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学霸夯基——浙教版数学七年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．下列式子是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab﹣b2 B．a2+2a+1 C．a2+ab+b2 D．a2+2a﹣1
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．若x2+6x+k是完全平方式，则k=（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．±3
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣4；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b；
③（3﹣x）（x+3）=x2﹣9；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2﹣y2．
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（-m +n）（m - n） B．（ a +b）（b - a）
C．（x + 5）（x + 5） D．（3a-4b）（3b +4a）
8．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+b2=（a+b）（a-b）
9．已知 ，则 的值为 （ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
10．由图你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D．a（a＋b）＝a2＋ab
二、填空题
11．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于 .
12．已知多项式 是完全平方式，则m的值为
13．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=
14．若x-y=6，xy=7，则x2+y2的值等于 。
15．多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ．（填上一个你认为正确的即可）
16．定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”.例如： ，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”.则不大于200的所有“平方差数”之和为 .
17．已知 ，则 的值为 .
18．已知 ， ，则xy的值为 .
三、解答题
19．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 ＋ ＝5的过程.
解：设 ﹣ ＝m，与原方程相乘得：
（ ＋ ）×（ ）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴ ﹣ ＝1，与原方程相加得：
（ ＋ ）+（ ）＝5＋1，
2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.
学习借鉴解法，解方程 ﹣ ＝1.
20．（1）按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：
4
16
（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求 。
21．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积，
方法① ；方法② ．
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，则求（a﹣b）2的值．
22．某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现：
， ，…
即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如： .
请问：该结论正确吗？若两位数的十位数字为 ，请用代数式说明理由.
23．如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成.若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，求其中一个小长方形的面积.
24．（1）当a = -2，b=1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；
（2）当a =-2，b= -3时，再求以上两个代数式的值；
（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论？
结论是： ；
（4）利用你发现的结论，求：19652+1965×70+352的值．
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学霸夯基——浙教版数学七年级下册
班级： 姓名：
一、单选题
1．下列式子是完全平方式的是（ ）
A．a2+2ab﹣b2 B．a2+2a+1 C．a2+ab+b2 D．a2+2a﹣1
【答案】B
【解析】解：下列式子是完全平方式的是a2+2a+1=（a+1）2，
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A. ，故A不符合题意；
B.
C. ，故C不符合题意；
D.
3．已知 ，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】解：N=2021×2023=(2022-1)(2022+1)
=20222-1<20222=M.
4．若x2+6x+k是完全平方式，则k=（ ）
A．9 B．﹣9 C．±9 D．±3
【答案】A
【解析】解：∵x2+6x+k是完全平方式，
∴（x+3）2=x2+6x+k，即x2+6x+9=x2+6x+k
∴k=9．
5．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
=
=
=
6．下列计算中，错误的有（ ）
①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣4；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b；
③（3﹣x）（x+3）=x2﹣9；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2﹣y2．
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：①（3a+4）（3a﹣4）=9a2﹣16，故①错误；
②（2a2﹣b）（2a2+b）=4a2﹣b2，故②错误；
③（3﹣x）（x+3）=9﹣x2，故③错误；
④（﹣x+y）（x+y）=﹣（x﹣y）（x+y）=﹣x2+y2，故④错误；
⑤（3﹣x）2=（x﹣3）2=x2﹣6x+9，正确．
错误的共有4个．
7．下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（-m +n）（m - n） B．（ a +b）（b - a）
C．（x + 5）（x + 5） D．（3a-4b）（3b +4a）
【答案】B
【解析】由平方差公式可得B是正确的.
8．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分面积，可以验证下面一个等式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a-b）2=a2-2ab+b2
C．a2-b2=（a+b）（a-b） D．a2+b2=（a+b）（a-b）
【答案】C
【解析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．
9．已知 ，则 的值为 （ ）
A．10 B．5 C．6 D．3
【答案】B
【解析】∵（m+n）2 （m n）2=4mn，
∴4mn=2-8=-6，
∴mn= ，
∴m2+2nm+n2=（m n）2+2mn=8+2×（ ）=5，
10．由图你能根据面积关系得到的数学公式是（ ）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b） B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2 D．a（a＋b）＝a2＋ab
【答案】C
【解析】解：从图中可知：阴影部分的面积是和，空白的两个矩形面积都是，
即大阴影部分的面积是，
，
二、填空题
11．若a2+2ka+9是一个完全平方式，则k等于 .
【答案】±3
【解析】解：∵ a2+2ka+9是一个完全平方式，
∴a2+2ka+9=（a±3）2=a2±6a+9
∴2k=±6
解之：k=±3
12．已知多项式 是完全平方式，则m的值为
【答案】±1
【解析】∵x mx+ =x mx+( ) ，
∴ mx=±2x ，∴m=±1.故答案为：±1.
13．已知（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5，则（a﹣2017）（a﹣2018）=
【答案】﹣2
【解析】（a﹣2017）2+（2018﹣a）2=5 ①，（a﹣2017）2+（2018﹣a）2+2（a﹣2017）（a﹣2018）=1 ②，②—①=2（a﹣2017）（a﹣2018）=—4，（a﹣2017）（a﹣2018）=—2
14．若x-y=6，xy=7，则x2+y2的值等于 。
【答案】50
【解析】解：x2+y2=x2+y2-2xy+2xy
=（x-y）2+2xy
=62+2×7
=36+14
=50
15．多项式 加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ．（填上一个你认为正确的即可）
【答案】 或 或
【解析】解：①4a2是平方项时，4a2±4a+1=（2a±1）2，
可加上的单项式可以是4a或-4a，
②当4a2是乘积二倍项时，4a4+4a2+1=（2a2+1）2，
可加上的单项式可以是4a4，
综上所述，可以加上的单项式可以是4a或-4a或4a4．
16．定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”.例如： ，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”.则不大于200的所有“平方差数”之和为 .
【答案】10000
【解析】解：设两个连续的自然数为 和 ，
则这两个数的平方差为
从而得到平方差数为奇数，
不大于200的所有“平方差数”就是所有不大于200的正奇数，
则它们的和为=
17．已知 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】解： ，
，
，
，
，
，
.
18．已知 ， ，则xy的值为 .
【答案】4
【解析】∵①, ②，
∴① ②得：4xy=16，
则xy=4，
三、解答题
19．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 ＋ ＝5的过程.
解：设 ﹣ ＝m，与原方程相乘得：
（ ＋ ）×（ ）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴ ﹣ ＝1，与原方程相加得：
（ ＋ ）+（ ）＝5＋1，
2 ＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根.
学习借鉴解法，解方程 ﹣ ＝1.
【答案】解：设 + ＝m，与原方程相乘得：
（ ﹣ ）×（ + ）＝m，
x﹣3﹣（x﹣6）＝m，解之得m＝3，
∴ + ＝3，与原方程相加得：
（ ﹣ ）+（ + ）＝3＋1，
2 ＝4，解之得，x＝7，经检验，x＝7是原方程的根.
【解析】借鉴题中的方法，即可计算求解.
20．（1）按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值：
4
16
（2）比较表中两代数式计算结果，请写出你发现 与 有什么关系？
（3）利用你发现的结论，求 。
【答案】（1）4；16；9；9
（2）解： =
（3）解：
．
【解析】（1）
4 4
16 16
9 9
21．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积，
方法① ；方法② ．
（3）观察图②，你能写出（m+n）2，（m﹣n）2，4mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，则求（a﹣b）2的值．
【答案】（1）m﹣n
（2）（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn
（3）解：三个代数式之间的等量关系：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（4）解：由（3）可知：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
当a+b=6，ab=4时，原式=62﹣4×4=20．
【解析】解：（1）阴影部分的正方形的边长等于m﹣n；
（2）图②中阴影部分的面积，方法①：（m﹣n）2；方法②：（m+n）2﹣4mn；
（3）三个代数式之间的等量关系：（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
（4）由（3）可知：（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，
当a+b=6，ab=4时，原式=62﹣4×4=20．
22．某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现：
， ，…
即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如： .
请问：该结论正确吗？若两位数的十位数字为 ，请用代数式说明理由.
【答案】解：该结论正确，理由如下：
这个两位数十位上的数字为 个位为
这个两位数为：
它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：
而
所以：该结论正确.
【解析】由这个两位数十位上的数字为m，个位为5，可得这个两位数为： 10m+5，再表示它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：100m(m+1)+25，再利用100m(m+1)+25=100m2+100m+15=(10m+5)2， 从而可得结论.
23．如图，大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成.若这个大长方形的周长为48cm，四个正方形的面积之和为68cm2，求其中一个小长方形的面积.
【答案】解：设小长方形的长为acm，宽为bcm，
由题意得，a＋b＝8且a2＋b2＝34 ，
∴ab＝ [(a＋b)2－(a2＋b2)]＝15，
答：其中一个小长方形的面积为15cm2.
【解析】设小长方形的长为acm，宽为bcm，利用大长方形的边长与小正方形、小长方形的边长之间的关系，求出ab即可.
24．（1）当a = -2，b=1时，求两个代数式（a+b）2与a2+2ab+b2的值；
（2）当a =-2，b= -3时，再求以上两个代数式的值；
（3）你能从上面的计算结果中，发现上面有什么结论？
结论是： ；
（4）利用你发现的结论，求：19652+1965×70+352的值．
【答案】解：（1）当a=-2，b=1时，（a+b）2=1，a2+2ab+b2=1
（2）当a=-2，b=-3时，（a+b）2=25，a2+2ab+b2=25
（3）（a+b）2=a2+2ab+b2
故答案是：（a+b）2=a2+2ab+b2
（4）原式=19652+2×1965×35+352=（1965+35）2=4000000。
【解析】两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免错解。
（1）、（2）将a、b的值分别代入以上两个代数式求值即可；
（3）根据（1）、（2）的计算结果推导出完全平方和公式；
（4）利用完全平方和公式计算。
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