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专题10 三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
3．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．k B．k C．k D．k
4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．
A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当x=2时，其值为25；则当时，其值为（ ）．
A．4 B．8 C．62 D．52
7．一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（ ）
A．635 B．653 C．563 D．536
8．若且，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知方程组，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文．例如，明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
12．已知从方程组中求出______.
13．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱______元．
14．学校的某社团组织了一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a满分10分，题b、题c满分均为15分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有2人，答对其中两道题的有14人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为27，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个社团的平均成绩是_____分．
三、解答题
15．解方程组：
16．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
17．例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
18．在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
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专题10 三元一次方程组及其解法
一、单选题
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进行判断即可．
【详解】解：A、a的最高次数是2，选项错误；
B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误；
C、每个方程都是分式方程，选项错误；
D、符合题意，选项正确．
故选：D
【点睛】本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点．
2．解方程组时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）
A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
【答案】B
【分析】根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【详解】解：由②3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一次方程组的关键是消元．
3．已知关于x、y的方程组的解满足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．k B．k C．k D．k
【答案】A
【分析】根据得出，，然后代入中即可求解．
【详解】解：，
①+②得，
∴③，
①﹣③得：，
②﹣③得：，
∵，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出的代数式是解题的关键．
4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．
A．11支 B．9支 C．7支 D．5支
【答案】D
【分析】根据题意列出三元一次方程组消元，再求解即可．
【详解】解：设购买甲、乙、丙三种钢笔分别为x、y、z支，由题意，得
①×4-②×5得，
所以，
将代入①，得．
即．
∵，
∴，
∴x为小于6的正整数，
四个选项中只有D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握列方程组，解不等式的基本步骤是解题的关键．
5．一对夫妇现在年龄的和是其子女年龄和的6倍，他们两年前年龄和是子女两年前年龄和的10倍，6年后，他们的年龄和是子女6年后年龄和的3倍，问这对夫妇共多少个子女？（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】设这对夫妇的年龄的和为x，子女现在的年龄和为y，这对夫妇共有z个子女；根据本题中的三个等量关系为：此夫妇现在的年龄和=6×其子女现在的年龄和；此夫妇两年前的年龄和=10×其子女两年前的年龄和；此夫妇6年后的年龄和=3×其子女6年后的年龄和．可列出方程组，解方程组即可．
【详解】设现在这对夫妇的年龄和为x岁，子女现在的年龄和为y岁，这对夫妇共有z个子女，则，
解得
这对夫妇共有3个子女．
故选C．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程组并解方程组是解题的关键．
6．已知代数式，当时，其值为4；当时，其值为8；当x=2时，其值为25；则当时，其值为（ ）．
A．4 B．8 C．62 D．52
【答案】D
【分析】将已知的三组和代数式的值代入代数式中，通过联立三元一次方程组 ，求出、、的值，然后将代入代数式即可得出答案．
【详解】由条件知：，
解得：．
当时，．
故选：D．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，解题关键是掌握三元一次方程组的解法．
7．一个三位数各位数字的和是14，个位数字与十位数字的和比百位数字大2，若把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则这个三位数是（ ）
A．635 B．653 C．563 D．536
【答案】A
【分析】设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，则原来的三位数为：100z+10y+x，新数表示为：100y+10z+x，根据题意列三元一次方程组求解即可．
【详解】解：设个位、十位、百位上的数字分别为x、y、z，由题意得：
，
解得：，
∴原三位数为：635．
故选：A．
【点睛】本题考查了数字问题在三元一次方程组中的应用，正确理解题意、列出相应的三元一次方程组是解题的关键．
8．若且，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
【详解】：解：∵，
∴，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z） k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3 k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3 k＝0，
即k＝3．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三元一次方程组、比例的性质，正确将已知变形得出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z）是解题关键．
9．已知方程组，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】三个方程相加即可得到的值．
【详解】解：方程组，
三个方程相加得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
10．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文．例如，明文对应密文．当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设解密得到的明文为a，b，c，d，根据加密规则求出a，b，c，d的值即可．
【详解】解：设明文为a，b，c，d，
根据密文14，9，23，28，得到a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，
解得：a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，
则得到的明文为6，4，1，7．
故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
二、填空题
11．若是一个三元一次方程，那么_______， ________．
【答案】 -1 0
【分析】根据三元一次方程的定义：含有三个未知数，未知数的次数都是1的方程，由此可得，解出即可得出答案．
【详解】由题意得：，
解得：．
故答案为：-1，0．
【点睛】本题考查了三元一次方程，解题关键是掌握三元一次方程的定义．
12．已知从方程组中求出______.
【答案】2:5
【分析】根据方程组系数的特点，消去未知数y，得出x与z的关系，便可求出比值．
【详解】解：，
①+②得：5x-2z=0，∴5x=2z，即x:z=2:5，
故答案为2:5.
【点睛】本题考查了解三元一次方程组．可利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组.
13．甲、乙、丙三种商品，若购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需钱______元．
【答案】55
【分析】设一件甲商品x元，乙y元，丙z元，根据“购买甲5件、乙6件、丙3件，共需315元钱，购甲3件、乙4件、丙1件共需205元钱”列出方程组，用含y的代数式分别表示出x、z，再将x、y、z三者相加即可得出结论.
【详解】解：设一件甲商品x元，乙y元，丙z元．
根据题意得：
，
解的 ，
∴2x+2y+2z=150-3y+2y+y-40=110，
∴x+y+z=55，
故答案为55.
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题时认真审题，弄清题意，再列方程解答，含y的代数式分别表示出x、z是解题的关键.
14．学校的某社团组织了一次智力竞赛，共a、b、c三题，每题或者得满分或者得0分，其中题a满分10分，题b、题c满分均为15分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有2人，答对其中两道题的有14人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为27，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，则这个社团的平均成绩是_____分．
【答案】24
【分析】设答对a题的有x人，答对b题的有y人，答对c题的有z人，根据“答对题a的人数与答对题b的人数之和为29，答对题a的人数与答对题c的人数之和为27，答对题b的人数与答对题c的人数之和为20”，即可得出关于x、y、z的三元一次方程组，解之即可得出x、y、z的值，由x、y、z的值结合a、b、c三题的分值可求出全社团总得分，由x、y、z的值结合答对两题及答对三题的人数可求出全社团总人数，再利用平均分＝总分÷人数，即可求出结论．
【详解】解：设答对a题的有x人，答对b题的有y人，答对c题的有z人，
根据题意得： ，
解得： ．
全社团总得分为18×10+（11+9）×15＝480（分），
全社团总人数为18+11+9﹣1×14﹣2×2＝20（人），
全社团的平均成绩为480÷20＝24（分）．
故答案为24．
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
三、解答题
15．解方程组：
【答案】
【分析】将①+②可得得：④，再由③+④可得，然后把和代入①可得，即可求解．
【详解】解：
将①+②得：④，
将③+④得：，解得：，
将代入④得：，
将和代入①得：，
原方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的解法是解题的关键．
16．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
【分析】本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．
【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：
，
解得．
答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰好相反，平路不变．
17．例3．林芳、向民、艳君三位同学去商店买文具用品，林芳说：“我买了4支水笔，2本笔记本，10本作文本共用了19元.”向民说：“我买了2支水笔，3本笔记本，10本练习本共用了20元，”艳君说：“我买了12本练习本，8本作文本共用了10元；作文本与练习本的价格是一样哦！”请根据以上内容，求出笔记本，水笔，练习本的价格．
【答案】笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【分析】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，根据林芳、向民、艳君三个人的话可以建立三个方程，从而构成三元一次方程组，求出其解即可.
【详解】设笔记本每本的价格是x元，水笔每支y元，练习本或作文本每本的价格为z元，
由题意得
解得
答：笔记本每本的价格是4元，水笔每支1.5元，练习本每本0.5元.
【点睛】本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找准等量关系建立方程是关键．
18．在学习绝对值后，我们知道，||表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|=|5－0|，即|5－0|也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如|x－3|的几何意义是数轴上表示数x的点与有理数3的点之间的距离，一般地，点A、B在数轴上分别表示数、，那么A、B之间的距离可表示为．
请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示数a的点与表示－2的点之间的距离表示为 ；
（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是 ；
（3）在数轴上的位置如下图所示，若=12，=7，=9，则等于 ；
【答案】（1）1；|a+2|；（2）5或-1；（3）4；
【分析】（1）根据两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）设点Q表示的点为x，根据两点间的距离公式得到关于x的方程，解方程即可；
（3）根据题意，得到一个四元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：（1）根据题意，得：|3-2|=1，|a-（-2）|=|a+2|，
故答案为：1，|a+2|；
（2）设点Q表示的点为x，根据题意，得：|x-2|=3，
∴x-2=3，或x-2=-3，
解得：x=5或x=-1，
故答案为：5或-1；
（3）∵d＞a，d＞b，c＞a
∴= d-a，= d-b ，= c-a
可知：，
①-③，得：d-c=3④，
④-②，得：b-c=-4，
∴|b-c|=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键．
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