶茶的销售额之比是，
月份种奶茶的销售额为：，
月份种奶茶的价格为，
月份三种奶茶的单价之和比10月份增加，
月份三种奶茶的单价之和为，
月份种奶茶的单价为：，
奶茶增加的销售额占11月份销售总额的，
，解得，
，
．
即11月份、奶茶的单价之比为为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是二元一次方程的应用，掌握用代数式表示每个参数，并用整体法解题是关键．
三、解答题
15．已知方程（k+2）x+（k-6）y=k+8是关于x，y的方程．
(1)k为何值时，方程为一元一次方程？
(2)k为何值时，方程为二元一次方程？
【答案】(1)k=-2或k=6；
(2)k≠-2且k≠6时
【分析】（1）根据一元次方程的定义，含有一个未知数，并且含未知数的项的次数为1的整式方程可得或 ，解方程组得；
（2）根据方程是二元一次方程方程的定义含有两个未知数，含未知数的项的次数为1的整式方程可得，解不等式组即可．
【小题1】解：∵方程是一元一次方程，
∴或
∴解得k=-2或k=6．
∴当k=-2或k=6时，该方程是一元一次方程．
【小题2】解：∵方程是二元一次方程，
∴
∴解得k≠-2且k≠6．
∴当k≠-2且k≠6时，该方程是二元一次方程．
【点睛】本题考查一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义，掌握一元一次方程的定义，二元一次方程方程的定义是解题关键．
16．判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．
（1） （2）
【答案】（1）不是方程组的解 ；（2）不是方程组的解
【分析】根据二元一次方程的解，将二元一次方程的解代入方程计算即可．
【详解】解：（1）把代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以是方程①的解．
把x＝3，y＝-5代入方程②中，左边＝，右边＝，左边≠右边，所以不是方程②的解．
所以不是方程组的解．
（2）把代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以不是方程①的解，
再把代入方程②中，左边＝x+y＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以是方程②的解，但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解．
17．（1）找到几组适合方程的x，y值；
（2）找到几组适合方程的x，y值；
（3）找出一组x，y值，使它们同时适合方程和；
（4）根据上面的结论，你能直接写出二元一次方程组的解吗？
【答案】（1）；答案不唯一；（2）；答案不唯一；（3）；（4）．
【分析】（1）根据二元一次方程解的含义求解即可；
（2）根据二元一次方程解的含义求解即可；
（3）根据二元一次方程组解的含义求解即可；
（4）根据前面得到的结论求解即可．
【详解】解：（1）令x=1 ，则y=-1 ；
令x=2，则y=-2．答案不唯一；
（2）令x=1，则y=1-2=-1 ；
令x=4，则y=4-2=2．答案不唯一 ；
（3）当x=1 ，y=﹣1时同时满足方程：和；
（4）方程组的解是．
【点睛】此题考查了二元一次方程组解的含义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的含义．
18．某学习小组讨论了这样一道数学题：若一个多位数各个数位上的数字之和为12的倍数，则称其为“完美数”，例如：879，因为8+7+9=24，则879为“完美数”；又如：678492，因为6+7+8+4+9+2=36，则678492也是“完美数”．
（1）判断56382是否是“完美数”，并说明理由；
（2）最大的三位“完美数”是 ，最小的四位“完美数”为 ；
（3）若一个四位正整数是“完美数”，千位数字是个位数字的4倍，百位数字比十位数字大2，请直接写出满足条件的所有四位数．
【答案】（1）56382是“完美数”，见解析；（2）996，1029；（3）8202，8862
【分析】（1）直接根据题意中“完美数”的定义，求出各位数字之和，判断即可；
（2）根据“完美数”的定义，找出满足条件的数即可；
（3）设个位数字为，十位数字为，则千位数字是，百位数字为，最后求出各位数字之和判断即可．
【详解】解：（1）56382是“完美数”，
理由：∵，，
∴56382是“完美数”；
（2）最大的三位“完美数”
百位上取最大值，十位上取最大值，
则个位上的数为：，
即最大的三位“完美数”是，
最小的四位“完美数”为：
千位上取最小值，百位上取，十位上加上各位上必须等于，
则这个最小的四位“完美数”为，
故答案为：996；1029；
（3）设个位数字为，十位数字为，
则千位数字是，百位数字为，
根据“完美数”的定义，
可得：（或），
即：，
当时，为分数，不符合题意；
当时，，，则；，则，
当时，，不合题意，
∴满足条件的四位数为：8202，8862．
【点睛】此题考查了新定义，倍数关系，二元一次方程的整数解的求值，理解新定义是解本题的关键．
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