3.4乘法公式(2)-完全平方公式 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
3.4乘法公式(2)
—完全平方公式
浙教版 七年级下册
（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ2－ｂ2．
两数和与这两数差的积等于这两数的平方差．
平方差公式
代数推导：
文字描述：两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差.
结构特点：
左边：a符号相同，b符号相反.
右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.
复习巩固
探究1：
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
新知导入
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
你能根据图中的面积说明完全平方公式吗
探究2：
新知导入
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新知导入
完全平方公式
（a+b)2=a2+2ab+b2
两数和的平方，等于这两数的平方和，加上这两数积的2倍.
（a-b)2=a2-2ab+b2
两数差的平方，等于这两数的平方和，减去这两数积的2倍.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
新知讲解
两数和（差）平方公式特征
（1）两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同；
（2）两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，两者也仅有一个“符号”不同.
（3）完全平方公式中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式
新知讲解
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（1）(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3)(-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4)(-x-y)2 =x2 -2xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(-x -y)2 =x2+2xy +y2
新知巩固
新知讲解
例3 用完全平方公式计算：
（１）（ｘ＋2ｙ）2 ． （2）（2ａ－5）2 ．
（3）（－2ｓ＋ｔ）2 ．（4）（－3ｘ－4ｙ）2 ．
解： （1）（ｘ＋2ｙ）2
＝ｘ2 ＋2·ｘ·2ｙ＋（2ｙ）2
＝ｘ2 ＋4ｘｙ＋4ｙ2 ．
（2）（2ａ－5）2
＝（2ａ）2 －2·2ａ·5＋52
＝4ａ2 －20ａ＋25．
新知讲解
例3 用完全平方公式计算：
（１）（ｘ＋2ｙ）2 ． （2）（2ａ－5）2 ．
（3）（－2ｓ＋ｔ）2 ．（4）（－3ｘ－4ｙ）2 ．
解：（3）（－2ｓ＋ｔ）2
＝（ｔ－2ｓ）2
＝ｔ2 －2·ｔ ·2ｓ＋（2ｓ）2
＝ｔ2 －4ｔｓ＋4ｓ2 ．
（4）（－3ｘ－4ｙ）2
＝（－3ｘ）2 －2·（－3ｘ）·4ｙ＋（4ｙ）2
＝9ｘ2 ＋24ｘｙ＋16ｙ2
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
巩固练习
例4 一花农有两块正方形茶花苗圃，边长分别为 30.1 ｍ，29.5 ｍ， 现:将这两块苗圃的边长都增加 1.5 ｍ. 求两块苗圃的面积分别增加了多少平方米．
解： 设原正方形苗圃的边长为 ａ（ｍ），边长增加 1.5 ｍ 后，新正方形的边长为（ａ＋1 . 5）ｍ．
（ａ＋1 . 5）2 －ａ2 ＝ａ2 ＋3ａ＋2 . 25－ａ2 ＝3ａ＋2．25．
当 ａ＝30．1 时，3ａ＋2．25＝3×30．1＋2．25＝92．55；
当 ａ＝29．5 时，3ａ＋2．25＝3×29．5＋2．25＝90．75．
答：两块苗圃的面积分别增加了 92.55 ｍ2 ，90.75 ｍ2 ．
新知讲解
常见的完全平方公式的变形
完全平方公式 变形
(a＋b)2＝a2＋ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab　
②2ab＝(a＋b)2－(a2＋b2)
(a－b)2＝a2－ 2ab＋b2 ①a2＋b2＝(a－b)2＋2ab　
②2ab＝(a2＋b2)－(a－b)2
③(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
④(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab
新知讲解
1．下列变形中，错误的是(　　)
①(b－4c)2＝b2－16c2；
②(a－2bc)2＝a2＋4abc＋4b2c2；
③(x＋y)2＝x2＋xy＋y2；
④(4m－n)2＝16m2－8mn＋n2.
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
2．若(a＋b)2＝(a－b)2＋A，则A为(　　)
A．2ab B．－2ab C．4ab D．－4ab
C
A
课堂练习
3．已知x－y＝7，xy＝2，则x2＋y2的值为(　　)
A．53 B．45 C．47 D．51
A
4．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分剪拼成一个梯形(如图②)，利用这两个图形的面积，可以验证的等式是(　　)
A．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b2
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
D
课堂练习
5．已知：(x＋y)2＝12，(x－y)2＝4，则x2＋3xy＋y2的值为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．14
D
6．(1)已知a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值；
解：(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，把两式子两边分别相加并整理，得a2＋b2＝13.把两式子两边分别相减并整理，得ab＝－6，∴a2＋b2＋ab＝7.　
(2)已知a＋b＝3，ab＝2，求式子a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：∵ab(a＋b)2＝ab(a2＋2ab＋b2)＝a3b＋2a2b2＋ab3
＝2×32＝18，∴a3b＋2a2b2＋ab3＝18.
课堂练习
完全平方公式
法则
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
常用
结论
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab;
4ab=(a+b)2-(a-b)2.
课堂总结
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