平行线应用探究2 平行线常见应用类型、拐角类型探究以及整体求角（无答案）

平行线应用探究(第二课时)
平行线常见应用类型、拐角类型探究以及整体求角思想
(一)平行线常见应用类型
例1 翻折
1、如图，把一张长方形纸带沿着直线GF折叠，∠CGF=30°，则∠1的度数是　 　．
2、如图，生活中将一个宽度相等的纸条按图所示折叠一下，如果∠2=100°，那么∠1的度数为　 ．
例2 旋转
1、将一副直角三角尺ABC和CDE按如图方式放置，其中直角顶点C重合，∠D=45°，∠A=30°．将三角形CDE绕点C旋转，若DE∥BC，则直线AB与直线CE的较大的夹角∠1的大小为　 　度．
例3 平行线的性质
1、已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．
（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
2、如图，两直线AB、CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=　 　．
3、已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为　 ；
（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=　 　．
例4 平移
1、如图1所示，已知BC∥OA，∠B=∠A=120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB=∠OCA时，求∠OCA的度数．
2、如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠CBD的度数；
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是　 　．
例5 作图—应用
1、(1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．
(2）如图2，在一条河的两岸有A，B　两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．
2、如图，平面上有直线a及直线a外的三点A、B、P．
(1)过点P画一条直线m，使得m∥a； (2)过B作BH⊥直线m，并延长BH至B′，使得BB′为直线a、m之间的距离；
(3)若直线a、m表示一条河的两岸，现要在这条河上建一座桥（桥与河岸垂直），使得从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，试问桥应建在何处？画出示意图．
巩固练习(一)
1、如图，AB∥DE，∠ABC的角平分线BP和∠CDE的角平分线DK的反向延长线交于点P且∠P﹣2∠C=57°，则∠C等于（　　）
A．24° B．34° C．26° D．22°　
第1题图 第2题图 第4题图 第5题图
2、如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　）
A．76° B．78° C．80° D．82°
3、在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5…以此类推，则l1和l8的位置关系是（　　）
A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定
4、如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5、如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6、如图所示，AB∥EF，∠B=35°，∠E=25°，则∠C+∠D的值为　 　．
第7题图 第8题图 第9题图
7、如图所示，AB∥CD，∠E=35°，∠C=20°，则∠EAB的度数为　 　．
8、如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B﹣∠D=24°，则∠GEF=　 　．
9、已知D是△ABC的边BC所在直线上的一点，与B，C不重合，过D分别作DF∥AC交AB所在直接于F，DE∥AB交AC所在直线于E．若∠A=80°，则∠FDE的度数是　 　．
10、如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．
(1)求证：∠MAG+∠PBG=90°； (2)若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；
(3)若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．
11、已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．
（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 ；
（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；
（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．
12、如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
13、已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）
（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．
（ⅰ）求∠EOC的度数； （ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；
（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于　 　．（在横线上填上答案即可）
14、已知直线AB∥CD．
（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是　 　．
（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系　 　．
(二)平行线拐角类型探究
方法技巧
1．过折线的拐点作平行线，用平行公理推论得到多条平行线，再转化角．
2．涉及到角平分线问题，往往设未知数导角或列方程求解．
题型一 平行线＋单拐点（＋角平分线等）模型
【例 1】如图 1，点 A，C，B 不在同一条直线上，AD∥BE．
(1) 求证：∠B＋∠ACB－∠A＝180°；
(2) 如图 2，HQ，BQ 分别为∠DAC，∠EBC 的平分线所在的直线，试探究∠C 与∠AQB 的数量关系；
题型二 平行线＋双拐点（＋角平分线等）模型
【例 2】如图 1，AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
(1)若∠E＝50°，求∠F 的度数；
(2)如图 2，探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系，并说明理由；
(3）如图 3，EP 平分∠BEF，FG 平分∠EFD，FG 的反向延长线交 EP 于点 P，求∠P 的度数．
巩固练习(二)
1．如图，CD∥BE，则∠2＋∠3－∠1 的度数等于（ ）
A．90° B．120° C．150° D．180°
2．如图，AB∥DE，∠C：∠D：∠B＝2：3：4，则∠B＝___________．
3．如图，直线 l3，l4与l1，l2分别相交于点 A，B，C，D，且∠1＋∠2＝180°．
（1）直线l1与l2平行吗？为什么？ （2）点 E 在线段 AD 上，若∠ABE＝30°，∠BEC＝62°，求∠DCE 的度数．
5．将北斗七星分别标为 A，B，C，D，E，F，G，如图，将 A，B，C，D，E，F 顺次首尾 连结，若 AF 恰好经过点 G，且 AF∥DE，∠B＝∠BCD＋10°，∠CDE＝∠E＝105°．
(1)求∠F 的度数； (2)计算∠B－∠CGF 的度数是 ____________；（直接写出结果）
(3)连接 AD，∠ADE 与∠CGF 满足怎样数量关系时，BC∥AD？并说明理由．
(三)整体思想求角
题型一 设单个未知数求定角
方法技巧：巧设题目未知数，用该未知数表示其它未知角，然后运用角的和或差计算出定角
【例 1】如图 1，直线 MN 与直线 AB，CD 分别交于点 E，F，AB∥CD，∠BEF 与∠EFD 的 角平分线交于点 P，EP 的延长线与 CD 交于点 G，点 H 是 MN 上一点，且 CH⊥EC．
(1)求证：PF∥GH； (2)如图 2，连接 PH，K 是 GH 上一点，∠PHK=∠HPK，作 PQ 平分∠EPK，问∠HPQ 的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由
题型二 设两个未知数求定角
方法技巧:题目中未知角与某两个未知的角有关，此时设两个未知数求定角
【例 2】如图，AB∥CD，∠DBC=2∠ABC，∠BCD 的平分线 CE 交 BD 于点 E，连接 AE，∠BDC=6∠BAE，求∠AEC 的度数。
题型三 求角的和、差、倍、分为定值
方法技巧：设未知数，列式将所求角的和差整体计算出来
【例 3】如图，AB∥EF，∠BAC 与∠CDE 的角平分线交于点 G，GF∥DE，已知∠ACD＝90°，求 2∠AGD＋∠GFE 的值。
题型四 求角的比值为定值
方法技巧：设未知数，列式将所求角的比值整体计算出来
【例 4】如图，已知 AM∥BN，∠DAB＝60°，点 P 是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合），∠ABP 和∠PBN 的平分线分别交射线 AM 于点 C，D．∠DAB 的平分线与∠DBN 的平分线交于点 H，在点 P 运动的过程中，∠CBN 与∠AHB 的比值是否变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出其变化规律。
巩固练习(三)
1.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E 是 BC 上一点，EM⊥EN，∠EMA 和∠END 的平分线交于点 F，求∠MFN 的度数．
2.点 A，C 为射线 l 上两点，且 AB∥CD
(1)如图 1，点 E 在线段 AC 上，求证：∠B+∠D=∠BED；
(2)如图 2，若点 E，F 在线段 AC 上，且∠ABE=3∠ABF，DE 平分∠FDC，∠ABE=60°， 求 2∠BED-∠BFD 的度数。
3.如图，AB∥CD，∠ABE 与∠CDE 的平分线相交于点 F
(1)如图 1，若∠E＝80°，求∠BFD 的度数；
(2)如图 2，若∠ABM＝ 13 ∠ABF，∠CDM＝ 13 ∠CDF，写出∠M 和∠E 之间的数量关系并证明你的结论。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）