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学霸夯基——浙教版数学七年级下册
班级: 姓名:
一、单选题
1.下列式子是完全平方式的是( )
A.a2+2ab﹣b2 B.a2+2a+1 C.a2+ab+b2 D.a2+2a﹣1
2.下列运算中,正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知 ,则 与 的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
4.若x2+6x+k是完全平方式,则k=( )
A.9 B.﹣9 C.±9 D.±3
5.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
6.下列计算中,错误的有( )
①(3a+4)(3a﹣4)=9a2﹣4;
②(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b;
③(3﹣x)(x+3)=x2﹣9;
④(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣x2﹣y2.
⑤(3﹣x)2=(x﹣3)2=x2﹣6x+9.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7.下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是( )
A.(-m +n)(m - n) B.( a +b)(b - a)
C.(x + 5)(x + 5) D.(3a-4b)(3b +4a)
8.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分面积,可以验证下面一个等式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2+b2=(a+b)(a-b)
9.已知 ,则 的值为 ( )
A.10 B.5 C.6 D.3
10.由图你能根据面积关系得到的数学公式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=a2+ab
二、填空题
11.若a2+2ka+9是一个完全平方式,则k等于 .
12.已知多项式 是完全平方式,则m的值为
13.已知(a﹣2017)2+(2018﹣a)2=5,则(a﹣2017)(a﹣2018)=
14.若x-y=6,xy=7,则x2+y2的值等于 。
15.多项式 加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)
16.定义:若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差,那么就称这个正整数为“平方差数”.例如: ,因此1,3,5这三个数都是“平方差数”.则不大于200的所有“平方差数”之和为 .
17.已知 ,则 的值为 .
18.已知 , ,则xy的值为 .
三、解答题
19.小颖利用平方差公式,自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 + =5的过程.
解:设 ﹣ =m,与原方程相乘得:
( + )×( )=5m,
x﹣2﹣(x﹣7)=5m,解之得m=1,
∴ ﹣ =1,与原方程相加得:
( + )+( )=5+1,
2 =6,解之得,x=11,经检验,x=11是原方程的根.
学习借鉴解法,解方程 ﹣ =1.
20.(1)按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值:
4
16
(2)比较表中两代数式计算结果,请写出你发现 与 有什么关系?
(3)利用你发现的结论,求 。
21.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 .
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积,
方法① ;方法② .
(3)观察图②,你能写出(m+n)2,(m﹣n)2,4mn这三个代数式之间的等量关系吗?
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=6,ab=4,则求(a﹣b)2的值.
22.某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现:
, ,…
即:末尾数字是5的两位数的平方,可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积,再在末尾接着写上25,例如: .
请问:该结论正确吗?若两位数的十位数字为 ,请用代数式说明理由.
23.如图,大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成.若这个大长方形的周长为48cm,四个正方形的面积之和为68cm2,求其中一个小长方形的面积.
24.(1)当a = -2,b=1时,求两个代数式(a+b)2与a2+2ab+b2的值;
(2)当a =-2,b= -3时,再求以上两个代数式的值;
(3)你能从上面的计算结果中,发现上面有什么结论?
结论是: ;
(4)利用你发现的结论,求:19652+1965×70+352的值.
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学霸夯基——浙教版数学七年级下册
班级: 姓名:
一、单选题
1.下列式子是完全平方式的是( )
A.a2+2ab﹣b2 B.a2+2a+1 C.a2+ab+b2 D.a2+2a﹣1
【答案】B
【解析】解:下列式子是完全平方式的是a2+2a+1=(a+1)2,
2.下列运算中,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. ,故A不符合题意;
B.
C. ,故C不符合题意;
D.
3.已知 ,则 与 的大小关系是( )
A. B. C. D.不能确定
【答案】A
【解析】解:N=2021×2023=(2022-1)(2022+1)
=20222-1<20222=M.
4.若x2+6x+k是完全平方式,则k=( )
A.9 B.﹣9 C.±9 D.±3
【答案】A
【解析】解:∵x2+6x+k是完全平方式,
∴(x+3)2=x2+6x+k,即x2+6x+9=x2+6x+k
∴k=9.
5.计算 的结果是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解:
=
=
=
6.下列计算中,错误的有( )
①(3a+4)(3a﹣4)=9a2﹣4;
②(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b;
③(3﹣x)(x+3)=x2﹣9;
④(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣x2﹣y2.
⑤(3﹣x)2=(x﹣3)2=x2﹣6x+9.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】解:①(3a+4)(3a﹣4)=9a2﹣16,故①错误;
②(2a2﹣b)(2a2+b)=4a2﹣b2,故②错误;
③(3﹣x)(x+3)=9﹣x2,故③错误;
④(﹣x+y)(x+y)=﹣(x﹣y)(x+y)=﹣x2+y2,故④错误;
⑤(3﹣x)2=(x﹣3)2=x2﹣6x+9,正确.
错误的共有4个.
7.下列多项式的乘法中,能用平方差公式计算的是( )
A.(-m +n)(m - n) B.( a +b)(b - a)
C.(x + 5)(x + 5) D.(3a-4b)(3b +4a)
【答案】B
【解析】由平方差公式可得B是正确的.
8.如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分拼成一个梯形,分别计算这两个图形阴影部分面积,可以验证下面一个等式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.a2+b2=(a+b)(a-b)
【答案】C
【解析】分别计算这两个图形阴影部分面积,根据面积相等即可得到.
9.已知 ,则 的值为 ( )
A.10 B.5 C.6 D.3
【答案】B
【解析】∵(m+n)2 (m n)2=4mn,
∴4mn=2-8=-6,
∴mn= ,
∴m2+2nm+n2=(m n)2+2mn=8+2×( )=5,
10.由图你能根据面积关系得到的数学公式是( )
A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=a2-2ab+b2 D.a(a+b)=a2+ab
【答案】C
【解析】解:从图中可知:阴影部分的面积是和,空白的两个矩形面积都是,
即大阴影部分的面积是,
,
二、填空题
11.若a2+2ka+9是一个完全平方式,则k等于 .
【答案】±3
【解析】解:∵ a2+2ka+9是一个完全平方式,
∴a2+2ka+9=(a±3)2=a2±6a+9
∴2k=±6
解之:k=±3
12.已知多项式 是完全平方式,则m的值为
【答案】±1
【解析】∵x mx+ =x mx+( ) ,
∴ mx=±2x ,∴m=±1.故答案为:±1.
13.已知(a﹣2017)2+(2018﹣a)2=5,则(a﹣2017)(a﹣2018)=
【答案】﹣2
【解析】(a﹣2017)2+(2018﹣a)2=5 ①,(a﹣2017)2+(2018﹣a)2+2(a﹣2017)(a﹣2018)=1 ②,②—①=2(a﹣2017)(a﹣2018)=—4,(a﹣2017)(a﹣2018)=—2
14.若x-y=6,xy=7,则x2+y2的值等于 。
【答案】50
【解析】解:x2+y2=x2+y2-2xy+2xy
=(x-y)2+2xy
=62+2×7
=36+14
=50
15.多项式 加上一个单项式后,使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是 .(填上一个你认为正确的即可)
【答案】 或 或
【解析】解:①4a2是平方项时,4a2±4a+1=(2a±1)2,
可加上的单项式可以是4a或-4a,
②当4a2是乘积二倍项时,4a4+4a2+1=(2a2+1)2,
可加上的单项式可以是4a4,
综上所述,可以加上的单项式可以是4a或-4a或4a4.
16.定义:若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差,那么就称这个正整数为“平方差数”.例如: ,因此1,3,5这三个数都是“平方差数”.则不大于200的所有“平方差数”之和为 .
【答案】10000
【解析】解:设两个连续的自然数为 和 ,
则这两个数的平方差为
从而得到平方差数为奇数,
不大于200的所有“平方差数”就是所有不大于200的正奇数,
则它们的和为=
17.已知 ,则 的值为 .
【答案】
【解析】解: ,
,
,
,
,
,
.
18.已知 , ,则xy的值为 .
【答案】4
【解析】∵①, ②,
∴① ②得:4xy=16,
则xy=4,
三、解答题
19.小颖利用平方差公式,自己探究出一种解某一类根式方程的方法.下面是她解方程 + =5的过程.
解:设 ﹣ =m,与原方程相乘得:
( + )×( )=5m,
x﹣2﹣(x﹣7)=5m,解之得m=1,
∴ ﹣ =1,与原方程相加得:
( + )+( )=5+1,
2 =6,解之得,x=11,经检验,x=11是原方程的根.
学习借鉴解法,解方程 ﹣ =1.
【答案】解:设 + =m,与原方程相乘得:
( ﹣ )×( + )=m,
x﹣3﹣(x﹣6)=m,解之得m=3,
∴ + =3,与原方程相加得:
( ﹣ )+( + )=3+1,
2 =4,解之得,x=7,经检验,x=7是原方程的根.
【解析】借鉴题中的方法,即可计算求解.
20.(1)按下表已填写的完成表中的空白处代数式的值:
4
16
(2)比较表中两代数式计算结果,请写出你发现 与 有什么关系?
(3)利用你发现的结论,求 。
【答案】(1)4;16;9;9
(2)解: =
(3)解:
.
【解析】(1)
4 4
16 16
9 9
21.如图①所示是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.
(1)你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于 .
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积,
方法① ;方法② .
(3)观察图②,你能写出(m+n)2,(m﹣n)2,4mn这三个代数式之间的等量关系吗?
(4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=6,ab=4,则求(a﹣b)2的值.
【答案】(1)m﹣n
(2)(m﹣n)2;(m+n)2﹣4mn
(3)解:三个代数式之间的等量关系:(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;
(4)解:由(3)可知:(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
当a+b=6,ab=4时,原式=62﹣4×4=20.
【解析】解:(1)阴影部分的正方形的边长等于m﹣n;
(2)图②中阴影部分的面积,方法①:(m﹣n)2;方法②:(m+n)2﹣4mn;
(3)三个代数式之间的等量关系:(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;
(4)由(3)可知:(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab,
当a+b=6,ab=4时,原式=62﹣4×4=20.
22.某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现:
, ,…
即:末尾数字是5的两位数的平方,可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积,再在末尾接着写上25,例如: .
请问:该结论正确吗?若两位数的十位数字为 ,请用代数式说明理由.
【答案】解:该结论正确,理由如下:
这个两位数十位上的数字为 个位为
这个两位数为:
它的十位数字与其下一个自然数的乘积,再在末尾接着写上25为:
而
所以:该结论正确.
【解析】由这个两位数十位上的数字为m,个位为5,可得这个两位数为: 10m+5,再表示它的十位数字与其下一个自然数的乘积,再在末尾接着写上25为:100m(m+1)+25,再利用100m(m+1)+25=100m2+100m+15=(10m+5)2, 从而可得结论.
23.如图,大长方形由2个完全一样的大正方形、2个完全一样的小正方形和5个完全一样的小长方形拼成.若这个大长方形的周长为48cm,四个正方形的面积之和为68cm2,求其中一个小长方形的面积.
【答案】解:设小长方形的长为acm,宽为bcm,
由题意得,a+b=8且a2+b2=34 ,
∴ab= [(a+b)2-(a2+b2)]=15,
答:其中一个小长方形的面积为15cm2.
【解析】设小长方形的长为acm,宽为bcm,利用大长方形的边长与小正方形、小长方形的边长之间的关系,求出ab即可.
24.(1)当a = -2,b=1时,求两个代数式(a+b)2与a2+2ab+b2的值;
(2)当a =-2,b= -3时,再求以上两个代数式的值;
(3)你能从上面的计算结果中,发现上面有什么结论?
结论是: ;
(4)利用你发现的结论,求:19652+1965×70+352的值.
【答案】解:(1)当a=-2,b=1时,(a+b)2=1,a2+2ab+b2=1
(2)当a=-2,b=-3时,(a+b)2=25,a2+2ab+b2=25
(3)(a+b)2=a2+2ab+b2
故答案是:(a+b)2=a2+2ab+b2
(4)原式=19652+2×1965×35+352=(1965+35)2=4000000。
【解析】两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号,避免错解。
(1)、(2)将a、b的值分别代入以上两个代数式求值即可;
(3)根据(1)、(2)的计算结果推导出完全平方和公式;
(4)利用完全平方和公式计算。
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