第1章平行线练习题2020－2021学年浙江省各地浙教版数学七年级下册期末试题选编（Word版含解析）

浙教版数学七年级下册第1章：平行线练习题
一、单选题
1．（2021·浙江·七年级期末）下列说法正确的个数有（　　）
①同位角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若a∥b，b∥c，则a∥c．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·浙江·七年级期末）下列结论错误的是（ ）
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．两直线平行，同旁内角互补
C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D．同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
3．（2021·浙江·七年级期末）同一平面内，两条直线的位置关系有（）
A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行
4．（2021·浙江·七年级期末）如图,∠1的内错角是(　　)
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
5．（2021·浙江温州·七年级期末）如图，直线b、c被直线a所截，则与是（ ）
A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
6．（2021·浙江·七年级期末）如图，同位角是（　　）
A．∠1和∠2 B．∠3和∠4
C．∠2和∠4 D．∠1和∠4
7．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）如图，直线a，b被直线c所截，∠1的同旁内角是（ ）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
8．（2021·浙江·七年级期末）下列图形中，∠1和∠2不是内错角的是(　 )
A． B． C． D．
9．（2021·浙江·七年级期末）如图，射线AB，AC被射线DE所截，图中的∠1与∠2是（ ）
A．内错角 B．对顶角 C．同位角 D．同旁内角
10．（2021·浙江越城·七年级期末）如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·浙江·七年级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2021·浙江吴兴·七年级期末）如图，直线被直线所截下列条件能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2021·浙江·七年级期末）如图，下列能判定的条件有（ ）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2021·浙江·七年级期末）如图，在下列四组条件中，能判断的是（ ）
A． B． C． D．
15．（2021·浙江·杭州外国语学校七年级期末）如图，下列条件中，①；②；③；④，能判断直线 的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16．（2021·浙江杭州·七年级期末）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）
A．30° B．25°
C．20° D．15°
17．（2021·浙江·七年级期末）下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是
A． B．C． D．
18．（2021·浙江·七年级期末）如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　）
A．50°、130° B．都是10°
C．50°、130°或10°、10° D．以上都不对
19．（2021·浙江·七年级期末）如图，直线AB∥CD，AE⊥CE，∠1＝125°，则∠C等于（　　）
A．35° B．45° C．50° D．55°
20．（2021·浙江·七年级期末）如图，，，，如图所示，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·浙江·七年级期末）如图，能判定的条件是（　　　）
A． B． C． D．
22．（2021·浙江·七年级期末）下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是(　　)
A． B． C． D．
23．（2021·浙江杭州·七年级期末）将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·浙江镇海·七年级期末）下列选项中能由下图平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
25．（2021·浙江杭州·七年级期末）下列各组图形可以通过平移互相得到的是（　　）
A． B．
C． D．
26．（2021·浙江·七年级期末）如图，将沿水平方向向右平移到的位置，已知点A和D之间的距离为1，，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
27．（2021·浙江·七年级期末）如图是利用直尺和三角板过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法，其理由是__________．
28．（2021·浙江越城·七年级期末）如图，已知CD⊥DA，DA⊥AB，∠1=∠4．试说明DF∥AE．请你完成下列填空，把证明过程补充完整．
证明：∵_________（___________）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90°（_________）．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴_____（_____），
∴DF∥AE（______）．
29．（2021·浙江北仑·七年级期末）如图，直线被所截，下列条件：①；②；③，其中能判断的一个条件是_________．
30．（2021·浙江杭州·七年级期末）在同一平面内，垂直于同一直线的两直线的位置关系是_________．
31．（2021·浙江·七年级期末）如图，直角三角形的顶点A在直线m上，分别度量：①；②；③；④，可判断直线m与直线n是否平行的是__________．
32．（2021·浙江镇海·七年级期末）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是________
33．（2021·浙江·七年级期末）如图，三角板直角顶点落在长方形纸片的一边上，∠1＝35°，则∠2＝_____°．
34．（2021·浙江·七年级期末）如图，将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝55°，那么∠2＝_____°．
35．（2021·浙江·七年级期末）如图，a//b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=35°，那么∠2=______．
36．（2021·浙江·七年级期末）如图，，点M为CD上一点，MF平分∠CME．若∠1＝57°，则∠EMD的大小为_____度．
37．（2021·浙江·七年级期末）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为_____．
38．（2021·浙江·七年级期末）在同一平面内，与的两边分别平行，若，则的度数为__________．
39．（2021·浙江·七年级期末）已知∠A与∠B的两边分别平行，其中∠A为x°，∠B的为(210﹣2x)°，则∠A=____度．
40．（2021·浙江·七年级期末）如图所示是一座楼房的楼梯，高1 m，水平距离是2.8 m．如果要在台阶上铺一种地毯，那么至少要买这种地毯________
41．（2021·浙江温州·七年级期末）在边长为8cm的正方形底座中，放置两张大小相同的正方形纸板，边在上，点，分别在，上，若区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm，则正方形纸板的边长为______cm．
42．（2021·浙江慈溪·七年级期末）如图，在三角形中，，把三角形沿射线方向平移3个单位至三角形处，与交于点．若，则图中阴影部分的面积为______．
43．（2021·浙江·七年级期末）如图，将沿方向平移4个单位长度，得到．若，，则四边形的面积为______．
44．（2021·浙江温州·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝6，现将它先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到长方形A′B′C′D′，连结CC′，则图中阴影部分的面积是 _____．
45．（2021·浙江滨江·七年级期末）一块长为25cm，宽为15cm的长方形木板中间有一条裂缝（如图甲）．若把裂缝右边的一块向右平移2cm（如图乙），则产生的裂缝的面积是__________．
三、解答题
46．（2021·浙江·七年级期末）如图，，平分，设为，点E是射线上的一个动点．
（1）若时，且，求的度数；
（2）若点E运动到上方，且满足，，求的值；
（3）若，求的度数（用含n和的代数式表示）．
47．（2021·浙江·七年级期末）（1）如图1，已知直线，且和，分别交于，两点，点在上，则，，之间的等量关系是______；如图2，点在处北偏东方向，在处的北偏西方向，则_____．
（2）如图3，和的平分线交于，交于点，，试在说明：；并探究与的数量关系．
48．（2021·浙江·七年级期末）如图，已知，．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分，，求的度数．
49．（2021·浙江越城·七年级期末）如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2．
50．（2021·浙江·七年级期末）【感知】如图①，，求的度数．小明想到了以下方法：
解：如图①，过点作，
（两直线平行，内错角相等）
（已知），
（平行于同一条直线的两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
（已知），
（等式的性质）．
（等式的性质）．
即（等量代换）．
【探究】如图②，，，求的度数．
【应用】如图③所示，在【探究】的条件下，的平分线和的平分线交于点，则的度数是_______________．
51．（2021·浙江·七年级期末）将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图①），其中，，.
（1）若，求的度数；
（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；
（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由.
52．（2021·浙江·七年级期末）如图，已知是直线间的一点，于点交于点．
（1）求的度数；
（2）如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动：射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动，若射线，射线同时开始运动，设运动间为t秒．
①当时，求的度数；
②当时，求t的值．
53．（2021·浙江·七年级期末）小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．
（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．
（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠FAD=50°，∠ABC=40°，求∠BED的度数．
（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠FAD=m°，∠ABC=n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数(用含m，n的式子表示)．
54．（2021·浙江·七年级期末）在网格上，平移△ABC，并将△ABC的一个顶点A平移到点D处，
（1）请你作出平移后的图形△DEF；
（2）请求出△DEF的面积（每个网格是边长为1的正方形）．
55．（2021·浙江·七年级期末）已知：如图，，平分，平分，．
（1）请问和是否平行？请你说明理由；
（2）和的位置关系怎样？请说明判断的理由．
56．（2021·浙江·七年级期末）如图1．直线AD∥EF，点B，C分别在EF和AD上，∠A=∠ABC，BD平分∠CBF．
（1）求证：AB⊥BD；
（2）如图2，BG⊥AD于点G，求证：∠ACB=2∠ABG；
（3）在（2）的条件下，如图3，CH平分∠ACB交BG于点H，设∠ABG=α，请直接写出∠BHC的度数．（用含α的式子表示）
57．（2021·浙江嘉兴·七年级期末）如图，已知∠DEB＝100°，∠BAC＝80°．
（1）判断DF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADF＝∠C，∠DAC＝120°，求∠B的度数．
58．（2021·浙江西湖·七年级期末）已知点C在射线OA上．
（1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；
（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）
（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．
59．（2021·浙江·七年级期末）已知 M，N 分别为直线 AB，直线 CD 上的点，且 AB∥CD，E 在 AB， CD 之间．
①如图 1，求证：∠BME+∠DNE＝∠MEN；
②如图 2，P 是 CD 上一点，连 PM，作 MQ∥EN，若∠QMP＝∠BME， 试探究∠E 与∠AMP 的数量关系，并说明理由
③在（2）的条件下，作 NG⊥CD 交 PM 于 G，若 MP 平分∠QME，NF 平分∠ENG， 若∠MGN＝ °，∠MFN＝ °，直接写出 m 与 n 的数量关系 ．
60．（2021·浙江·七年级期末）如图，在中，点在边上，，分别交、于点、，平分，交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
61．（2021·浙江·淳安县教育发展研究中心七年级期末）如图①，将一张长方形纸片沿对折，使落在的位置；
（1）若的度数为，试求的度数（用含的代数式表示）；
（2）如图②，再将纸片沿对折，使得落在的位置．
①若，的度数为，试求的度数（用含的代数式表示）；
②若，的度数比的度数大，试计算的度数．
62．（2021·浙江慈溪·七年级期末）如图，已知，，试猜想与之间有怎样的位置关系？并说明理由．
63．（2021·浙江·七年级期末）如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作DE//AB，连接AE，∠B=∠E=70°.
（1）请说明AE//BC的理由.
（2）将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ.
①如图2，当DE⊥DQ时，求∠Q的度数；
②在整个运动中，当∠Q=2∠EDQ时，则∠Q= .

64．（2021·浙江杭州·七年级期末）如图，已知∠A=∠C，AD⊥BE于点F，BC⊥BE，点E，D，C在同一条直线上.
(1)判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
(2)若∠ABC=120°，求∠BEC的度数.
65．（2021·浙江鄞州·七年级期末）如图，已知平分交于点E，．
（1）证明：
（2）若于点D，，求的度数．
66．（2021·浙江吴兴·七年级期末）如图，已知点，在直线上，，，．
（1）求的度数；
（2）若平分，交于点，且，求的度数．
67．（2021·浙江吴兴·七年级期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中．
（1）把△ABC进行平移，得到△A′B′C′，使点A与A′对应，请在网格中画出△A′B′C′；
（2）线段AA′与线段CC′的位置关系是：　 　；（填“平行”或“相交”）
（3）求出△ABC的面积．
68．（2021·浙江上城·七年级期末）光线反射是一种常见的物理现象，在生活中有广泛地应用．例如提词器可以帮助演讲者在看演讲词的同时也能面对摄像机，自行车尾部的反光镜等就是应用了光的反射原理．
（1）提词器的原理如图①，AB表示平面镜，CP表示入射光线，PD表示反射光线，∠CPD＝90°，求∠APC的度数；
（2）自行车尾部的反光镜在车灯照射下，能把光线按原来的方向返回（如图②），a表示入射光线，b表示反射光线，a∥b．平面镜AB与BC的夹角∠ABC＝，求．
（3）如图③，若＝108°，设平面镜CD与BC的夹角∠BCD＝（90°＜＜180°），入射光线a与平面镜AB的夹角为x（0°＜x＜90°），已知入射光线a从平面镜AB开始反射，经过2或3次反射，当反射光线b与入射光线a平行时，请直接写出的度数．（可用含x的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
根据平行线的性质，垂线的性质和平行公理对各个说法分析判断后即可求解．
【详解】
解：①如图，直线AB、CD被直线GH所截，∠AGH与∠CHF是同位角，但它们不相等，故说法错误；
②同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法错误；
③应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④平行于同一直线的两条直线平行，是平行公理的推论，故说法正确．
综上所述，正确的说法是④共1个．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，垂线的性质和平行公理，是基础知识，熟练掌握各定理或推论成立的条件是解决此题的关键．
2．A
【分析】
初略读题，感觉所有选项都是正确的.此刻，我们需要紧扣概念，发现A中缺少前提条件：在同一平面内
【详解】
A中，两直线垂直同一条直线，则这两条直线平行，需要前提条件：在同一平面内，A错误；
B、C、D都是相交线与平行线中的基本性质和推论，正确
故选：A
【点睛】
我们初中阶段研究的几何问题，都是平面图形，在概念性的问题考查中，我们需要注意，是否需要添加前提条件：在同一平面内
3．B
【分析】
根据同一平面内的直线有相交于平行两种位置关系即可解答．
【详解】
解：同一平面内的两直线只有相交于平行两种位置关系．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线的位置关系，垂直是相交的特殊情况，这也是同学们容易出错的地方．
4．D
【详解】
试题分析：根据内错角位于截线异侧，位于两条被截线之间可知∠1的内错角是∠5．
故选D．
点睛：本题考查了内错角的辨识，熟记内错角的概念是解决此题的关键．
5．B
【分析】
根据对顶角、同位角、内错角、同旁内角的特征去判断即可．
【详解】
∠1与∠2是同位角
故选：B
【点睛】
本题考查了同位角的含义，理解同位角的含义并正确判断同位角是关键．
6．D
【详解】
试题解析：根据同位角的定义可知：图中∠1和∠4是同位角，
故选D．
点睛：同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
7．A
【分析】
根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行求解．
【详解】
解： 直线a，b被直线c所截，∠1的同旁内角是∠2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了同旁内角的定义，能熟记同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合．
8．C
【分析】
根据内错角的定义，即在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角解答．
【详解】
解：根据内错角的定义，C中的∠1和∠2不是内错角，
故选C．
【点睛】
本题考查“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
9．A
【分析】
根据三线八角的概念，以及内错角的定义即可做出判断．
【详解】
如图，∠1与∠2都夹在两被截直线AC、AB之间，在第三条直线DE的两侧，满足内错角的定义，
故∠1与∠2是内错角，
故选：A．
【点睛】
本题考查同位角、内错角、同旁内角，理解它们的定义是解答的关键．
10．D
【分析】
由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
【详解】
A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键．
11．B
【分析】
根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A、∵∠3=∠4，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，此选项符合题意；
C、∵，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
D、∵，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．
12．D
【分析】
直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案．
【详解】
A、当∠1=∠3时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
B、当∠2+∠4=180°时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
C、当∠4=∠5时，c∥d，不能判定a∥b，故此选项不合题意；
D、当∠1=∠2时，a∥b，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，正确掌握判定方法是解题关键．
13．C
【分析】
根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】
解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；
当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；
当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；
当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
14．B
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC∴AB∥CD，故B选项符合题意；
∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故C选项不符合题意；
∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥CB．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．D
【分析】
要证明两直线平行，则要找到同位角、内错角相等，同旁内角互补等．
【详解】
解：∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，故③、④正确；
故选：D．
【点睛】
考查了平行线的判定，解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．
16．B
【详解】
根据题意可知∠1+∠2+45°=90°，∴∠2=90°﹣∠1﹣45°=25°，
17．B
【详解】
分析：根据平行线的性质应用排除法求解：
A、∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°．故本选项错误．
B、如图，∵AB∥CD，∴∠1=∠3．
∵∠2=∠3，∴∠1=∠2．故本选项正确．
C、∵AB∥CD，∴∠BAD=∠CDA，不能得到∠1=∠2．故本选项错误．
D、当梯形ABDC是等腰梯形时才有，∠1=∠2．故本选项错误．
故选B．
18．C
【分析】
首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】
解：∵两个角的两边分别平行，
∴这两个角相等或互补．
设其中一角为x°，
若这两个角相等，则x＝3x﹣20，
解得：x＝10，
∴这两个角的度数是10°和10°；
若这两个角互补，
则180﹣x＝3x﹣20，
解得：x＝50，
∴这两个角的度数是50°和130°．
∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用．
19．A
【分析】
过点E作EF∥AB，则EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠BAE＝∠AEF及∠C＝∠CEF，结合∠AEF+∠CEF＝90°可得出∠BAE+∠C＝90°，由邻补角互补可求出∠BAE的度数，进而可求出∠C的度数．
【详解】
解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠BAE＝∠AEF．
∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF．
∵AE⊥CE，
∴∠AEC＝90°，即∠AEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAE+∠C＝90°．
∵∠1＝125°，∠1+∠BAE＝180°，
∴∠BAE＝180°﹣125°＝55°，
∴∠C＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂线以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
20．C
【分析】
根据平行线的性质，可以得到∠1，∠2，∠3之间的关系，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵l1∥l2∥l3，
∴∠1=∠2+∠4，∠4+∠3=180°，
∴∠1-∠2+∠3=180°，
故选：C．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．D
【分析】
在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【详解】
解：A、∠C=∠ABE不能判断出EB∥AC，故A选项不符合题意；
B、∠A=∠EBD不能判断出EB∥AC，故B选项不符合题意；
C、∠C=∠ABC只能判断出AB=AC，不能判断出EB∥AC，故C选项不符合题意；
D、∠A=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行，可以得出EB∥AC，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
22．D
【详解】
解：A、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
B、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
C、能通过其中一个四边形平移得到，不符合题意；
D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，符合题意．
故选D．
23．A
【详解】
解：根据平移的性质，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．
故选A．
24．C
【分析】
根据平移的性质，图形只是位置变化，其形状与方向不发生变化进而得出即可．
【详解】
能由左图平移得到的是：选项C.
故选C.
【点睛】
考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键.
25．C
【详解】
试题解析：观察图形可知图案C通过平移后可以得到．
故选C．
点睛：图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、B、D．
26．C
【分析】
利用平移变换的性质解决问题即可．
【详解】
解：由平移的性质可知：AD=BE=CF=1，
∵EC=2，
∴BF=BE+EF+CF=1+2+1=4，
故选：C．
【点睛】
本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．
27．同位角相等，两直线平行．
【详解】
试题解析：利用三角板中两个60°相等，可判定平行
考点:平行线的判定
28．CD⊥DA，DA⊥AB；已知；垂直定义；∠2=∠3；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
先根据垂直的定义，得到，，再根据等角的余角相等，得出，最后根据内错角相等，两直线平行进行判定即可．
【详解】
证明：∵　CD⊥DA，DA⊥AB （已知）
∴∠CDA=90°，∠DAB=90° (　垂直定义　)．
∴∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°．
又∵∠1=∠4，
∴∠2=∠3 (　等角的余角相等 　)，
∴DF∥AE (　内错角相等，两直线平行 　)．
故答案为：．CD⊥DA，DA⊥AB ， 已知；垂直定义；∠2=∠3 ，等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定以及垂直的定义，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
29．①
【分析】
根据平行线的判定方法同位角相等，两直线平行进行判定．
【详解】
解：∵，∴（同位角相等，两直线平行）
而或均不能判定
故答案为：①．
【点睛】
本题考查平行线的判定，理解平行线的判定方法正确推理论证是解题关键．
30．平行．
【详解】
试题分析：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠CMB=∠ENB=90°，
∴CD∥EF．
．
故答案是平行．
考点：平行线的判定．
31．②
【分析】
两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
【详解】
解：度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
故答案为：②．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
32．15°
【分析】
如下图，过点E作EF∥BC，然后利用平行线的性质结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】
由题意可得AD∥BC，∠DAE=∠1+45°，∠AEB=90°，∠EBC=30°，过点E作EF∥BC，
则AD∥EF∥BC，
∴∠AEF=∠DAE=∠1+45°，∠FEB=∠EBC=30°，
又∵∠AEF=∠AEB-∠FEB，
∴∠AEF=90°-30°=60°，
∴∠1+45°=60°，
∴∠1=60°-45°=15°.
故答案为：15°.
33．55．
【分析】
由平角的定义求出∠3＝55°，再根据平行线的性质即可解决问题．
【详解】
解：∵∠1+∠3＝90°，∠1＝35°，
∴∠3＝55°，
∵AB//CD
∴∠2＝∠3＝55°，
故答案是：55．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．两直线平行，同位角相等的应用是解此题的关键．
34．110
【分析】
根据平行线的性质和折叠的性质，可以得到∠2的度数，本题得以解决．
【详解】
如图：
由折叠的性质可得，∠1＝∠3，
∵∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∵长方形纸片的两条长边平行，
∴∠2＝∠1+∠3，
∴∠2＝110°，
故答案为：110．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
35．55°
【分析】
先根据∠1=35°，由垂直的定义，得到∠3的度数，再由a∥b即可求出∠2的度数．
【详解】
∵AB⊥BC，∴∠3=90°﹣∠1=55°．
∵a∥b，∴∠2=∠3=55°．
故答案为55°．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键．
36．
【分析】
根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠CMF=∠1＝57°，
∵MF平分∠CME，
∴∠CME=2∠CMF＝114°，
∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，
故答案为：66.
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，理解图形中角之间的和差关系是解题的关键.
37．98°
【分析】
过三角板的顶点作平行线，利用平行线的性质和对顶角及三角形内角和即可得出答案．
【详解】
解：如图，过点E作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥a∥b，
∴∠BEF＝∠1＝53°, ∠FEO＝∠DOE，
∵∠AEB＝90°，∠A＝45°，
∴∠DOE＝∠FEO＝90°－∠BEF＝90°－53°＝37°，
∵∠COA＝∠DOE
∴∠COA＝∠DOE＝∠FEO＝37°
∵∠A＝45°
∴∠ACO＝180°－∠A－∠COA＝180°－37°－45°＝98°
∴∠2＝∠ACO＝98°（对顶角相等）
故答案为：98°
【点睛】
本题考查平行线的性质、等腰直角三角形的性质、对顶角、三角形内角和定理，解题的关键是利用两直线平行内错角相等、角的和差、对顶角相等求出∠COA的度数．
38．50或130
【分析】
由∠A与∠B的两边分别平行，可得∠A=∠B或∠A+∠B=180°，继而求得答案．
【详解】
解：∵∠A与∠B的两边分别平行，
∴∠A=∠B或∠A+∠B=180°，
∵∠A=50°，
∴∠B=50°，或∠B=180°-∠A=180°-50°=130°．
故答案为：50或130．
【点睛】
此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意由∠A与∠B的两边分别平行，可得∠A与∠B相等或互补．
39．70或30．
【分析】
分∠A=∠B与∠A+∠B=180°两种情况进行讨论即可求解．
【详解】
解：根据题意，有两种情况：
（1）当∠A=∠B，
可得：x=210﹣2x，
解得：x=70；
（2）当∠A+∠B=180°时，
可得：x+210﹣2x=180，
解得：x=30．
故答案为：70或30．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，在解答此题时要注意分类讨论．
40．3.8m
【分析】
根据楼梯高为1m，楼梯的宽的和即为2.8m的长，再把高和宽的长相加即可．
【详解】
根据平移可得至少要买这种地毯1＋2.8＝3.8（米），
故答案为3.8m．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题关键是熟记平行线的性质．
41．
【分析】
过点O作OG⊥EF于点G，作OH⊥BC于点H，可得区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长，然后设正方形纸板的边长为xcm，则DI=（8-x）cm，可得区域Ⅰ的周长为，再根据区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm，即可求解．
【详解】
如图，过点O作OG⊥EF于点G，作OH⊥BC于点H，则区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长，
设正方形纸板的边长为xcm，则DI=（8-x）cm，
∴长方形ADIG的周长为 ，
即区域Ⅰ的周长为
∵区域Ⅰ的周长比区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和还大4cm，
∴ ，
解得： ．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，利用平移的性质得到区域Ⅰ的周长等于长方形ADIG的周长，区域Ⅱ与区域Ⅲ的周长之和等于正方形纸板的周长是解题的关键．
42．15
【分析】
利用平移的性质得到，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算．
【详解】
三角形沿射线方向平移3个单位至三角形，
，
，
即，
，
故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平移的性质：把求图中阴影部分的面积转化求为梯形BFGM的面积是解决问题的关键．
43．22
【分析】
根据平移的性质得到AD，BE和CF，根据CE得到BF，BC，算出△ABC的高h，即得到梯形ABFD的高，结合上底和下底算出四边形ABFD的面积．
【详解】
解：由平移可知：
AD=BE=CF=4，AD∥BF，即四边形ABFD为梯形，
∵EC=1，
∴BF=BE+CF-CE=4+4-1=7，BC=BE-CE=4-1=3，
∵，
∴h=4，
∴S四边形ABFD===22，
故答案为：22．
【点睛】
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
44．14
【分析】
设与交于点，与交于点，根据平移的性质，分别求得，根据阴影部分四边形四边形即可求得．
【详解】
如图，设与交于点，与交于点，
先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到长方形A′B′C′D′，
，
阴影部分四边形四边形
故答案为：14．
【点睛】
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
45．30
【分析】
利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积．
【详解】
解：产生的裂缝的面积为：（25+2）×15-25×15
=（27-2）×15
=30（cm2）．
故答案为：30．
【点睛】
本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键．
46．（1）60°；（2）50°；（3）或
【分析】
（1）根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，应用三角形内角和计算的度数，由已知条件，可计算出的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据可计算出的度数，由可计算出的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再，，列出等量关系求解即可等处结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再，列出等量关系求解即可等处结论．
【详解】
解：（1），，
，
平分，
，
，
又，
；
（2）根据题意画图，如图1所示，
，，
，
，
，
，
又平分，
，
；
（3）①如图2所示，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得；
②如图3所示，
，
，
平分，
，
，
又，
，
，
解得．
综上的度数为或．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补． 两直线平行，内错角相等．合理应用平行线的性质是解决本题的关键．
47．（1）∠1+∠2=∠3，85°；（2）证明见解析，∠2+∠3=90°
【分析】
（1）在图1中，作PM∥AC，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得∠BAC的度数．
（2）根据BE、DE平分∠ABD、∠BDC，且∠1+∠2=90°，可得∠ABD+∠BDC=180°，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据∠1+∠2=90°，即∠BED=90°；那么∠3+∠FDE=90°，将等角代换，即可得出∠3与∠2的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴PM∥BD，
∴∠1=∠CPM，∠2=∠MPD，
∴∠1+∠2=∠CPM+∠MPD=∠CPD=∠3．
由题可知：∠BAC=∠B+∠C，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠BAC=40°+45°=85°．
故答案为：∠1+∠2=∠3，85°．
（2）证明：∵BE、DE平分∠ABD、∠BDC，
∴∠1=∠ABD，∠2=∠BDC，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠ABD+∠BDC=180°；
∴AB∥CD；（同旁内角互补，两直线平行）
∵DE平分∠BDC，
∴∠2=∠FDE；
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BED=∠DEF=90°；
∴∠3+∠FDE=90°；
∴∠2+∠3=90°．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键．
48．（1）DE∥BC；（2）72°
【分析】
（1）先根据已知条件得出∠EFC=∠ADC，故AD∥EF，由平行线的性质得∠DEF=∠ADE，再由∠DEF=∠B，可知∠B=∠ADE，故可得出结论．
（2）依据DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，即可得到∠ADC的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠EFC的度数．
【详解】
解：（1）DE∥BC．
理由：∵∠EFC+∠BDC=180°，∠ADC+∠BDC=180°，
∴∠EFC=∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF=∠ADE，
又∵∠DEF=∠B，
∴∠B=∠ADE，
∴DE∥BC．
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∵∠BDC=3∠B，
∴∠BDC=3∠ADE=3∠CDE，
又∵∠BDC+∠ADC=180°，
3∠ADE+2∠ADE=180°，
解得∠ADE=36°，
∴∠ADF=72°，
又∵AD∥EF，
∴∠EFC=∠ADC=72°．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键．
49．见解析
【详解】
试题分析：由同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，进而得到∠ABC=∠BCD，再由∠P=∠Q，得到PB∥CQ，从而有∠PBC=∠QCB，根据等式性质得到∠1=∠2．
试题解析：证明：∵∠ABC+∠ECB=180°，∴AB∥CD，∴∠ABC=∠BCD．∵∠P=∠Q，∴PB∥CQ，∴∠PBC=∠QCB，∴∠ABC﹣∠PBC=∠BCD﹣∠QCB，即∠1=∠2．
点睛：本题考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
50．[探究] 70°；[应用] 35
【分析】
[探究]如图②，根据AB∥CD，∠AEP=50°，∠PFC=120°，即可求∠EPF的度数．
[应用]如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数．
【详解】
解：[探究]如图②，过点P作PM∥AB，
∴∠MPE=∠AEP=50°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠PFC=∠MPF=120°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠EPF=∠MPF-MPE=120°50°=70°（等式的性质）．
答：∠EPF的度数为70°；
[应用]如图③所示，
∵EG是∠PEA的平分线，PG是∠PFC的平分线，
∴∠AEG=∠AEP=25°，∠GCF=∠PFC=60°，
过点G作GM∥AB，
∴∠MGE=∠AEG=25°（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知），
∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠GFC=∠MGF=60°（两直线平行，内错角相等）．
∴∠G=∠MGF-MGE=60°-25°=35°．
答：∠G的度数是35°．
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
51．（1）30°； （2）答案见解析；（3）答案见解析.
【分析】
（1）由∠BCD＝150°，∠ACB＝90°，可得出∠DCA的度数，进而得出∠ACE的度数；
（2）根据（1）中的结论可提出猜想，再由∠BCD＝∠ACB＋∠ACD，∠ACE＝∠DCE ∠ACD可得出结论；
（3）根据平行线的判定定理，画出图形即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
∵，
，
∴；
（3）当或时，．
如图②，根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，此时；
如图③，根据内错角相等，两直线平行，
当时，．

【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．熟练掌握定理并且能够准确识图是解题的关键．
52．（1）；（2）①或；②秒或或秒
【分析】
（1）通过延长作辅助线，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；
（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间，根据运动时间可计算出，由已知可计算出的度数；
②根据题意可知，当时，分三种情况，
Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；
Ⅱ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案；
Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．
【详解】
解：（1）延长与相交于点，
如图1，
，
，
，
；
（2）①Ⅰ如图2，
，，
，
射线运动的时间（秒，
射线旋转的角度，
又，
；
Ⅱ如图3所示，
，，
，
射线运动的时间（秒，
射线旋转的角度，
又，
；
的度数为或；
②Ⅰ当由运动如图4时，
与相交于点，
根据题意可知，经过秒，
，，
，
，
又，
，
解得（秒；
Ⅱ当运动到，再由运动到如图5时，
与相交于点，
根据题意可知，经过秒，
，
，
，，
运动的度数可得，，
解得；
Ⅲ当由运动如图6时，，
根据题意可知，经过秒，
，，
，，
，，
又，
，
，
解得（秒），
当的值为秒或或秒时，．
【点睛】
本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．
53．（1）成立，理由见解析；（2）45°；（3）∠BED的度数改变，∠BED=180°﹣n°+m°．
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得到结论；
（2）先过点E作EH∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论；
（3）过E作EG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到结论．
【详解】
解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，
∴∠1=∠BAE，∠2=∠DCE，
∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠DCE．
（2）如图2，过点E作EH∥AB，
∵AB∥CD，∠FAD=50°，
∴∠FAD=∠ADC=50°．
∵DE平分∠ADC，∠ADC=50°，
∴∠EDC=∠ADC=25°．
∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴∠ABE=∠ABC=20°．
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EH，
∴∠ABE=∠BEH=20°，∠CDE=∠DEH=25°，
∴∠BED=∠BEH+∠DEH=45°．
（3）∠BED的度数改变．
过点E作EG∥AB．
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=∠FAD=m°，
∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=m°
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EG，
∴∠BEG=180°﹣∠ABE=180°﹣n°，∠CDE=∠DEG=m°，
∴∠BED=∠BEG+∠DEG=180°﹣n°+m°．
故答案为：180°﹣n°+m°．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质，平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是正确的作出辅助线．
54．（1）作图见解析；（2）4.
【详解】
试题分析：（1）根据图形平移的性质画出△DEF即可；
（2）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可．
试题解析：（1）作图如下：
（2）由图可知，S△DEF=3×4﹣×2×4﹣×2×3﹣×2×1
=12﹣4﹣3﹣1
=4．
55．（1）平行，理由见解析；（2）垂直，理由见解析
【分析】
（1）根据平行线性质得出，根据角平分线定义求出，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线性质得出，根据，求出，根据垂直定义推出即可．
【详解】
解：（1）．
理由：，
，
平分，平分，
，，
，
（同位角相等，两直线平行）；
（2），
理由：，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，平行线的性质和判定，垂直定义等知识点，注意：①同位角相等，两直线平行，②两直线平行，同旁内角互补．
56．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BHC=90°+∠α.
【分析】
（1）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到AB⊥BD；
（2）根据BG⊥AD，AD∥EF，可得∠FBG=∠AGB=90°，进而可得∠ABG=∠DBF,根据EF∥AD，即可得到∠ACB=∠CBF=2∠DBF=2∠ABG；
（3）根据平行线的性质以及角平分线的定义可得∠ABG=∠D=∠α,再根据∠HGC=90°即可得到∠BHC=∠HGC+∠ACH=90°+∠α.
【详解】
解：（1）∵AD∥EF,
∴∠ABE=∠A=∠ABC,
又∵BD平分∠CBF,
∴∠CBD=∠FBD,
∴∠ABD=（∠CBE+∠CBF）=×180°=90°,
∴AB⊥BD;
（2）∵BG⊥AG,
∴∠FBG=∠AGB=90°,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABG=∠DBF,
∵EF∥AD,
∴∠ACB=∠CBF=2∠DBF=2∠ABG；
（3）∵ AD∥EF,
∴∠D=∠DBF,
∴∠ACB=2∠DBF=2∠D,
∴∠D=∠ACB,
∵CH平分∠ACB,
∴∠ACH=∠ACB,
∴∠ACH=∠D,
∵∠ABG=∠D=α,
∴∠ACH=α,
∵BG⊥GC,
∴∠HGC=90°,
∴∠BHC=∠HGC+∠ACH=90°+∠α.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，余角的性质，以及垂线的性质. 平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.
57．（1）DF∥AC，理由见详解；（2）40°
【分析】
（1）利用对顶角的性质可得∠AEF＝∠DEB＝100°，由∠BAC＝80°，可得∠AEF＋∠BAC＝180°，利用“同旁内角互补，两直线平行”可得DF∥AC；
（2）由∠ADF＝∠C，易得∠BFD＝∠ADF，由平行线的判定定理和性质定理易得结果．
【详解】
解：（1）DF∥AC．
理由：∵∠DEB＝100°，
∴∠AEF＝∠DEB＝100°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠AEF＋∠BAC＝180°，
∴DF∥AC；
（2）∵DF∥AC，
∴∠BFD＝∠C，
∵∠ADF＝∠C，
∴∠BFD＝∠ADF，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠DAC＝120°，∠BAC＝80°，
∴∠BAD＝∠DAC ∠BAC＝120° 80°＝40°，
∴∠B＝40°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，综合运用定理是解答此题的关键．
58．（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′
【分析】
（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数；
（2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系；
（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′．
【详解】
解：（1）∵CD∥OE，
∴∠AOE=∠OCD=120°，
∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°；
（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α．
证明：如图②，过O点作OF∥CD，
∵CD∥O′E′，
∴OF∥O′E′，
∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，
∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，
∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；
（3）∠AOB=∠BO′E′．
证明：∵∠CPO′=90°，
∴PO′⊥CP，
∵PO′⊥OB，
∴CP∥OB，
∴∠PCO+∠AOB=180°，
∴2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵CP是∠OCD的平分线，
∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，
∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，
∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，
∴∠AOB=∠BO′E′．
【点睛】
此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．
59．①见解析；②∠E=∠AMP；③
【分析】
（1）过E作EF∥AB，可得∠BME=∠MEF，利用平行于同一条直线的两直线平行得到EF与CD平行，再得到一对内错角相等，进而得出答案；
（2）根据MQ∥EN，得到∠QME+∠E=，又因为∠QMP＝∠BME，所以∠BMP+∠E=，即可得出结论.
（3）根据三角形的外角性质即可求解.
【详解】
解：（1）过E作EF∥AB
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠BME=∠MEF，∠DNE=∠FEN，
∴∠MEN=∠MEF+∠FEN=∠BME+∠DNE
（2）∵MQ∥EN
∴∠QME+∠E=
∵∠QMP＝∠BME
∴∠BMP+∠E=
∵A、M、B在同一条直线上
∴∠E=∠AMP
（3）在（2）的条件下，有∠E=∠AMP
∵∠QMP＝∠BME
∴∠AMQ=∠DNE
∵MP 平分∠QME
∴∠PMQ=∠PME=∠BME
∵NG⊥CD，NF 平分∠ENG
若∠MGN＝ °，∠MFN＝ °，∠PMQ=∠PME=∠BME=y，∠AMQ=∠DNE=x
∠FNG=∠ENF=z,可以得到：
解得：
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键.
60．（1）见解析；（2）64°
【分析】
（1）由平行线的性质和∠1+∠2=180°，可推出DG∥AB；
（2）由（1）的结论和DG平分∠ADC，可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵EF∥AD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠1+∠2=180°．
∴∠1=∠3．
∴DG∥AB；
（2）∵DG平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠1=2∠4．
由（1）知DG∥AB，
∴∠4=∠B=32°，
∴∠ADC=2∠4=64°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质及平行线的判定，熟练掌握平行线的性质和判定，是解决本题的关键．
61．（1） ；（2）① ；②
【分析】
(1)由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，∠2=∠BFE，再根据平角的定义求解即可；
(2) ①由（1）知，，根据平行线的性质得到 ，再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
②由（1）知，∠BFE = ，由可知：，再根据条件和折叠的性质得到，即可求解．
【详解】
解：（1）如图，由题意可知，
∴，
∵，
∴，
，
由折叠可知．
（2）①由题（1）可知 ，
∵，
，
再由折叠可知：
，
；
②由可知：，
由（1）知，
，
又的度数比的度数大，
，
，
，
．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”及折叠的性质是解题的关键．
62．，见解析
【分析】
利用同旁内角互补，两直线平行求得，得到，然后再根据内错角相等，两直线平行求解
【详解】
解：
理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．
63．（1）详见解析；（2）①20°；②
【分析】
（1）由DE//AB，可得∠BAE+∠E=180°，从而可证∠BAE+∠B=180°，根据从旁内角互补，两直线平行可证AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，由平行线的性质可得∠EDF=70°，由DE⊥DQ，可得∠FDQ=20°，进而可的求出∠Q=20°；②如图，作DF//AE，根据平行线的性质解答即可.
【详解】
（1）证明：∵DE//AB，
∴∠BAE+∠E=180°.
又∵∠B=∠E，
∴∠BAE+∠B=180°，
∴AB//DE；
(2)①过D点作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∵∠E=70°，
∴∠EDF=70°.
∵DE⊥DQ，
∴∠EDQ=90°，
∴∠FDQ=90°-70°=20°，
∴∠Q=∠FDQ=20°；
②如图，作DF//AE，
∵PQ//AE ，
∴DF//PQ，
∴∠Q=∠QDF，∠E=∠EDF=70°，
∴∠EDQ+∠Q=70°，
∵∠Q=2∠EDQ，
∴∠Q+∠Q=70°，
∴∠Q=（）°.
【点睛】
本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.也考查了平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线互相平行.
64．(1)AB∥CD；(2)∠E=30°.
【分析】
(1)先根据AD⊥BE，BC⊥BE ，得出AD∥BC ,故可得出∠C＝∠ADE ,再由∠A＝∠C 得出∠A＝∠ADE ,故可得出结论;
(2)由AB∥CD 得出∠C 的度数,再由直角三角形的性质可得出结论.
【详解】
(1)AB∥CD，
∵AD⊥BE，BC⊥BE，
∴AD∥BC，
∴∠C＝∠ADE.
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠ADE，
∴AB∥CD.
(2)∵AB∥CD，∠ABC＝120°，
∴∠C＝60°，
∵∠CBE＝90°，
∴∠E＝30°.
【点睛】
本题考查的是平行线的判定与性质，先根据题意得出AD∥BC是解答此题的关键.
65．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】
解：（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
（2）∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．
∴∠3＝∠1＝∠2＝∠ABD＝28°．
【点睛】
此题考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相的，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
66．（1）；（2）
【分析】
（1）根据平行线的性质即可得出答案；
（2）作，则，根据平行线的性质即可得出答案；
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴．
（2）作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握相关知识是解题的关键．
67．（1）详见解析；（2）平行；（3）3.5.
【分析】
（1）根据图形可得，点A向右平移5个单位，向上平移4个单位，分别将B、C按照点A平移的路径进行平移，然后顺次连接；
（2）根据平移可得线段AA′与线段CC′相互平行；
（3）用△ABC所在矩形的面积减去三个小三角形的面积即可得解．
【详解】
（1）所作图形如图所示：
（2）线段AA′与线段CC′相互平行；
（3）S△ABC=3×3﹣×2×3﹣×3×1﹣×2×1=3.5．
【点睛】
本题考查了平移变换的相关知识点，解题的关键是熟练的掌握平移的性质.
68．（1）45°；（2）90°；（3）162°或（72+x）°
【分析】
（1）根据平面镜成像原理入射角等于反射角可知：∠APC=∠BPD，即可解决问题；
（2）根据平面镜成像原理入射角等于反射角，由光线a∥b，可知同内角互补，可得两法线垂直，从而求得a的度数；
（3）分两次反射和三次反射进行讨论，两次反射的情况可利用（2）结论；三次反射的情况画图进行分析即可．
【详解】
解：（1）∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠APC=∠BPD，
∵∠CPD=90°，
∴∠APC+∠BPD=90°，
∴∠APC=45°；
（2）如图②：过点P作PG⊥AB，QG⊥BC，相交于点G，
∵平面镜成像原理入射角等于反射角，
∴∠EPG=∠QPG，∠PQG=∠FQG，
∵a∥b，
∴∠EPQ+∠PQF=180°，
∴2（∠GPQ+∠PQG）=180°，
∴∠GPQ+∠PQG=90°，
∵∠GPQ+∠PQG+∠PGQ=180°，
∴∠PGQ=90°，
∵PG⊥AB，QG⊥BC，
∴∠PBQ+∠BQG+∠QGP+∠GPB=360°，
∴∠PBQ=360°-90°-90°-90°=90°，
即α=90°．
（3）若经过两次反射，如图③所示，延长AB、DC交于点E，
由（2）知，∠E=90°，
∵α=108°，
∴∠BCE=α-∠E=108°-90°=18°，
∴β=180°-∠BCE=180°-18°=162°；
若经过三次反射标记各反射点，如图③-2所示，作FM∥a∥b，
∵∠BHF=∠AHP=x，
∴∠BFH=∠CFG=180°-α-x=180°-108°-x=72°-x，
∴∠PHF=180°-2x，∠HFG=180°-2∠BFH=180°-2（72°-x）=36°+2x，
∵a∥b，
∴∠PHF+∠HFG+∠FGQ=360°，
∴∠FGb=360°-（36°+2x）-（180°-2x）=144°，
则∠CGF=180°-∠FGQ=36°，
由∠CGF+∠CFG+β=180°，
得β=180°-∠CFG-∠CGF=180°-（72°-x）-36°=72°+x，
综上，β角的度数为162°或72°+x．
【点睛】
本题主要考查平行线的知识，熟练掌握平面镜成像原理入射角等于反射角是解题的关键．
答案第1页，共2页