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专题08 解二元一次方程组
一、单选题
1．如果是二元一次方程，那么m、n的值分别为（ ）
A．2、3 B．2、1 C．3 、4 D．－1、2
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可得，解二元一次方程组即可求得的值．
【详解】解：∵是二元一次方程，
∴
①+②×2得：，
将代入②，
解得
故选C
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，加减消元法解二元一次方程组， 根据二元一次方程的定义列二元一次方程组是解题的关键．
2．把方程写成用含x的式子表示y的形式，以下各式中正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，将看作已知数求出即可
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，将看作已知数求出是解题的关键．
3．二元一次方程组更适合用哪种方法消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法
C．代入、加减消元法都可以 D．以上都不对
【答案】B
【分析】由题意直接根据加减消元法和代入消元法的特点进行判断即可．
【详解】解：，
①②，得，消去了未知数，
即二元一次方程组更适合用加减法消元，
故选：．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，注意掌握解二元一次方程组的方法有：代入消元法和加减消元法两种．
4．若为都是方程ax＋by＝1的解，则a＋b的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】把为代入ax＋by＝1，建立方程组，再解方程组即可.
【详解】解： 为都是方程ax＋by＝1的解，
解②得：
把代入①得：
故选C
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本题的关键.
5．已知关于x，y的方程组的唯一解是，则关于m，n的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将关于的方程组变形为，再根据关于的方程组的解可得，由此即可得出答案．
【详解】解：关于的方程组可变形为，
由题意得：，
解得，
故选：A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
6．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解,那么的值是( )
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【分析】先求出的解，然后代入可求出a的值．
【详解】解：，
由①+②，可得2x＝4a，
∴x＝2a，
将x＝2a代入①，得
2a-y=a，
∴y＝2a﹣a＝a，
∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，
∴将代入方程3x﹣5y﹣7＝0，可得6a﹣5a﹣7＝0，
∴a＝7，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
7．若方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由整体思想可得，求出x、y即可．
【详解】解：∵方程组的解为，
∴方程组的解，
∴；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确利用整体思想求解是解题的关键．
8．关于的二元一次方程组的解满足，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】解方程组，用含的式子表示，然后将方程组的解代入即可．
【详解】解：，
①－②得：，
∵，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组解，和二元一次方程组的解的应用，运用整体法得出，可以是本题变得简便．
9．已知方程组和有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：根据题意，则
，
由①×2+②得：11x=11，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+y=3，
解得：y=2；
把x=1，y=2代入，则，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
10．图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出 x的值应为（ ）．
A．-4 B．-3 C．3 D．4
【答案】A
【分析】如图所示，其中a、b、c、d表示此方格中表示的数，则可得由此即可得到④，⑤，然后把④⑤代入③中即可求解．
【详解】解：如图所示，其中a、b、c、d表示此方格中表示的数，
由题意得：，
由①得④，
由②得⑤，
把④和⑤代入③中得，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查了解方程组，解题得关键在于能够利用整体代入的思想进行求解．
二、填空题
11．二元一次方程组的解是 _____．
【答案】
【分析】方程组利用代入消元法求出解即可．
【详解】解：，
整理得：，
把②代入①得：，
解得：，
把代入②得：，
则方程组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
12．若（2x﹣y）2与|x+2y﹣5|互为相反数，则（x﹣y）2022＝_____．
【答案】1
【分析】由相反数的含义可得：可得方程组再解方程组可得答案.
【详解】解：由题意得：
解得：
故答案为：1
【点睛】本题考查的是平方与绝对值的非负性的应用，相反数的含义，二元一次方程组的解法，代数式的值，掌握“两个非负数之和为0，则这两个数都为0”是解本题的关键.
13．已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】20
【分析】通过观察已知方程组中x，y的系数，根据加减法，即可得答案．
【详解】由 ，
两式相加，可得，
故答案为：20 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用等式的性质把两式相加是解题的关键．
14．已知关于x、y的方程组，则代数式2x+y＝___．
【答案】8
【分析】首先根据方程组得到x+y＝3，然后将代数式变形后代入即可求值．
【详解】解：
(1)+(2)，得3x+3y＝9，
∴x+y=3，
∴2x+y＝23＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了幂的乘方及同底数幂的乘法的知识，解题的关键是能够根据方程组求得x＋y＝3，难度适中．
三、解答题
15．解方程：
(1)解方程组：；
(2)解方程组：．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
(1)解：，
①+②×3得：10x=50，
解得：x=5，
把x=5代入②得：10+y=13，
解得：y=3，
则方程组的解为；
(2)解：方程组整理得：，
①-②得：4y=24，
解得：y=6，
把y=6代入①得：3x-6=4，
解得：x=，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
16．解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一：由，得．
解法二：由②得③，
把①代入③得．
(1)反思：上述两种解题过程中你发现解法______的解题过程有错误（填“一”或“二”）；
(2)请选择一种你喜欢的方法解此方程组．
【答案】(1)一
(2)
【分析】（1）根据两种方法逐项计算，即可求解；
（2）选择方法一，利用加减法即可求解．
(1)解：解法一：得，得．故方法一错误；
解法二：由②得③，把①代入③得．故方法二正确．
故答案为：一
(2)解：选择方法一．
，
得，得
解得，
把代入①得-1-3y=8，
解得y=-3，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟知加减消元法和代入消元法是解题关键，注意两种消元方法的解题依据都是等式的性质．
17．如图是按一定规律排列的方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记做方程组1、方程组2、方程组3、…
(1)解方程组，求方程组3的解；
(2)若方程组的解是，直接写出a、b的值；
(3)请依据方程组和它的解的变化的规律，直接写出方程组n和它的解．
【答案】(1)
(2)a＝，b＝9；
(3)，
【分析】（1）用加减消元法消去x项，得出y的值，然后再用代入法求出x的值；
（2）把x的值代入方程①可得y即b的值，再把x和y的值的代入②可得a的值；
（3）根据方程组和解的变化规律可得答案．
(1)解：，
用①﹣②得：﹣4y＝﹣8，
解得y＝2．
把y＝2代入①，
得x﹣2＝1，
x＝3，所以方程组的解是；
(2)解：，
把x＝10代入①得：y＝9即b＝9．
再把x＝10，y＝9代入②得：10+9a＝a，解得a＝．
答：a＝，b＝9；
(3)解：根据观察可知，方程组的第一个方程不变，第二个方程等号右边的数是未知数y的系数的平方，方程组几的未知数x的值为几，未知数y值比x小1，所以，方程组n是，方程组的解是．
【点睛】本题考查用加减消元法解方程，以及根据方程组及其解的集合找规律并解方程，解题关键是熟练运用加减消元法解方程．
18．若一个四位数的千位数字与十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“循环四位数”，如3232，4343，5656，…等都是“循环四位数”，若将一个“循环四位数”的千位数字与个位数字交换位置，得到一个新四位数，我们把这个新四位数叫做“原循环四位数的对应数”，如3232的对应数为2233，5252的对应数为2255．
（1）任意写一个“循环四位数”及它的“对应数”；猜想任意一个“循环四位数”与它的“对应数”的差是否都能被111整除？并说明理由；
（2）一个“循环四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），若这个循环四位数与它的对应数的差能被555整除，求这个“循环四位数”．
【答案】（1）一个“循环四位数”为3232，则它的“对应数”为，一个“循环四位数”与它的“对应数”的差都能被111整除，理由见解析；（2）9494或8383或7272或6161或4949或3838或2727或1616
【分析】（1）根据题意任意写出一个“循环四位数”及它的“对应数”；设个“循环四位数”的千位为，百位为，分别表示出这个“循环四位数”和它的“对应数”，根据整式的加减计算，化为即可判断是否都能被111整除；
（2）根据（1）的结论写出这个循环四位数与它的对应数，并求得他们的差，根据题意，求得能被555整除，进而可得或，根据，即可求得这个循环四位数．
【详解】（1）例如，一个“循环四位数”为3232，则它的“对应数”为
设一个“循环四位数”的千位为，百位为，则这个“循环四位数”为，它的“对应数”为，
一个“循环四位数”与它的“对应数”的差为：
是整数，
是整数，则是整数
一个“循环四位数”与它的“对应数”的差都能被111整除
（2）依题意，一个“循环四位数”的千位数字为，百位数字为（，且），则这个“循环四位数”为，它的“对应数”为
这个“循环四位数”与它的“对应数”的差为：
能被111整除，
能被555整除，，
或
或
这个“循环四位数”为9494或8383或7272或6161或4949或3838或2727或1616．
【点睛】本题考查了列代数式和整式的化简，二元一次方程的特殊解，理解题意是解题的关键．
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