2.5三元一次方程组及其解法 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
2.5三元一次方程及其解法
浙教版 七年级下
新知导入
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
2、它们的实质是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化未知为已知
化归转化思想
代入消元法和加减消元法
消元法
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
新知讲解
一副扑克牌共54张，老师将一副扑克牌分给甲、乙、丙三名小朋友. 甲拿到的牌数是乙的2倍；若把丙拿到的牌分一半给乙，则乙的牌数就比甲多2张. 问老师分给甲、乙、丙各几张牌？
讨论：这个问题中要求的未知数有几个？你能列出关于这些未知数的几个方程？请试一试.
甲的牌数+乙的牌数+丙的牌数=54张
甲的牌数=2倍乙的牌数
知识点 2
三元一次方程组的定义
新知讲解
①甲的牌数+乙的牌数+丙的牌数=54张
②甲的牌数=2倍乙的牌数
设甲、乙、丙的牌数分别为x、y、z,根据题意得
①x+y+z=54
②x=2y
合作探究
1.观察x+y+z=54，具有怎样的特征？
特征：①3个未知数；②1个等式；
③未知数的项的次数都为1次.
特征：
①3个等式；
②3个未知数；
③未知数的项的次数都为1次.
合作探究
三元一次方程的定义：
三元一次方程组的定义：
含有三个未知数, 并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程．
由三个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程， 叫做三元一次方程组．
例题讲解
例 下列是三元一次方程组的是(　　)
A.　　　　　 B.
C. 　　　　　 D.
三元一次方程组的判断
D
巩固练习
1、下列方程组不是三元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
D
提示： 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数．
合作探究
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
怎样解三元一次方程组呢？
①
②
③
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
知识点 2
三元一次方程组的解法
合作探究
1.解三元一次方程组的基本思路是：
通过“代入”或 “加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程，用简图表示为：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程组
2.求解方法：加减消元法和代入消元法．
合作探究
3．解三元一次方程组的一般步骤：
(1)利用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用符号“{”合写在一起．
例题讲解
（一）代入消元法
例题讲解
（二）加减消元法
分析：方程①③中只含z的系数分别是1和-1,因此，可以由①③消去z，得到一个只含x，y的方程，同理，方程①x2，z的系数变成2，可以与方程②连列，消除z,得到一个只含x,y的方程。
例2 解三元一次方程组
3x＋2y+z=13 ①
x＋5y＋2z=7 ②
2x+3y-z=12 ③
｛
解：①＋③ ，得
5x＋5y=25 ④
①x2- ②，得5x-y=19. ⑤
5x＋5y=25
5x-y=19
｛
解这个方程组，得
X=4
y=1
｛
把x＝4，y＝1代入① ，得z=-1
因此，三元一次方程组的解为
X=4
y=1
Z=-1
｛
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
合作探究
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行 ，把 转化为 ，使解三元一次方程组转化为解 ，进而再转化为解 .
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
巩固练习
1、已知 是方程组
的解,则a+b+c的值是____________.
3
巩固练习
2、在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解:根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
例题讲解
例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
素养考点 3
利用三元一次方程组解答实际问题
例题讲解
解：(1)由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
③
①
②
（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.
（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数.
例题讲解
(2)②-①×4,③-①,得
⑤
①
④
⑤+④,得
⑥
①
④
通过回代，得 z=2,y=1,x=2.
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
新知归纳
列三元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的数量关系．
(2)找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系；
(3)根据等量关系列出方程，建立方程组；
(4)解出方程组求出未知数的值；
(5)写出答案，包括单位名称．
总 结
巩固练习
小明妈妈到文具店购买三种学习用品,其单价分别为2元、4元、6元,购买这些学习用品需要56元,经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交,结果只用了50元就买下了这些学习用品,则小明妈妈的购买方法有(　　)
A.6种　　　　B.5种　　　　C.4种　　　　D.3种
解析：设分别购买学习用品的数量为x,y,z.由题意得 ,
即 ①-②得:y+2z=16,所以y=16-2z③,所以满足x、y、z之间关系的取值可以是:当y=2时,z=7,x=3.当y=4时,z=6,x=2.
当y=6时,z=5,x=1.所以小明妈妈有3种不同的购买方法.
D
巩固练习
1.方程 　　　，3x＋y＋z＝0,2x＋8y＝1,6x＋y－2z＝0，x2－y＋1＝0中，三元一次方程的个数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 1个　　 B. 2个　
C. 3个 　 D. 4个
B
巩固练习
2.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
解析: 通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
D
巩固练习
3.解方程组
则x＝_____，y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
解析：通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y，
②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
6
8
3
巩固练习
4.若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，
求a，b，c的值．
解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.
可得方程组
解得
巩固练习
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
答：原三位数是368.
5.一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的 ，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解得：
新知归纳
三元一次方程组
三元一次方程组的概念
三元一次方程组的解法
三元一次方程组的应用
含有三个未知数
每个方程中含未知数的项的次数都是1
一共有三个方程
通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
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