2021-2022学年浙教版七年级数学下册3.4乘法公式-完全平方公式优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年浙教版七年级数学下册《3-4乘法公式-完全平方公式》
优生辅导训练（附答案）
一．选择题
1．若（x+1）2＝x2+mx+1，则m的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
2．若x+4＝2y，则代数式x2﹣4xy+4y2的值为（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
3．若x2﹣8x+m是完全平方式，则m的值为（　　）
A．16 B．±16 C．±4 D．4
4．若x2+ax+16是完全平方式，在|a﹣2|的值是（　　）
A．6 B．6或10 C．2 D．2或6
5．若（y﹣a）2＝y2﹣by+，则a的值可能是（　　）
A． B． C． D．
6．将四个长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝2S2，则a，b满足（　　）
A．a＝2b B．a＝3b C．2a＝3b D．2a＝5b
7．如图，两个正方形的边长分别为a、b，若a+b＝7，ab＝3，则阴影部分的面积是（　　）
A．40 B． C．20 D．23
8．已知（m﹣2022）（m﹣2020）＝25，则（m﹣2020）2+（m﹣2022）2的值为（　　）
A．54 B．46 C．2021 D．2022
二．填空题
9．若（x+y）2＝8，xy＝3，则x2+y2＝　 　．
10．如图，两个阴影图形都是正方形，用两种方式表示这两个正方形的面积和，可以得到的等式为　 　．
11．已知x+y＝3，x2+y2＝23，（x﹣y）2的值为 　 　．
12．一个正方形的边长增加3cm，它的面积就增加kcm2（k＞9），则这个正方形的边长是 　 　cm．（请用含k的式子表示）
13．已知长方形的周长为28，面积为48．则分别以长方形的长和宽为边长的两个正方形的面积和是 　 　．
14．已知m2+n2﹣6m+10n+34＝0，则m+n＝　 　．
15．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若a+b＝7，ab＝12，则阴影部分的面积为 　 　．
三．解答题
16．化简：m（m﹣2n）﹣（m﹣n）2．
17．已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣4）（n﹣4）的值．
18．如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b）米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．
（1）用含有a，b的式子表示绿化总面积．
（2）若a＝4，b＝3，求出此时的绿化总面积．
19．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在AB边上，四边形EFGB也是正方形，它的边长为b（a＞b），连接AF、CF、AC．
（1）用含a、b的代数式表示GC＝　 　；
（2）若两个正方形的面积之和为60，即a2+b2＝60，又ab＝20，图中线段GC的长；
（3）若a＝8，△AFC的面积为S，则S＝　 　．
20．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：因为a+b＝3，ab＝1
所以（a+b）2＝9，2ab＝2
所以a2+b2+2ab＝9，2ab＝2
得a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝　 　；
②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝　 　；
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
21．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形．
（1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和．
方法1：　 　；
方法2：　 　．
（2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系．
（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值；
②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值．
参考答案
一．选择题
1．解：（x+1）2＝x2+2x+1，
∵（x+1）2＝x2+mx+1，
∴m＝2，
故选：C．
2．解：∵x+4＝2y，
∴x﹣2y＝﹣4，
∴x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2＝（﹣4）2＝16．
故选：D．
3．解：∵x2﹣8x+m是完全平方式，
∴m＝16．
故选：A．
4．解：∵（x±4）2＝x2±8x+16，
∴a＝±8，
当a＝8时，
|a﹣2|＝|6|＝6，
当a＝﹣8时，
|a﹣2|＝|﹣10|＝10，
故选：B．
5．解：由完全平方式y2﹣by+，
可得a＝±，b＝2×（±）＝±1，
故选：C．
6．解：∵S1＝2×b（a+b）+2×ab+2×（a﹣b）
＝a2+2b2，
S2＝（a+b）2﹣（a2+2b2）
＝2ab﹣b2，
又∵S1＝2S2，
∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），
整理，得（a﹣2b）2＝0，
∴a﹣2b＝0，
∴a＝2b．
故选：A．
7．解：由题意可得阴影部分的面积为：
a2+b2﹣a2﹣（a+b）b
＝a2+b2﹣a2﹣ab﹣b2
＝
＝，
∴当a+b＝7，ab＝3时，
原式＝＝＝＝20，
故选：C．
8．解：∵（m﹣2022）（m﹣2020）＝25，
∴m2﹣4022m+2020×2022＝25，
∴m2﹣4022m＝25﹣2020×2022，
∴原式＝m2﹣4040m+20202+m2﹣4044m+20222
＝2m2﹣8084m+20202+20222
＝2（m2﹣4042m）+20202+20222
＝2（25﹣2020×2022）+20202+20222
＝20202﹣2×2020×2022+20222+50
＝（2020﹣2022）2+50
＝4+50
＝54，
故选：A．
二．填空题
9．解：∵（x+y）2＝8，
∴x2+2xy+y2＝8，
∵xy＝3，
∴x2+6+y2＝8，
∴x2+y2＝2，
故答案为：2．
10．解：①两个阴影部分正方形的面积和为：a2+b2，
②两个阴影部分正方形的面积和为：（a+b）2﹣2ab，
∴可以得到等式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab．
11．解：∵x+y＝3，x2+y2＝23，
∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝32﹣23＝﹣14，
∴xy＝﹣7；
∴（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝32﹣4×（﹣7）＝37．
故答案为：37．
12．解：设该正方形的边长为acm，根据题意得，
（a+3）2﹣a2＝k，
去括号得，a2+6a+9﹣a2＝k，
移项合并得，6a＝k﹣9，
系数化为1，得a＝，
故答案为：．
13．解：设长方形的长为a，宽为b，
∴a+b＝14，ab＝48，
由题可知，两个正方形面积和为a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝196﹣96＝100，
故答案为100．
14．解：根据题意，m2+n2﹣6m+10n+34＝0，
变形后：（m﹣3）2+（n+5）2＝0；
得m＝3，n＝﹣5；
所以，m+n＝﹣2．
15．解：由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝72﹣2×12＝49﹣24＝25，
∴阴影部分的面积为：﹣ b
＝
＝
＝，
故答案为：．
三．解答题
16．解：原式＝m2﹣2mn﹣m2+2mn﹣n2＝﹣n2．
17．解：（1）∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝am+n﹣amn
＝a3﹣a2，
当a＝2时，原式＝8﹣4＝4；
（2）∵m+n＝3，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1，
∴原式＝1+mn﹣4（m+n）+16
＝1+2﹣12+16
＝7．
18．解：（1）由题意得：长方形地块的面积＝（3a+4b）（2a+3b）＝（6a2+17ab+12b2）（平方米），
正方形凉亭的面积为：（a+b）2＝（a2+2ab+b2）（平方米），
则绿化面积S＝（6a2+17ab+12b2）﹣（a2+2ab+b2）＝（5a2+15ab+11b2）（平方米）；
（2）∵a＝4，b＝3，
∴绿化总面积S＝5a2+15ab+11b2＝5×42+15×4×3+11×32＝359（平方米）．
19．解：（1）∵GC＝GB+BC，
∴GC＝a+b
故答案为：a+b
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝60+20×2＝100
∴a+b＝10
∴GC＝10
（3）S△AFC＝S△AFE+S FGBE+S△ABC﹣S△FGC
＝b（a﹣b）+b2+a2﹣b（b+a）
＝ab﹣b2+b2+a2﹣b2﹣ab
＝a2
＝×82
＝32
故答案为：32
20．解：（1）∵x+y＝8；
∴（x+y）2＝82；
x2+2xy+y2＝64；
又∵x2+y2＝40；
∴2xy＝64﹣（x2+y2），
∴2xy＝64﹣40＝24，
xy＝12．
（2）①∵（4﹣x）+x＝4，
∴[（4﹣x）+x]2＝42
[（4﹣x）+x]2＝（4﹣x）2+2（4﹣x）x+x2＝16；
又∵（4﹣x）x＝5，
∴（4﹣x）2+x2＝16﹣2（4﹣x）x＝16﹣2×5＝6．
②由（4﹣x）﹣（5﹣x）＝﹣1，
∴[（4﹣x）﹣（5﹣x）]2＝（4﹣x）2﹣2（4﹣x）（5﹣x）+（5﹣x）2＝（﹣1）2；
又∵（4﹣x）（5﹣x）＝8，
∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝1+2（4﹣x）（5﹣x）＝1+2×8＝17．
（3）由题意可得，AC+BC＝6，AC2+BC2＝18；
∵（AC+BC）2＝62，AC2+2AC BC+BC2＝36；
∴2AC BC＝36﹣（AC2+BC2）＝36﹣18＝18，
AC BC＝9；
图中阴影部分面积为直角三角形面积，
∵BC＝CF
∴．
21．解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab，
故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab；
（2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；
（3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝，
∴m+n＝5，m2+n2＝20时，
mn＝
＝
＝，
（m﹣n）2
＝m2﹣2mn+n2；
＝20﹣2×
＝20﹣5
＝15；
②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023，
可得a+b＝（x﹣2021）+（x﹣2023）
＝x﹣2021+x﹣2023
＝2x﹣4044
＝2（x﹣2022），
由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得，
（a+b）2＝a2+2ab+b2，
又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4，
且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30，
∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16．