2021-2022学年浙教版数学七下第三章整式的乘除 单元检测卷
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．5a-2a=3 B．a3·a4=a12
C．（-a2b3）2=a4b6 D．（-a2）3=a6
2．（2021八上·旅顺口期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021八上·武威月考）如果长方形一边长为a＋2，邻边长为2a2＋a＋1，则长方形的面积（ ）
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．（2a＋4）（2a2＋a＋1） D．2a3＋2
4．（2021七上·肇源期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
5．如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．a2+2ab+b2=（a+b）2
C．a2-2ab+b2=（a-b）2 D．（a+b）2-（a-b）2=4ab
6．（2021八上·临沭月考）如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b)（a﹣b）
7．（2021八上·燕山期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（ ）
A．a2＋2a＋1 B．a2－2a＋1 C．a2＋1 D．4a＋4
8．（2021八上·红桥期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2021八上·嵩明期末）2021年9月15日消息，钟南山等团队首次精确描绘德尔塔病毒传播链，该研究揭示了德尔塔变异毒株具有潜伏期短、传播速度快、病毒载量高、核酸转阴时间长、更易发展为危重症等特点．德尔塔病毒的直径约为0.00000008m，数字0.00000008用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·吴忠模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020八上·沂源期末）如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，则k= ．
12．（2021七上·浦东期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式
13．计算：
（b+12）（ ）=b2-144.
( )（-x+0.5y）=x2-y2.
14．（2021八上·金山期中）写出 的一个有理化因式是 ．
15．（2021七下·崂山期末）若 = ，b=
16．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
三、解答题
17．（2021八上·陵城月考）已知m2＋＝4，求m＋和m－的值．
18．若无理数A的整数部分是a，则它的小数部分可表示为A-a．例如：π的整数部分是3，因此其小数部分可表示为π-3．若x表示 的整数部分，y表示它的小数部分，求代数式( +x)y的值．
19．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
20．阅读理解：
已知a+b=-4，ab=3，求a2+b2的值。
解：∵a+b=-4，
（a+b）2=（-4）2，
即a2+2ab+b2=16.
∵ab=3，
∴a2+b2=10
参考上述过程解答问题.
（1）已知a-b=-3，ab=-2，求（a-b）（a2+b2）的值；
（2）若m-n-p=-10，（m-p）n=-12，求（m-p）2+n2的值.
21．一个宽为a、长为4b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）。
（1）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a-b）2，
ab之间的数量关系： 。
（2）根据（1）中的结论，如果x+y=5，xy=，求代数式（x-y）2的值。
（3）如果（2019-m）2+（m-2020）2=7。
求（2019-m）（m-2020）的值。
22．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较以上两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子.
①1002×998
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1.
23．（2021七上·肇源期末）
（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是 ；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是 ；
（3）利用你得到的公式计算：．
24．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 （用式子表示），即乘法公式中的 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、5a-2a=3a，A不符合题意；
B、a3·a4=a7，B不符合题意；
C、（-a2b3）2=a4b6，C符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A选项直接合并同类项即可；B选项利用同底数幂乘法运算法则计算；C选项根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算；D选项根据幂的乘方运算法则计算.
2．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘单项式的计算法则求解即可。
3．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：长方形的面积=（a＋2）（2a2＋a＋1）=2a3＋5a2＋3a＋2，
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积公式先列式，再利用多项式乘以多项式法则进行展开即可.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特征逐项判断即可得到答案。
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图1可知，阴影部分面积为
由图2可知，阴影部分面积为
∴得到的等式为
【分析】利用阴影部分面积=大面积-小面积，可以得出图1的阴影部分面积，从而得出结果。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】图中的面积可表示为还可以表示为
所以有
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式和面积公式求解即可。
7．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．
故答案为：A．
【分析】根据 一个正方形的边长为a＋1， 再结合正方形的面积公式计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式逐项判断即可。
9．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000008=8×10-8．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
10．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. ，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则可判断A；根据单项式与单项式的除法法则可判断B；根据积的乘方、幂的乘方法则可判断C；根据单项式与单项式的乘方法则可判断D.
11．【答案】1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，
∵ ， ，
∴另一个因式是(2x+1)，
即6x2-kx-2=(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2，
则k的值为1，
故答案为：1．
【分析】用原二次三项式的二次项除以因式的一次项可得另一个因式的一次项，常数项除以因式的常数项可得另一个因式的常数项，即可得出结论。
12．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】利用负指数幂可得：，再利用分式的乘除法计算即可。
13．【答案】b-12；-x-0.5y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：；
【分析】利用平方差公式，可以得出答案。
14．【答案】 （不唯一）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 的一个有理化因式为 ．
故答案为 （不唯一）．
【分析】求出 的一个有理化因式为 即可作答。
15．【答案】-1；-12
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 = 易得，
【分析】利用多项式乘多项式展开，再利用待定系数法求出a、b的值即可。
16．【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
17．【答案】解：
两边都加上2，得
两边都减2得：
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用配方法将代数式m2＋＝4化简为，再求出即可。
18．【答案】解：6< <7，
∴ 的整数部分为6，即x=6，
则 的小数部分y= -6，
∴( +x)y=( +6)( -6)=( )2-62=
47- 36= 11
【知识点】平方根；无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据二次根式的性质确定 的范围，则可求出整数部分的a值和小数部分的b值，然后代值，根据平方差公式计算，即得结果.
19．【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
20．【答案】（1）解：∵（a-b）2=（-3）2，a2-2ab+b2=9
又ab=-2
a2+b2=9-4=5
∴（a-b）（a2+b2）
=（-3）×5
=-15
（2）解：∵（m-n-p）2=（-10）2=100，即【（m-p）-n】=100
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）
=100+2×（-12）
=76
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，进行化简，得到 a2+b2=5，然后得出结果。
（2）把m-p看做整体，利用完全平方公式，进行化简，得到结果。
21．【答案】（1）（a+b）2=（a-b）2+4ab
（2）解：由（a+b）2=（a-b）2+4ab，得（x-y）2=（x+y）2-4xy
=25-9
=16
（3）解：∵a2+b2=（a+b）2-2ab，
∴（2019-m）2+（m-2020）2
[（2019-m）+（m-2020）]2-2（2019-m）（m-2020）
=（-1）2-2（2019-m）（m-2020）
又∵（2019-m）2+（m-2020）2=7
∴7=1-2（2019-m）（m-2020）
（2019-m）（m-2020）=-3.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（a-b），大正方形的面积可以表示为（a+b）2或（a-b）2+4ab，因此有（a+b）2=（a-b）2+4ab
故答案为（a+b）2=（a-b）2+4ab
【分析】（1）由大面积=小面积之和，可以得出结果。
（2）利用（1）的等式（a+b）2=（a-b）2+4ab，可以得出结果。
（3）容易观察出隐含条件 （2019-m）+（m-2020）=-1，再利用完全平方公式，得出结果。
22．【答案】（1）a2-b2
（2）（a-b）；（a+b）；（a-b）（a+b）
（3）（a+b）（a-b）=a2-b2
（4）解：①1002×998=（1000+2）（1000-2）=10002-22=1000000-4=999996.
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（24-1）（24+1）…（232+1）+1，
=264-1+1，
=264
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）由题意得，阴影部分面积为 a2-b2
故答案为： a2-b2
（2）由题意可得，拼成长方形的宽是（a-b），长是（a+b），面积是（a+b）（a-b）.
故答案为：（a-b），（a+b），（a-b）（a+b）。
（3）由（1）（2）可知，可以得到乘法公式 （a+b）（a-b）=a2-b2
故答案为： （a+b）（a-b）=a2-b2
【分析】（1）利用阴影部分面积=大面积-小面积，得出结果。
（2）利用图形拼接，得出结果。
（3）直接由（1）（2）便可得出结果。
（4） ① 先得出1002与998的平均数1000，再把原式转化为 （1000+2）（1000-2） ，再利用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，得出结果。
② 要想利用平方差公式，发现缺少2-1，因此在原式最左端，乘以（2-1），便可以多次利用平方差公式进行计算，从而得出结果。
23．【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）（a+b）（a-b）=a2-b2
（3）解：20212-2022×2020
=20212-（2021+1）（2021-1）
=20212-20212+1
=1．
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影部分的面积；再利用矩形的面积表示出矩形的面积；
（2）根据阴影部分的面积即可得到等式（a+b）（a-b）=a2-b2 ；
（3）根据平方差公式可将代数式20212-2022×2020变形为20212-（2021+1）（2021-1），再计算即可。
24．【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差
（2）解：①10.3×9.7
＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于，
∴这个等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，即乘法公式中的平方差公式．
【分析】（1）分别根据面积公式进行计算，根据图甲的面积=图乙的面积列式即可；
（2）利用平方差公式计算即可。
1 / 12021-2022学年浙教版数学七下第三章整式的乘除 单元检测卷
一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．5a-2a=3 B．a3·a4=a12
C．（-a2b3）2=a4b6 D．（-a2）3=a6
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、5a-2a=3a，A不符合题意；
B、a3·a4=a7，B不符合题意；
C、（-a2b3）2=a4b6，C符合题意；
D、（-a2）3=-a6，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】A选项直接合并同类项即可；B选项利用同底数幂乘法运算法则计算；C选项根据积的乘方和幂的乘方运算法则计算；D选项根据幂的乘方运算法则计算.
2．（2021八上·旅顺口期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B．
【分析】利用单项式乘单项式的计算法则求解即可。
3．（2021八上·武威月考）如果长方形一边长为a＋2，邻边长为2a2＋a＋1，则长方形的面积（ ）
A．2a3＋5a2＋3a＋2 B．4a3＋6a2＋6a＋4
C．（2a＋4）（2a2＋a＋1） D．2a3＋2
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：长方形的面积=（a＋2）（2a2＋a＋1）=2a3＋5a2＋3a＋2，
故答案为：A.
【分析】根据长方形的面积公式先列式，再利用多项式乘以多项式法则进行展开即可.
4．（2021七上·肇源期末）下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（﹣a﹣b） B．（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）（a﹣d） D．（a+b）（2a﹣b）
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣（a+b）（a+b）两项都相同，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）存在相同的项与互为相反数的项，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
C、（a+b）（a﹣d）中存在相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
D、（a+b）（2a﹣b）中存在相反项，没有相同项，不能用平方差公式计算．故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平方差公式的特征逐项判断即可得到答案。
5．如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2，根据两个图形中阴影部分的面积关系得到的等式是（ ）
A．a2-b2=（a+b）（a-b） B．a2+2ab+b2=（a+b）2
C．a2-2ab+b2=（a-b）2 D．（a+b）2-（a-b）2=4ab
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图1可知，阴影部分面积为
由图2可知，阴影部分面积为
∴得到的等式为
【分析】利用阴影部分面积=大面积-小面积，可以得出图1的阴影部分面积，从而得出结果。
6．（2021八上·临沭月考）如图的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
A．a2﹣b2=a（a﹣b）+b（a﹣b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2﹣b2=（a+b)（a﹣b）
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】图中的面积可表示为还可以表示为
所以有
故答案为：C.
【分析】利用完全平方公式和面积公式求解即可。
7．（2021八上·燕山期末）已知一个正方形的边长为a＋1，则该正方形的面积为（ ）
A．a2＋2a＋1 B．a2－2a＋1 C．a2＋1 D．4a＋4
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：该正方形的面积为（a+1）2=a2+2a+1．
故答案为：A．
【分析】根据 一个正方形的边长为a＋1， 再结合正方形的面积公式计算求解即可。
8．（2021八上·红桥期末）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：A.，故不符合题意；
B.，故不符合题意；
C.，故不符合题意；
D.，符合题意；
故答案为：D
【分析】利用完全平方公式逐项判断即可。
9．（2021八上·嵩明期末）2021年9月15日消息，钟南山等团队首次精确描绘德尔塔病毒传播链，该研究揭示了德尔塔变异毒株具有潜伏期短、传播速度快、病毒载量高、核酸转阴时间长、更易发展为危重症等特点．德尔塔病毒的直径约为0.00000008m，数字0.00000008用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000008=8×10-8．
故答案为：A．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
10．（2021·吴忠模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，原选项错误，不符合题意；
B. ，原选项错误，不符合题意；
C. ，原选项正确，符合题意；
D. ，原选项错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则可判断A；根据单项式与单项式的除法法则可判断B；根据积的乘方、幂的乘方法则可判断C；根据单项式与单项式的乘方法则可判断D.
二、填空题
11．（2020八上·沂源期末）如果多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，则k= ．
【答案】1
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：∵多项式6x2-kx-2因式分解后有一个因式为3x-2，
∵ ， ，
∴另一个因式是(2x+1)，
即6x2-kx-2=(3x-2)(2x+1)=6x2-x-2，
则k的值为1，
故答案为：1．
【分析】用原二次三项式的二次项除以因式的一次项可得另一个因式的一次项，常数项除以因式的常数项可得另一个因式的常数项，即可得出结论。
12．（2021七上·浦东期末）将代数式化为只含有正整数指数幂的形式
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】利用负指数幂可得：，再利用分式的乘除法计算即可。
13．计算：
（b+12）（ ）=b2-144.
( )（-x+0.5y）=x2-y2.
【答案】b-12；-x-0.5y
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：
故答案为：；
【分析】利用平方差公式，可以得出答案。
14．（2021八上·金山期中）写出 的一个有理化因式是 ．
【答案】 （不唯一）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： 的一个有理化因式为 ．
故答案为 （不唯一）．
【分析】求出 的一个有理化因式为 即可作答。
15．（2021七下·崂山期末）若 = ，b=
【答案】-1；-12
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】 = 易得，
【分析】利用多项式乘多项式展开，再利用待定系数法求出a、b的值即可。
16．（2021七下·萧山期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为 ；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 .若 ，则 ＋ ＝ ；当 ＋ ＝40时，则图3中阴影部分的面积 .
【答案】34；20
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】① ，
＋ ＝
＋ ＝
②
＋ ＝ =40
，
故答案为：34；20.
【分析】 观察三个图形，分别表示出阴影部分的面积S1，S2，S3，再求出S1+S2，利用配方法将其转化为用含a+b和ab的代数式表示，然后整体代入求值；将S3转化为然后整体代入求值即可.
三、解答题
17．（2021八上·陵城月考）已知m2＋＝4，求m＋和m－的值．
【答案】解：
两边都加上2，得
两边都减2得：
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用配方法将代数式m2＋＝4化简为，再求出即可。
18．若无理数A的整数部分是a，则它的小数部分可表示为A-a．例如：π的整数部分是3，因此其小数部分可表示为π-3．若x表示 的整数部分，y表示它的小数部分，求代数式( +x)y的值．
【答案】解：6< <7，
∴ 的整数部分为6，即x=6，
则 的小数部分y= -6，
∴( +x)y=( +6)( -6)=( )2-62=
47- 36= 11
【知识点】平方根；无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【分析】先根据二次根式的性质确定 的范围，则可求出整数部分的a值和小数部分的b值，然后代值，根据平方差公式计算，即得结果.
19．（2021·射阳模拟）已知 ， ， ，求代数式 的值.
【答案】解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则原式
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】由已知条件可得a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，将待求式变形为(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2，据此计算.
20．阅读理解：
已知a+b=-4，ab=3，求a2+b2的值。
解：∵a+b=-4，
（a+b）2=（-4）2，
即a2+2ab+b2=16.
∵ab=3，
∴a2+b2=10
参考上述过程解答问题.
（1）已知a-b=-3，ab=-2，求（a-b）（a2+b2）的值；
（2）若m-n-p=-10，（m-p）n=-12，求（m-p）2+n2的值.
【答案】（1）解：∵（a-b）2=（-3）2，a2-2ab+b2=9
又ab=-2
a2+b2=9-4=5
∴（a-b）（a2+b2）
=（-3）×5
=-15
（2）解：∵（m-n-p）2=（-10）2=100，即【（m-p）-n】=100
∴（m-p）2-2n（m-p）+n2=100，
∴（m-p）2+n2=100+2n（m-p）
=100+2×（-12）
=76
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式，进行化简，得到 a2+b2=5，然后得出结果。
（2）把m-p看做整体，利用完全平方公式，进行化简，得到结果。
21．一个宽为a、长为4b的长方形如图1所示，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）。
（1）观察图2，请你用等式表示（a+b）2，（a-b）2，
ab之间的数量关系： 。
（2）根据（1）中的结论，如果x+y=5，xy=，求代数式（x-y）2的值。
（3）如果（2019-m）2+（m-2020）2=7。
求（2019-m）（m-2020）的值。
【答案】（1）（a+b）2=（a-b）2+4ab
（2）解：由（a+b）2=（a-b）2+4ab，得（x-y）2=（x+y）2-4xy
=25-9
=16
（3）解：∵a2+b2=（a+b）2-2ab，
∴（2019-m）2+（m-2020）2
[（2019-m）+（m-2020）]2-2（2019-m）（m-2020）
=（-1）2-2（2019-m）（m-2020）
又∵（2019-m）2+（m-2020）2=7
∴7=1-2（2019-m）（m-2020）
（2019-m）（m-2020）=-3.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为（a+b），小正方形的边长为（a-b），大正方形的面积可以表示为（a+b）2或（a-b）2+4ab，因此有（a+b）2=（a-b）2+4ab
故答案为（a+b）2=（a-b）2+4ab
【分析】（1）由大面积=小面积之和，可以得出结果。
（2）利用（1）的等式（a+b）2=（a-b）2+4ab，可以得出结果。
（3）容易观察出隐含条件 （2019-m）+（m-2020）=-1，再利用完全平方公式，得出结果。
22．乘法公式的探究及应用.
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 （写成多项式乘法的形式）；
（3）比较以上两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用式子表达）；
（4）运用你所得到的公式，计算下列式子.
①1002×998
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1.
【答案】（1）a2-b2
（2）（a-b）；（a+b）；（a-b）（a+b）
（3）（a+b）（a-b）=a2-b2
（4）解：①1002×998=（1000+2）（1000-2）=10002-22=1000000-4=999996.
②（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1，
=（24-1）（24+1）…（232+1）+1，
=264-1+1，
=264
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】（1）由题意得，阴影部分面积为 a2-b2
故答案为： a2-b2
（2）由题意可得，拼成长方形的宽是（a-b），长是（a+b），面积是（a+b）（a-b）.
故答案为：（a-b），（a+b），（a-b）（a+b）。
（3）由（1）（2）可知，可以得到乘法公式 （a+b）（a-b）=a2-b2
故答案为： （a+b）（a-b）=a2-b2
【分析】（1）利用阴影部分面积=大面积-小面积，得出结果。
（2）利用图形拼接，得出结果。
（3）直接由（1）（2）便可得出结果。
（4） ① 先得出1002与998的平均数1000，再把原式转化为 （1000+2）（1000-2） ，再利用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，得出结果。
② 要想利用平方差公式，发现缺少2-1，因此在原式最左端，乘以（2-1），便可以多次利用平方差公式进行计算，从而得出结果。
23．（2021七上·肇源期末）
（1）如图1所示，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，则阴影部分的面积是 ；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2所示的一个长方形，则它的面积是 ；
（2）由（1）可以得到一个乘法公式是 ；
（3）利用你得到的公式计算：．
【答案】（1）a2-b2；（a+b）（a-b）
（2）（a+b）（a-b）=a2-b2
（3）解：20212-2022×2020
=20212-（2021+1）（2021-1）
=20212-20212+1
=1．
【知识点】代数式求值；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①阴影部分的面积为：a2-b2，图②长方形的长为a+b，宽为a-b，所以面积为：（a+b）（a-b），
故答案为：a2-b2，（a+b）（a-b）；
（2）由（1）可得：（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
【分析】（1）根据大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影部分的面积；再利用矩形的面积表示出矩形的面积；
（2）根据阴影部分的面积即可得到等式（a+b）（a-b）=a2-b2 ；
（3）根据平方差公式可将代数式20212-2022×2020变形为20212-（2021+1）（2021-1），再计算即可。
24．（2021八上·科尔沁左翼中旗期末）探究下面的问题：
（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是 （用式子表示），即乘法公式中的 公式．
（2）运用你所得到的公式计算：
①10.3×9.7；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
【答案】（1）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；平方差
（2）解：①10.3×9.7
＝（10+0.3）（10﹣0.3）
＝102﹣0.32
＝100﹣0.09
＝99.91；
②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．
原式＝（x﹣3z）2﹣（2y）2
＝x2﹣6xz+9z2﹣4y2．
【知识点】平方差公式及应用；平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：图甲阴影部分面积等于 ，图乙阴影部分面积等于，
∴这个等式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ，即乘法公式中的平方差公式．
【分析】（1）分别根据面积公式进行计算，根据图甲的面积=图乙的面积列式即可；
（2）利用平方差公式计算即可。
1 / 1
