2022年初中数学浙教版七年级下册3.4乘法公式 能力阶梯训练——普通版
一、单选题
1．（2021八上·长春月考）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·宁乡市期末）已知，则的值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
3．（2021八上·九台期中）已知x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．4 C．5 D．25
4．（2021八上·德阳月考）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C．ab D．a2－b2
5．（2021八上·济宁月考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2021八上·岳阳期末）设表示的整数部分，表示它的小数部分，求 .
7．（2021八上·莱州期中）若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
8．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则 ．
9．（2021八上·长沙期末）若，，则 .
10．（2021八上·长沙期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号，多选）.
三、综合题
11．（2021八上·莱州期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
12．（2021八上·鞍山月考）若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求b的值；
（2）当a=2时，求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．
13．（2021八上·宁乡市期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值.
（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+1）（x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-x+1）（-x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（-x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式对每个选项一一判断即可。
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵(a-b)2=6，
∴a2-2ab+b2=6①
∵(a+b)2=4，
∴a2+2ab+b2=4②
①＋②得，2a2+2b2=10，
∴a2+b2=5.
故答案为：C.
【分析】由完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2=6，(a+b)2=a2+2ab+b2=4，两式相加就可得到结果.
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式化简，再将数据代入计算即可。
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1是一个长为2a，宽为2b（a>b）的长方形，
∴正方形的边长为a+b，
∴正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2.
故答案为：A.
【分析】先求出正方形的边长，得出正方形的面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积，然后进行化简，即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
故答案为：A．
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式化简即可得到。
6．【答案】1
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
.
故答案为：1.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得2<<3，则x=2，y=-2，然后代入(+x)y中计算即可.
7．【答案】16或-8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
即
即
解得： 或
故答案为：16或-8
【分析】根据完全平方公式，即可求出答案。
8．【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 -2＝49，
则 51，
故答案为：51．
【分析】根据完全平方公式可将变形为 -2＝49，即可得到 51。
9．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：6.
【分析】由于，据此计算即可.
10．【答案】①②③
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式.
故答案为：①②③.
【分析】根据阴影部分的面积不变建立等式，再根据平方差公式的特征进先判断即可.
11．【答案】（1）解：原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）解：2 0002﹣1 9992+1 9982﹣1 9972+…+22﹣12
＝（2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1
＝（2 000+1）+（1 999+2）+（1 998+3）+…（1 001+1 000）
＝2 001×1000
＝2 001 000．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为 （2 021﹣2 020）2 再计算即可；
（2）利用平方差公式将原式变形为 （2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1） ，即得2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1，再计算即可.
12．【答案】（1）解：
展开式中不含x的二次项和一次项，
，
解得： ，
；
（2）解：当 时，
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据“展开式中不含x的二次项和一次项”，可得，求出a、b的值即可；
（2）将a=2代入，再利用平方差公式求解即可。
13．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：，
∵＝，
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积=3个正方形+6个小矩形的面积，即得等式；
（2）由（1）等式可得 ，据此计算即可；
（3）由题意可得=，据此即可求解.
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一、单选题
1．（2021八上·长春月考）下列不能用平方差公式运算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、（x+1）（x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、（-x+1）（-x-1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、（x+1）（-x+1）能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式对每个选项一一判断即可。
2．（2021八上·宁乡市期末）已知，则的值（ ）
A．10 B．6 C．5 D．3
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵(a-b)2=6，
∴a2-2ab+b2=6①
∵(a+b)2=4，
∴a2+2ab+b2=4②
①＋②得，2a2+2b2=10，
∴a2+b2=5.
故答案为：C.
【分析】由完全平方公式可得(a-b)2=a2-2ab+b2=6，(a+b)2=a2+2ab+b2=4，两式相加就可得到结果.
3．（2021八上·九台期中）已知x，y满足 ，则 的值为（ ）
A．-5 B．4 C．5 D．25
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： .
故答案为：A.
【分析】利用平方差公式化简，再将数据代入计算即可。
4．（2021八上·德阳月考）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C．ab D．a2－b2
【答案】A
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：∵图1是一个长为2a，宽为2b（a>b）的长方形，
∴正方形的边长为a+b，
∴正方形的面积为（a+b）2，
∵原矩形的面积为4ab，
∴中间空的部分的面积=（a+b）2-4ab=（a-b）2.
故答案为：A.
【分析】先求出正方形的边长，得出正方形的面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积，然后进行化简，即可得出答案.
5．（2021八上·济宁月考）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】
故答案为：A．
【分析】先将原式变形为，再利用平方差公式化简即可得到。
二、填空题
6．（2021八上·岳阳期末）设表示的整数部分，表示它的小数部分，求 .
【答案】1
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
.
故答案为：1.
【分析】根据估算无理数大小的方法可得2<<3，则x=2，y=-2，然后代入(+x)y中计算即可.
7．（2021八上·莱州期中）若9x2-2（m－4）x＋16是一个完全平方式，则m的值为 ．
【答案】16或-8
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：
即
即
解得： 或
故答案为：16或-8
【分析】根据完全平方公式，即可求出答案。
8．（2021七上·龙凤期中）已知 ，则 ．
【答案】51
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，即 -2＝49，
则 51，
故答案为：51．
【分析】根据完全平方公式可将变形为 -2＝49，即可得到 51。
9．（2021八上·长沙期末）若，，则 .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴
故答案为：6.
【分析】由于，据此计算即可.
10．（2021八上·长沙期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的4幅拼法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号，多选）.
【答案】①②③
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图②中，除右下角阴影部分的面积外，剩余部分的面积可以表示为a2﹣b2，也可以表示为（a﹣b）（a+b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图③中，左边的图形阴影部分的面积＝a2﹣b2，右边图形中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），故可得：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可以验证平方差公式；
在图④中，阴影部分的面积可以表示为（a+b）2﹣4ab，也可以表示为（a﹣b）2，由此可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，没法验证平方差公式.
故答案为：①②③.
【分析】根据阴影部分的面积不变建立等式，再根据平方差公式的特征进先判断即可.
三、综合题
11．（2021八上·莱州期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
【答案】（1）解：原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）解：2 0002﹣1 9992+1 9982﹣1 9972+…+22﹣12
＝（2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1
＝（2 000+1）+（1 999+2）+（1 998+3）+…（1 001+1 000）
＝2 001×1000
＝2 001 000．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为 （2 021﹣2 020）2 再计算即可；
（2）利用平方差公式将原式变形为 （2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1） ，即得2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1，再计算即可.
12．（2021八上·鞍山月考）若（x﹣2）（x2+ax﹣8b）的展开式中不含x的二次项和一次项．
（1）求b的值；
（2）当a=2时，求（a+1）（a2+1）（a4+1）…（a32+1）+1的值．
【答案】（1）解：
展开式中不含x的二次项和一次项，
，
解得： ，
；
（2）解：当 时，
．
【知识点】多项式乘多项式；平方差公式及应用；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）先利用多项式乘多项式的计算法则展开，再根据“展开式中不含x的二次项和一次项”，可得，求出a、b的值即可；
（2）将a=2代入，再利用平方差公式求解即可。
13．（2021八上·宁乡市期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式 .
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，求的值.
（3）小明同学用图中张边长为的正方形，张边长为的正方形张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形，求的值.
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴；
（3）解：由题可知，所拼图形的面积为：，
∵＝，
∴，
∴.
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图可得，图2中所表示的数学等式是：，
故答案为：；
【分析】（1）根据矩形的面积=3个正方形+6个小矩形的面积，即得等式；
（2）由（1）等式可得 ，据此计算即可；
（3）由题意可得=，据此即可求解.
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